山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 幾何概型練習(xí)（含解析）.doc

幾何概型一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為( )A. 710 B. 58 C. 38 D. 310（正確答案）B 【分析】本題考查概率的計算，考查幾何概型，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)求出一名行人前25秒來到該路口遇到紅燈，即可求出至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率【解答】解：紅燈持續(xù)時間為40秒，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈，一名行人前25秒來到該路口遇到紅燈，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為2540=58故選B2. 在區(qū)間-1,4上隨機(jī)選取一個數(shù)x，則x1的概率為( )A. 25 B. 35 C. 15 D. 23（正確答案）A解：在區(qū)間-1,4上隨機(jī)選取一個數(shù)x，x1的概率P=1-(-1)4-(-1)=25，故選：A根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可本題主要考查概率的計算，根據(jù)幾何概型的概率公式轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)長度之比是解決本題的關(guān)鍵3. 已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3，若在區(qū)間-4,4上取一個隨機(jī)數(shù)x0，則f(x0)0的概率是 ( )A. 34 B. 58 C. 12 D. 38（正確答案）C令-x2+2x+3=0可得x=-1或x=3，則x0-4，-1或x03，4時，f(x0)0所求概率為38+18=124. 如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為，其余部分記為.在整個圖形中隨機(jī)取一點，此點取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則( )A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3（正確答案）A解：如圖：設(shè)BC=a，AB=c，AC=b，a2=b2+c2，S=124bc=2bc，S=12a2-2bc，S=12c2+12b2-S=12c2+12b2-12a2+2bc=2bc，S=S，P1=P2，故選：A如圖：設(shè)BC=a，AB=c，AC=b，分別求出，所對應(yīng)的面積，即可得到答案本題考查了幾何概型的概率問題，關(guān)鍵是求出對應(yīng)的面積，屬于基礎(chǔ)題5. 如圖所示，在ABC內(nèi)隨機(jī)選取一點P，則PBC的面積不超過ABC面積一半的概率是( )A. 12B. 14C. 13D. 34（正確答案）D解：記事件A=PBC的面積不超過S2， 基本事件空間是三角形ABC的面積，(如圖) 事件A的幾何度量為圖中陰影部分的面積(DE是三角形的中位線)，因為陰影部分的面積是整個三角形面積的34，所以P(A)=34，故選：D 先分析題目求在面積為S的ABC的邊AB上任取一點P，則PBC的面積不超過S2的概率，即可考慮畫圖求解的方法，然后根據(jù)圖形分析出基本的事件空間與事件的幾何度量是什么.再根據(jù)幾何關(guān)系求解出它們的比例即可本題主要考查了幾何概型.由這個題目可以看出，解決有關(guān)幾何概型的問題的關(guān)鍵是認(rèn)清基本事件空間是指面積還是長度或體積，同學(xué)們需要注意6. 已知菱形ABCD的邊長為4，ABC=6，若在菱形內(nèi)取一點，則該點到菱形的四個頂點的距離均大于1的概率為( )A. 4 B. 1-4 C. 8 D. 1-8（正確答案）D解：分別以A，B，C，D為圓心，1為半徑的圓，則所以概率對應(yīng)的面積為陰影部分，則四個圓在菱形內(nèi)的扇形夾角之和為2，則對應(yīng)的四個扇形之和的面積為一個整圓的面積S=12=，S菱形ABCD=ABBCsin6=4412=8，S陰影=S菱形ABCD-S空白=8-12=8-因此，該點到四個頂點的距離大于1的概率P=S陰影S菱形=8-8=1-8，故選：D根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)區(qū)域的面積進(jìn)行求解即可本題主要考查幾何概型的概率的計算，根據(jù)對應(yīng)分別求出對應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵7. 甲、乙兩位同學(xué)約定周日早上8：00-8：30在學(xué)校門口見面，已知他們到達(dá)學(xué)校的時間是隨機(jī)的，則甲要等乙至少10分鐘才能見面的概率為( )A. 23 B. 13 C. 29 D. 79（正確答案）C解：由題意知本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是=(x,y)|0x30，0y30 事件對應(yīng)的集合表示的面積是s=900，滿足條件的事件是A=(x,y)|0x30，0y30，y-x10，事件對應(yīng)的集合表示的面積是122020=200，根據(jù)幾何概型概率公式得到P=29故選C由題意知本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是=(x,y)|0x30，0y30，做出事件對應(yīng)的集合表示的面積，寫出滿足條件的事件是A=(x,y)|0x30，0y30，y-x10，算出事件對應(yīng)的集合表示的面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果本題是一個幾何概型，對于這樣的問題，一般要通過把試驗發(fā)生包含的事件所對應(yīng)的區(qū)域求出，根據(jù)集合對應(yīng)的圖形面積，用面積的比值得到結(jié)果8. 