新版一輪創(chuàng)新思維文數人教版A版練習：第三章 第七節(jié)　正弦定理和余弦定理 Word版含解析

1 1 課時規(guī)范練 A組　基礎對點練 1．在△ABC中，若＝，則B的值為(　　) A．30°　　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析：由正弦定理知，＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°. 答案：B 2．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A. B. C．2 D．3 解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcos A＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D. 答案：D 3．已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．5 解析：化簡23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入數據，解方程，得b＝5. 答案：D 4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若asin A＋bsin B<csin C，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 解析：根據正弦定理可得a2＋b2<c2.由余弦定理得cos C＝<0，故C是鈍角．即△ABC是鈍角三角形． 答案：C 5．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，那么這個三角形的最大內角的大小為__________． 解析：由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，三角形的三邊之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的角為C.由余弦定理得cos C＝－，∴C＝120°. 答案：120° 6．在△ABC中，A＝，a＝c，則＝________. 解析：∵a＝c，∴sin A＝sin C，∵A＝， ∴sin A＝，∴sin C＝，又C必為銳角， ∴C＝， B＝，∴b＝c. ∴＝1. 答案：1 7．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cos A＝－，則a的值為__________． 解析：在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝，所以有 解得 答案：8 8．△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD＝2DC. (1)求； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 解析：(1)由正弦定理得 ＝，＝. 因為AD平分∠BAC，BD＝2DC， 所以＝＝. (2)因為∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°， 所以sin C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos B＋sin B. 由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝，即∠B＝30°. 9．(20xx·河北三市聯考)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且asin B＝－bsin. (1)求A； (2)若△ABC的面積S＝c2，求sin C的值． 解析：(1)∵asin B＝－bsin， ∴由正弦定理得sin Asin B＝－sin B·sin，則sin A＝－sin，即sin A＝－sin A－cos A， 化簡得tan A＝－， ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)∵A＝，∴sin A＝， 由S＝bcsin A＝bc＝c2，得b＝c， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，則a＝c， 由正弦定理得sin C＝＝. B組　能力提升練 1．△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，則A＝(　　) A. B. C. D. 解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0<A<π，所以A＝. 答案：C 2．已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若＝＝，則該三角形的形狀是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 解析：因為＝，由正弦定理得＝，所以sin 2A＝sin 2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．故選A. 答案：A 3．在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，則cos B的值為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accos B，所以cos B＝＝＝. 答案：D 4．在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：設△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，由題意可得a＝csin ＝c，則a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，則b＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－，故選C. 答案：C 5．(20xx·山西忻州一中聯考)已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分線CD把三角形分成面積比為4∶3的兩部分，則cos A＝________. 解析：在△ADC中，由正弦定理得＝?＝，同理，在△BCD中，有＝?＝， 又sin∠ADC＝sin∠BDC，sin∠ACD＝sin∠BCD，所以有＝?AC＝BC，由正弦定理得sin B＝sin A，又B＝2A， 所以sin B＝2sin Acos A，所以cos A＝. 答案： 6．已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，sin2B＝2sin Asin C. (1)若a＝b，求cos B； (2)設B＝90°，且a＝，求△ABC的面積． 解析：(1)由題設及正弦定理可得b2＝2ac. 又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. 由余弦定理可得cos B＝＝. (2)由(1)知b2＝2ac. 因為B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2. 故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝. 所以△ABC的面積為1. 7．(20xx·鄭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin. (1)求角A的值； (2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范圍． 解析：(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2 ，化簡得sin A＝，故A＝或. (2)由題知，若b≥a，則A＝，又a＝， 所以由正弦定理可得＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C， 故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin. 因為b≥a，所以≤B<，≤B－<， 所以2sin∈[，2)．即2b－c的取值范圍為[，2)．