新版高三數(shù)學(xué) 第13練 函數(shù)與方程練習(xí)

1 1 第13練 函數(shù)與方程 訓(xùn)練目標(biāo) (1)函數(shù)的零點(diǎn)概念；(2)數(shù)形結(jié)合思想． 訓(xùn)練題型 (1)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定；(2)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷；(3)函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用． 解題策略 (1)判斷零點(diǎn)所在區(qū)間常用零點(diǎn)存在性定理；(2)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)方法：直接解方程f(x)＝0；利用函數(shù)的單調(diào)性；利用圖象交點(diǎn)；(3)根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍可將參數(shù)分離. 一、選擇題 1．(20xx·長(zhǎng)沙調(diào)研)函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)可能落在的區(qū)間為(　　) A．(0,1) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 2．(20xx·四川眉山仁壽一中段考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則方程f(x)＝log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 3．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x＋x－3，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函數(shù)f(x)＝2mx2－x－1在區(qū)間(－2,2)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 5．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)h(x)＝f(x)－mx＋2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C.∪[1，＋∞) D. 6．已知函數(shù)f(x)＝x＋sin x＋，且方程f(|f(x)|－a)＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[0，＋∞) B．(0，＋∞) C．[－1,2) D．(－1,2) 7．(20xx·太原期中)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(2＋x)＝f(2－x)，當(dāng)x∈[－2,0)時(shí)，f(x)＝x－1，若關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)在區(qū)間(－2,6)內(nèi)恰有4個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B．(1,4) C．(1,8) D．(8，＋∞) 8．已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)＝則函數(shù)f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空題 9．(20xx·湖北)函數(shù)f(x)＝2sin xsin－x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 10．(20xx·南寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋3x－8的零點(diǎn)x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，則a＋b＝________. 11．定義在[1，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足：①f(2x)＝2f(x)；②當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f(x)＝1－|x－3|.則函數(shù)g(x)＝f(x)－2在區(qū)間[1,28]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 12．已知函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的圖象如圖所示．給出下列四個(gè)命題： ①方程f[g(x)]＝0有且僅有6個(gè)根；②方程g[f(x)]＝0有且僅有3個(gè)根； ③方程f[f(x)]＝0有且僅有7個(gè)根；④方程g[g(x)]＝0有且僅有4個(gè)根． 其中正確命題的序號(hào)為________.  答案精析 1．C　[∵函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx，定義域?yàn)?0，＋∞)， ∴f(1)＝1>0，f(2)＝－ln 2<0，f(3)＝1－ln 3<0， f(4)＝2－ln 4>0，f(5)＝3－ln 5>0， ∴f(1)·f(2)<0，f(3)·f(4)<0. ∴函數(shù)的零點(diǎn)在(1,2)，(3,4)上，故選C.] 2．C　[方程f(x)＝log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝log3|x|圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝log3|x|的圖象如下，則由圖象可知，有四個(gè)不同的交點(diǎn)，故選C.] 3．C　[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，所以0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x＋x－3＝0，則2x＝－x＋3， 分別畫出函數(shù)y＝2x和y＝－x＋3的圖象，如圖所示，有一個(gè)交點(diǎn)， 所以函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)， 又根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)f(x)也有一個(gè)零點(diǎn)． 綜上所述，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選C.] 4．