2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二 2-1-1 平面 教案.doc

2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二 2-1-1 平面 教案一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：利用生活中的實(shí)物對(duì)平面進(jìn)行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直觀圖；掌握平面的基本性質(zhì)及作用；培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。2、過(guò)程與方法：通過(guò)討論，對(duì)平面有了感性認(rèn)識(shí)；歸納整理本節(jié)所學(xué)知識(shí)。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：認(rèn)識(shí)到我們所處的世界是一個(gè)三維空間，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣。二、教學(xué)重點(diǎn)： 1、平面的概念及表示；2、平面的基本性質(zhì)：注意他們的條件、結(jié)論、作用、圖形語(yǔ)言及符號(hào)語(yǔ)言。難點(diǎn)：平面基本性質(zhì)的掌握與運(yùn)用。三、學(xué)法指導(dǎo)：通過(guò)閱讀教材，聯(lián)系身邊的實(shí)物思考、交流，師生共同討論等，從而較好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。四、教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入) 大家都看過(guò)電視劇西游記吧，如來(lái)佛對(duì)孫悟空說(shuō)：“你一個(gè)跟頭雖有十萬(wàn)八千里，但不會(huì)跑出我的手掌心”.結(jié)果孫悟空真沒(méi)有跑出如來(lái)佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個(gè)點(diǎn)，他的運(yùn)動(dòng)成為一條直線，大家說(shuō)如來(lái)佛的手掌像什么？對(duì)，像一個(gè)平面，今天我們開(kāi)始認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的平面.思路2.(事例導(dǎo)入)觀察長(zhǎng)方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)、棱所在的直線，以及側(cè)面、底面之間的關(guān)系嗎？圖1 長(zhǎng)方體由上、下、前、后、左、右六個(gè)面圍成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看成是某個(gè)面內(nèi)的直線等等.空間中的點(diǎn)、直線、平面之間有哪些位置關(guān)系呢？本節(jié)我們將討論這個(gè)問(wèn)題.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題怎樣理解平面這一最基本的幾何概念;平面的畫(huà)法與表示方法;如何描述點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系？直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，直線是否在平面內(nèi)？直線與平面至少有幾個(gè)公共點(diǎn)才能判斷直線在平面內(nèi)？根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)，幾個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面？如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系如何？請(qǐng)畫(huà)圖表示;描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用幾種語(yǔ)言？自己總結(jié)三個(gè)公理的有關(guān)內(nèi)容.活動(dòng)：讓學(xué)生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路.對(duì)有困難的學(xué)生可提示如下：回憶我們學(xué)過(guò)的最基本的概念（原始概念），如點(diǎn)、直線、集合等.我們的桌面看起來(lái)像什么圖形？表示平面和表示點(diǎn)、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表示.點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外；點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外.確定一條直線需要幾個(gè)點(diǎn)？引導(dǎo)學(xué)生觀察教室的門由幾個(gè)點(diǎn)確定.兩個(gè)平面不可能僅有一個(gè)公共點(diǎn)，因?yàn)槠矫嬗袩o(wú)限延展性.文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言.平面的基本性質(zhì)小結(jié).討論結(jié)果：平面與我們學(xué)過(guò)的點(diǎn)、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念），只能通過(guò)對(duì)它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來(lái)定義它，因?yàn)樗遣患佣x的.平面的基本特征是無(wú)限延展性，很像如來(lái)佛的手掌(吳承恩的立體幾何一定不錯(cuò)).我們的桌面看起來(lái)像平行四邊形，因此平面通常畫(huà)成平行四邊形，有些時(shí)候我們也可以用圓或三角形等圖形來(lái)表示平面，如圖2.平行四邊形的銳角通常畫(huà)成45，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫(huà)出來(lái)，如圖3. 圖2 圖3 平面的表示法有如下幾種：（1）在一個(gè)希臘字母、的前面加“平面”二字，如平面、平面、平面等，且字母通常寫(xiě)在平行四邊形的一個(gè)銳角內(nèi)(圖4)；（2）用平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面ABCD（圖5）；（3）用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面AC（圖5）. 