2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)6 三角形中的幾何計(jì)算 新人教A版必修5.doc

課時(shí)分層作業(yè)(六)　三角形中的幾何計(jì)算 (建議用時(shí)：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．已知銳角△ABC的面積為3，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為(　　) A．60或120　　　　　 B．120 C．60 D．30 C　[S△ABC＝BCCAsin C＝3， ∴sin C＝，∵C∈(0，90)， ∴C＝60.] 2．在△ABC中，三邊a，b，c與面積S的關(guān)系式為a2＋4S＝b2＋c2，則角A為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432083】 A．45 B．60 C．120 D．150 A　[4S＝b2＋c2－a2＝2bccos A， ∴4bcsin A＝2bccos A，∴tan A＝1， 又∵A∈(0，180)，∴A＝45.] 3．三角形的一邊長(zhǎng)為14，這條邊所對(duì)的角為60，另兩邊之比為8∶5，則這個(gè)三角形的面積為(　　) A．40 B．20 C．40 D．20 A　[設(shè)另兩邊長(zhǎng)為8x,5x， 則cos 60＝＝， 解得x＝2.兩邊長(zhǎng)是16與10， 三角形的面積是1610sin 60＝40.] 4．在△ABC中，A＝60，b＝1，其面積為，則等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432084】 A. B. C. D．3 A　[面積S＝＝bcsin A＝1c，∴c＝4， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋42－214＝13， ∴＝＝.] 5．在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC＝，BD＝，周長(zhǎng)為18，則這個(gè)平行四邊形的面積是(　　) A．8 B．16 C．18 D．32 B　[在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B＝65， 即AB2＋AD2－2ABADcos B＝65， ① 在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2ABADcos A＝17， ② 又cos A＋cos B＝0. ①＋②得AB2＋AD2＝41， 又AB＋AD＝9， ∴AB＝5，AD＝4或AB＝4，AD＝5. ∴cos A＝， A∈，∴sin A＝， ∴這個(gè)平行四邊形的面積S＝54＝16.] 二、填空題 6．在△ABC中，B＝60，AB＝1，BC＝4，則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432085】 　[畫出三角形(略)知AD2＝AB2＋BD2－2ABBDcos 60＝3，∴AD＝.] 7．在△ABC中，若A＝60，b＝16，此三角形的面積S＝220，則a的值為_(kāi)_______． 49　[由bcsin A＝220得c＝55， 又a2＝b2＋c2－2bccos A＝2 401， 所以a＝49.] 8．在△ABC中，B＝120，b＝7，c＝5，則△ABC的面積為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432086】 　[由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即49＝a2＋25－25acos 120， 整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)， ∴S△ABC＝acsin B＝35sin 120＝.] 三、解答題 9．已知△ABC的三內(nèi)角滿足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求證：a2＋b2＝5c2. [證明]　由已知得cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C， ∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C， ∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C， ∴sin2A＋sin2B＝5sin2C. 由正弦定理得，所以2＋2＝52， 即a2＋b2＝5c2. 10．四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四邊形ABCD的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432087】 [解]　(1)由題設(shè)及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos C＝13－12cos C， ① BD2＝AB2＋DA2－2ABDAcos A＝5＋4cos C． ② 由①，②得cos C＝，故C＝60，BD＝. (2)四邊形ABCD的面積 S＝ABDAsin A＋BCCDsin C ＝sin 60＝2. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．已知銳角△ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面積為，則的值為(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 A　[由題意S△ABC＝||||sin A＝， 得sin A＝，又△ABC為銳角三角形， ∴cos A＝，∴＝||||cos A＝2.] 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，則B＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432088】 A. B. C. D. A　[由正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，又因?yàn)閟in B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，所以sin(A＋C)＝sin B＝.因?yàn)閍>b，所以B＝.] 3．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a＝2，c＝2，1＋＝，則角C的值為_(kāi)_______． 　[由正弦定理得1＋＝， 即＝， ∴cos A＝，A∈，A＝，sin A＝， 由＝得sin C＝， 又c<a，C<A，∴C＝.] 4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cos A＝－，則a的值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432089】 8　[在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝， 所以有解得] 5．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.向量m＝(a，b)與n＝(cos A，sin B)平行． (1)求A； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面積． [解]　(1)因?yàn)閙∥n，所以asin B－bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，從而tan A＝. 由于0<A<π，所以A＝. (2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A， 而a＝，b＝2，A＝， 得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0. 因?yàn)閏>0，所以c＝3. 故△ABC的面積為bcsin A＝. 法二：由正弦定理，得＝，從而sin B＝. 又由a>b，知A>B，所以cos B＝. 故sin C＝sin(A＋B)＝sin ＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝. 所以△ABC的面積為absin C＝.