D　[當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x－1有一個(gè)零點(diǎn)x＝－1，滿足條件． 當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2mx2－x－1在區(qū)間(－2,2)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，需滿足①f(－2)·f(2)<0或 ②或③ 解①得－<m<0或0<m<， 解②得m∈?，解③得m＝. 綜上可知－<m≤，故選D.] 5．A　[令f(x)－mx＋2＝0，則f(x)＝mx－2，設(shè)g(x)＝mx－2，可知函數(shù)f(x)＝與函數(shù)g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的大致圖象，其中A(0，－2)，B(3,1)，C(4,0)，可知直線g(x)＝mx－2應(yīng)介于直線AB與直線AC之間，其中kAB＝1，kAC＝，故m∈.故選A.] 6．B　[由于f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由于(x＋sin x)′＝1＋cosx≥0，且＝1－為增函數(shù)．故f(x)為R上的增函數(shù)，且f(0)＝0.所以|f(x)|－a＝0，即|f(x)|＝a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，|f(x)|的圖象是由f(x)圖象的將x<0的部分關(guān)于x軸對(duì)稱翻折上來，x>0部分保持不變所得，所以a∈(0，＋∞)．] 7．D　[由f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(2＋x)＝f(2－x)，即為f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)，則f(x)是周期為4的函數(shù)．當(dāng)x∈[－2,0)時(shí)，f(x)＝x－1，可得x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝f(－x)＝()x－1.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f(x)與g(x)＝loga(x＋2)在區(qū)間(－2,6)內(nèi)的圖象，若要使它們有4個(gè)交點(diǎn)，則0<loga(6＋2)<1，即a>8，故選D.] 8．B　[令sgn(lnx)－ln2x＝0，得 當(dāng)lnx>0，即x>1時(shí)，1－ln2x＝0，解得x＝e； 當(dāng)lnx<0，即0<x<1時(shí)，－1－ln2x＝0，無解； 當(dāng)lnx＝0，即x＝1時(shí)，成立． 故方程sgn(lnx)－ln2x＝0有兩個(gè)根，即函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．] 9．2 解析　函數(shù)f(x)＝2sin xsin－x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程2sin x·sin－x2＝0的根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)g(x)＝2sin xsin＝2sin xcosx＝sin 2x與h(x)＝x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．于是，分別畫出其函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)． 10．5 解析　∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函數(shù)f(x)＝lnx＋3x－8在(0，＋∞)上為增函數(shù)， ∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3. ∴a＋b＝5. 11．4 解析　∵定義在[1，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足：①f(2x)＝2f(x)；②當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f(x)＝1－|x－3|， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,28]上的圖象如圖所示： 函數(shù)g(x)＝f(x)－2在區(qū)間[1,28]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,28]上的圖象與直線y＝2交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,28]上的圖象與直線y＝2有4個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)g(x)＝f(x)－2在區(qū)間[1,28]上有4個(gè)零點(diǎn)． 12．①④ 解析?、僭O(shè)t＝g(x)，則由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，則t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.當(dāng)t1＝0時(shí)，g(x)＝0有2個(gè)不同根；當(dāng)－2<t2<－1時(shí)，g(x)＝t2有2個(gè)不同根；當(dāng)1<t3<2時(shí)，g(x)＝t3有2個(gè)不同根，∴方程f[g(x)]＝0有且僅有6個(gè)根，故①正確． ②設(shè)t＝f(x)，若g[f(x)]＝0，則g(t)＝0，則－2<t1<－1或0<t2<1.當(dāng)－2<t1<－1時(shí)，f(x)＝t1有1個(gè)根；當(dāng)0<t2<1時(shí)，f(x)＝t2有3個(gè)不同根， ∴方程g[f(x)]＝0有且僅有4個(gè)根，故②錯(cuò)誤． ③設(shè)t＝f(x)，若f[f(x)]＝0，則f(t)＝0，則t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.當(dāng)t1＝0時(shí)，f(x)＝t1有3個(gè)不同根；當(dāng)－2<t2<－1時(shí)，f(x)＝t2有1個(gè)根；當(dāng)1<t3<2時(shí)，f(x)＝t3有1個(gè)根，∴方程f[f(x)]＝0有且僅有5個(gè)根，故③錯(cuò)誤． ④設(shè)t＝g(x)，若g[g(x)]＝0，則g(t)＝0，則－2<t1<－1或0<t2<1.當(dāng)－2<t1<－1時(shí)，g(x)＝t1有2個(gè)不同根；當(dāng)0<t2<1時(shí)，g(x)＝t2有2個(gè)不同根，∴方程g[g(x)]＝0有且僅有4個(gè)根，故④正確． 綜上，命題①④正確．