圖4 圖5下面我們總結(jié)點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系如下表：圖形符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言（讀法）點(diǎn)在直線上點(diǎn)不在直線上點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)不在平面內(nèi)直線、交于點(diǎn)直線上有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，直線沒(méi)有全部落在平面內(nèi)(圖7)，直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線全部落在平面內(nèi).例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面內(nèi).公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).這是用文字語(yǔ)言描述，我們也可以用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言（圖6）描述. 空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面.從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，從而可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示.規(guī)定直線用兩個(gè)大寫(xiě)的英文字母或一個(gè)小寫(xiě)的英文字母表示，點(diǎn)用一個(gè)大寫(xiě)的英文字母表示，而平面則用一個(gè)小寫(xiě)的希臘字母表示.公理1也可以用符號(hào)語(yǔ)言表示：若Aa,Ba,且A,B,則a. 圖6 圖7請(qǐng)同學(xué)們用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言描述直線與平面相交.若Aa,Ba,且A,B,則a.如圖（圖7）.在生活中，我們常?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測(cè)量用的平板儀等等. 上述事實(shí)和類似的經(jīng)驗(yàn)可以歸納為下面的公理.公理2：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.如圖（圖8）.圖8公理2刻畫(huà)了平面特有的性質(zhì)，它是確定一個(gè)平面位置的依據(jù)之一.我們用平行四邊形來(lái)表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個(gè)范圍呢？不是，因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的.直線是可以落在平面內(nèi)的，因?yàn)橹本€是無(wú)限延伸的，如果平面是有限的，那么無(wú)限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無(wú)限延展的特征.現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無(wú)限延展性來(lái)觀察一個(gè)現(xiàn)象（課件演示給學(xué)生看）.問(wèn)：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)？不會(huì)，因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的，應(yīng)當(dāng)有很多公共點(diǎn).正因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的，所以有一個(gè)公共點(diǎn)，必有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).那么這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在什么位置呢？可見(jiàn)，這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上. 這說(shuō)明，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.此時(shí)，就說(shuō)兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)的集合，這就是公理3.如圖（圖9），用符號(hào)語(yǔ)言表示為：P,且P=l,且Pl.圖9 公理3告訴我們，如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交，且其交線一定過(guò)這個(gè)公共點(diǎn).也就是說(shuō)，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們必定還有另外一個(gè)公共點(diǎn)，只要找出這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，就找出了它們的交線. 由此看出公理3不僅給出了兩個(gè)平面相交的依據(jù)，還告訴我們所有交點(diǎn)在同一條直線上，并給出了找這條交線的方法.描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用3種語(yǔ)言:文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言.“平面的基本性質(zhì)”小結(jié)：名稱作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)公理2確定一個(gè)平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù)應(yīng)用示例思路1例1 如圖10，用符號(hào)語(yǔ)言表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.圖10活動(dòng)：學(xué)生自己思考或討論，再寫(xiě)出（最好用實(shí)物投影儀展示寫(xiě)的正確的答案）.教師在學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)糾正，并及時(shí)評(píng)價(jià).解：在（1）中，=l,a=A,a=B.在（2）中，=l,a,b,al=P,bl=P.變式訓(xùn)練1.畫(huà)圖表示下列由集合符號(hào)給出的關(guān)系：(1)A,B,Al,Bl;(2)a,b,ac,bc=P,=c.解：如圖11.圖112.根據(jù)下列條件，畫(huà)出圖形.（1）平面平面=l，直線AB，ABl，EAB，直線EF=F，F(xiàn)l;（2）平面平面=a，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)滿足條件:Aa，B，Ba，C，Ca.答案：如圖12.圖12點(diǎn)評(píng)：圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換是本節(jié)的重點(diǎn)，主要有兩種題型：(1)根據(jù)圖形，先判斷點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用符號(hào)表示出來(lái).