在區(qū)間0,2上隨機(jī)取一個實數(shù)x，若事件“3x-m<0”發(fā)生的概率為16，則實數(shù)m=( )A. 1 B. 12 C. 13 D. 16（正確答案）A解：解不等式3x-m<0，可得x<m3，以長度為測度，則區(qū)間長度為m3，又在區(qū)間0,2上，區(qū)間長度為2，在區(qū)間0,2上隨機(jī)取一個實數(shù)x，若事件“3x-m<0”發(fā)生的概率為16，可得：m32=16，則m=1故選：A解不等式3x-m<0，可得x<m3，以長度為測度，即可求在區(qū)間0,2上隨機(jī)取一實數(shù)x，通過概率，列出方程即可得到的參數(shù)m本題考查幾何概型，解題的關(guān)鍵是：解不等式，確定其測度，概率的求法9. 在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個數(shù)x，則事件“-1log12(x+12)1”發(fā)生的概率為( )A. 34 B. 23 C. 13 D. 14（正確答案）A解：利用幾何概型，其測度為線段的長度-1log12(x+12)112x+122解得0x32，0x2，所求的概率為：P=322=34故選：A先解已知不等式，再利用解得的區(qū)間長度與區(qū)間0,2的長度求比值即可得本題主要考查了幾何概型，如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型10. 已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-b，若a，b都是從0,4上任取的一個數(shù)，則滿足f(1)>0時的概率( )A. 132 B. 932 C. 3132 D. 2332（正確答案）B【分析】本題主要考查幾何概型.如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.古典概型與幾何概型的主要區(qū)別在于：幾何概型是另一類等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗的結(jié)果不是有限個.本題利用幾何概型求解即可.在a-o-b坐標(biāo)系中，畫出f(1)>0對應(yīng)的區(qū)域，和a、b都是在區(qū)間0,4內(nèi)表示的區(qū)域，計算它們的比值即得【解答】解：f(1)=-1+a-b>0，即a-b>1，如圖，A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，SABC=92，P=9244=932，故選B11. 如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自寶馬汽車車標(biāo)的里面部分，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對邊中點連線成軸對稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是( )A. 14B. 12C. 8D. 4（正確答案）C解：設(shè)正方形邊長為2，則正方形面積為4，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分的面積S=1212=2在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是P=24=8故選：C設(shè)出正方形邊長，求出正方形面積，再求出正方形內(nèi)切圓中的黑色部分的面積，由面積比得答案本題考查幾何概型，關(guān)鍵是明確測度比為面積比，是基礎(chǔ)題12. 在區(qū)間0,2上隨機(jī)取一個實數(shù)x，則事件“3x-1<0”發(fā)生的概率為( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 16（正確答案）D解：由幾何概型可知，事件“3x-1<0”可得x<13，在區(qū)間0,2上隨機(jī)取一個實數(shù)x，則事件“3x-1<0”發(fā)生的概率為：P(3x-1<0)=132=16故選：D利用幾何概型求概率.先解不等式，再利用解得的區(qū)間長度與區(qū)間0,2的長度求比值即得本題主要考查了幾何概型，簡單地說，如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 如圖，點A的坐標(biāo)為(1,0)，點C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)=x2，若在矩形ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自陰影部分的概率等于_ （正確答案）512解：由已知，矩形的面積為4(2-1)=4，陰影部分的面積為12(4-x2)dx=(4x-13x3)|12=53，由幾何概型公式可得此點取自陰影部分的概率等于512；故答案為：512分別求出矩形和陰影部分的面積，利用幾何概型公式，解答本題考查了定積分求曲邊梯形的面積以及幾何概型的運用；關(guān)鍵是求出陰影部分的面積，利用幾何概型公式解答14. 設(shè)點(a,b)是區(qū)域x-y+100x1y0內(nèi)的隨機(jī)點，則滿足a2+b21的概率是_（正確答案）6解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：當(dāng)x=1時，y=2，即B(1,2)，A(1,0)，C(0,1)，則四邊形OABC的面積S=1+221=32，則第一象限內(nèi)對應(yīng)a2+b21的面積為14，根據(jù)幾何概型的概率公式可得滿足a2+b21的概率是432=6，故答案為：6作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行計算即可得到結(jié)論本題主要考查幾何概型的概率的計算，求出對應(yīng)的區(qū)域面積是解決本題的關(guān)鍵15. 已知|x|2，|y|2，點P的坐標(biāo)為(x,y)，當(dāng)x，yR時，點P滿足(x-2)2+(y-2)24的概率為_（正確答案）16解：如圖，點P所在的區(qū)域為正方形ABCD及其內(nèi)部 滿足(x-2)2+(y-2)24的點位于的區(qū)域是以C(2,2)為圓心，半徑等于2的圓及其內(nèi)部P滿足(x-2)2+(y-2)24的概率為P1=S扇形S正方形=142244=16故答案為：16根據(jù)題意，滿足|x|2且|y|2的點P在如圖的正方形ABCD及其內(nèi)部運動，而滿足(x-2)2+(y-2)24的點P在以C為圓心且半徑為2的圓及其內(nèi)部運動.因此，所求概率等于圓C與正方形ABCD重疊部分扇形面積與正方形ABCD的面積之比，根據(jù)扇形面積和正方形面積計算公式，即可求出本題的概率本題給出點P滿足的條件，求點P到點C(2,2)距離小于或等于2的概率.著重考查了正方形、扇形面積計算公式和幾何概型計算公式等知識，屬于基礎(chǔ)題16. 已知水池的長為30m，寬為20m，一海豚在水池中自由游戲，則海豚嘴尖離池邊超過4m的概率為_（正確答案）1125【分析】本題考查幾何概型，明確測度，正確求解面積是關(guān)鍵.測度為面積，找出點離岸邊不超過4m的點對應(yīng)的圖形的面積，并將其和長方形面積一齊代入幾何概型計算公式進(jìn)行求解【解答】解：如圖所示：長方形面積為2030，小長方形面積為2212，陰影部分的面積為2030-2212，海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率為P=1-22122030=1125故答案為1125三、解答題（本大題共3小題，共40分）17. 設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0(1)若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率(2)若a是從區(qū)間0,3任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率（正確答案）解：設(shè)事件A為“方程有實根”當(dāng)a>0，b>0時，方程有實根的充要條件為ab (1)由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的基本事件共12個：(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3,1)(3,2) 其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為P=912=34 (2)由題意知本題是一個幾何概型，試驗的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域為(a,b)|0a3，0b2 滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域為(a,b)|0a3，0b2，ab 所求的概率是32-122232=23首先分析一元二次方程有實根的條件，得到ab (1)本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的基本事件可以通過列舉得到結(jié)果數(shù)，滿足條件的事件在前面列舉的基礎(chǔ)上得到結(jié)果數(shù)，求得概率(2)本題是一個幾何概型，試驗的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域為(a,b)|0a3，0b2，滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域為(a,b)|0a3，0b2，ab，根據(jù)概率等于面積之比，得到概率本題考查古典概型及其概率公式，考查幾何概型及其概率公式，本題把兩種概率放在一個題目中進(jìn)行對比，得到兩種概率的共同之處和不同點18. 如圖，扇形AOB的圓心角為90，點P在弦AB上，且OP=2AP，延長OP交弧AB于點C，現(xiàn)向該扇形內(nèi)隨機(jī)投一點，則該點落在扇形AOC內(nèi)的概率為_（正確答案）13解：設(shè)AP=x，OP=2x，由正弦定理可求得， sinAOP=APsinOAPOP=2222=12，所以POA=30，所以扇形AOC的面積為1314OA2，扇形AOB的面積為14OA2，從而所求概率為1314OA214OA2=13故答案為：13求出扇形AOC的面積，扇形AOB的面積，從而得到所求概率本題主要考查幾何概型，正確求出扇形的面積是關(guān)鍵19. 某市小型機(jī)動車駕照“科二”考試中共有5項考查項目，分別記作，項目學(xué)員編號(1)TTT(2)TTT(3)TTTT(4)TTT(5)TTTT(6)TTT(7)TTTT(8)TTTTT(9)TTT(10)TTTTT 注“T”表示合格，空白表示不合格(1)某教練將所帶10名學(xué)員的“科二”模擬考試成績進(jìn)行統(tǒng)計(如表所示)，并打算從恰有2項成績不合格的學(xué)員中任意抽出2人進(jìn)行補測(只測不合格的項目)，求補測項目種類不超過3項的概率；(2)如圖，某次模擬演練中，教練要求學(xué)員甲倒車并轉(zhuǎn)向90，在汽車邊緣不壓射線AC與射線BD的前提下，將汽車駛?cè)胫付ǖ耐＼囄?根據(jù)經(jīng)驗，學(xué)員甲轉(zhuǎn)向90后可使車尾邊緣完全落在線段CD上，且位于CD內(nèi)各處的機(jī)會相等.若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽車寬度為1.8m，求學(xué)員甲能按教練要求完成任務(wù)的概率（正確答案）解：(1)由題意得共有5名學(xué)員(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有2兩項成績不合格，從中任意抽取2人進(jìn)行補測，共有10種情況：學(xué)員編號補測項目項數(shù)(1)(2)3(1)(4)4(1)(6)3(1)(9)3(2)(4)3(2)(6)4(2)(9)3(4)(6)3(4)(9)4(6)(9)4由表格可知全部的10種情況中有6種情況補測項目不超過3項，補測項目不超過3項的概率為P=610=35；(2)在線段CD上取兩點B，D，使得BB=DD=1.8m，記汽車尾部左端點為M，則當(dāng)M位于線段AB上時，學(xué)員可按教練要求完成任務(wù)學(xué)員甲能按要求完成任務(wù)的概率為(1)利用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值；(2)利用幾何概型的概率公式，計算所求的概率值本題考查了列舉法求古典概型的概率和幾何概型的概率計算問題，是中檔題