(2)根據(jù)符號(hào)，想象出點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用圖形表示出來(lái).例2 已知直線a和直線b相交于點(diǎn)A.求證：過(guò)直線a和直線b有且只有一個(gè)平面.圖13證明：如圖13,點(diǎn)A是直線a和直線b的交點(diǎn),在a上取一點(diǎn)B，b上取一點(diǎn)C，根據(jù)公理2經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C有一個(gè)平面，因?yàn)锳、B在平面內(nèi)，根據(jù)公理1，直線a在平面內(nèi),同理直線b在平面內(nèi)，即平面是經(jīng)過(guò)直線a和直線b的平面.又因?yàn)锳、B在a上，A、C在b上，所以經(jīng)過(guò)直線a和直線b的平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C.于是根據(jù)公理2，經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A、B、C的平面有且只有一個(gè)，所以經(jīng)過(guò)直線a和直線b的平面有且只有一個(gè).變式訓(xùn)練求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C、D、E、F,圖14直線a直線b=A,直線a和直線b確定平面設(shè)為，即a,b.B、Ca，E、Fb,B、C、E、F.而B(niǎo)、Fc，C、Ed,c、d,即a、b、c、d在同一平面內(nèi).點(diǎn)評(píng)：在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到證明點(diǎn)和直線共面問(wèn)題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有：(1)直線與直線外一點(diǎn).(2)兩條相交直線.(3)兩條平行直線.思路2例1 如圖15，已知=EF,A,C、B,BC與EF相交，在圖中分別畫(huà)出平面ABC與、的交線.圖15活動(dòng)：讓學(xué)生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)作圖不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路.解：如圖16所示，連接CB，C,B,直線CB.圖16直線CB平面ABC，平面ABC=直線CB.設(shè)直線CB與直線EF交于D,=EF,D,D平面ABC.A,A平面ABC，平面ABC=直線AD.變式訓(xùn)練1.如圖17，AD平面=B,AE平面=C，請(qǐng)畫(huà)出直線DE與平面的交點(diǎn)P，并指出點(diǎn)P與直線BC的位置關(guān)系.圖17解：AD和AC是相交直線，它們確定一個(gè)平面ABC，它與平面的交線為直線BC，DE平面ABC，DE與的交點(diǎn)P在直線BC上.2.如圖18，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為8 cm，M、N、P分別是AB、A1D1、BB1的中點(diǎn)，圖18(1)畫(huà)出過(guò)M、N、P三點(diǎn)的平面與平面A1B1C1D1的交線，以及與平面BB1C1C的交線.(2)設(shè)過(guò)M、N、P三點(diǎn)的平面與B1C1交于點(diǎn)Q，求PQ的長(zhǎng).解：(1)設(shè)M、N、P三點(diǎn)確定的平面為，則與平面AA1B1B的交線為直線MP，設(shè)MPA1B1=R，則RN是與平面A1B1C1D1的交線，設(shè)RNB1C1=Q，連接PQ，則PQ是所要畫(huà)的平面與平面BB1C1C的交線.如圖18.(2)正方體棱長(zhǎng)為8 cm，B1R=BM=4 cm，又A1N=4 cm，B1Q=A1N,B1Q=4=（cm）.在PB1Q中，B1P=4 cm，B1Q=cm，PQ=cm.點(diǎn)評(píng)：公理3給出了兩個(gè)平面相交的依據(jù)，我們經(jīng)常利用公理3找兩平面的交點(diǎn)和交線.例2 已知ABC三邊所在直線分別與平面交于P、Q、R三點(diǎn)，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.解：如圖19,A、B、C是不在同一直線上的三點(diǎn),圖19過(guò)A、B、C有一個(gè)平面.又AB=P，且AB,點(diǎn)P既在內(nèi)又在內(nèi).設(shè)=l,則Pl,同理可證：Ql,Rl,P、Q、R三點(diǎn)共線.變式訓(xùn)練 三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，若這三條直線不平行，求證：這三條直線交于一點(diǎn). 已知平面、兩兩相交于三條直線l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求證：l1、l2、l3相交于一點(diǎn).證明：如圖20，=l1，=l2，=l3，圖20l1，l2，且l1、l2不平行,l1與l2必相交.設(shè)l1l2=P，則Pl1,Pl2,P=l3.l1、l2、l3相交于一點(diǎn)P.點(diǎn)評(píng)：共點(diǎn)、共線問(wèn)題是本節(jié)的重點(diǎn)，在高考中也經(jīng)?？疾?，其理論依據(jù)是公理3.知能訓(xùn)練 畫(huà)一個(gè)正方體ABCDABCD，再畫(huà)出平面ACD與平面BDC的交線，并且說(shuō)明理由.解：如圖21,圖21FCD，F(xiàn)平面ACD.EAC，E平面ACD.EBD，E平面BDC.FDC，F(xiàn)平面DCB.EF為所求.拓展提升 O1是正方體ABCDA1B1C1D1的上底面的中心，過(guò)D1、B1、A作一個(gè)截面，求證：此截面與對(duì)角線A1C的交點(diǎn)P一定在AO1上.解：如圖22,連接A1C1、AC，圖22因AA1CC1，則AA1與CC1可確定一個(gè)平面AC1，易知截面AD1B1與平面AC1有公共點(diǎn)A、O1，所以截面AD1B1與平面AC1的交線為AO1.又PA1C，得P平面AC1，而P截面AB1D1，故P在兩平面的交線上，即PAO1.點(diǎn)評(píng)：證明共點(diǎn)、共線問(wèn)題關(guān)鍵是利用兩平面的交點(diǎn)必在交線上.課堂小結(jié)1.平面是一個(gè)不加定義的原始概念，其基本特征是無(wú)限延展性.2.通過(guò)三個(gè)公理介紹了平面的基本性質(zhì)，及作用.名稱作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)公理2確定一個(gè)平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù)3.利用三個(gè)公理證明共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題.作業(yè)課本習(xí)題2.1 A組5、6.