高考沖刺 排列組合、二項(xiàng)式定理(基礎(chǔ)).docx

高考沖刺排列組合、二項(xiàng)式定理編稿：孫永釗審稿：張林娟【高考展望】命題角度：該部分的命題就是圍繞兩個(gè)點(diǎn)展開.第一個(gè)點(diǎn)是圍繞排列，組合展開，設(shè)計(jì)利用排列組 合和兩個(gè)基本原理求解的實(shí)際計(jì)數(shù)問題的試題，目的是考查對排列組合基本方法的掌握程度，考查分類與 整合的思想方法，試題都是選擇題或者填空題，難度中等或者偏易；第二點(diǎn)是圍繞二項(xiàng)式定理展開，涉及 利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式計(jì)算二項(xiàng)式中特定項(xiàng)的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、系數(shù)和等試題，目的是考查對二項(xiàng)式定理的 掌握程度和基本的運(yùn)算求解能力，試題也都是選擇題或者填空題，難度中等.預(yù)計(jì)高考對該部分的考查基本方向不變，即考查簡單的計(jì)數(shù)問題、二項(xiàng)式定理的簡單應(yīng)用，但由于排 列，組合試題的特點(diǎn)，也不排除出現(xiàn)難度稍大的試題的可能.復(fù)習(xí)建議：該部分的復(fù)習(xí)以基本問題為主，要點(diǎn)有兩個(gè)：一個(gè)是引導(dǎo)學(xué)生掌握解決排列，組合問題的 基本思想，即分類與分步的思想，使學(xué)生在解題時(shí)有正確的思維方向；一個(gè)是掌握好二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公 式的應(yīng)用，這是二項(xiàng)式定理的考查核心.【知識升華】一、排列與組合1、分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是關(guān)于計(jì)數(shù)的兩個(gè)基本原理，兩者的區(qū)別在于分步計(jì)數(shù)原理和分步 有關(guān)，分類計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān).2、排列與組合主要研究從一些不同元素中，任取部分或全部元素進(jìn)行排列或組合，求共有多少種方 法的問題.區(qū)別排列問題與組合問題要看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的屬于排列問題，與順序無關(guān)的屬于 組合問題.3、排列與組合的主要公式 排列數(shù)公式：A；' = = (一 1) ( 一 in 4-1) (mWn)(一 in)A： =n! =n(nl)(n2) 2 I. 組合數(shù)公式：C： =-=E)(mWn).ml(n - m)x (？ 一 1) x x 2 x 1 組合數(shù)性質(zhì)：C；：=C"(mWn).C?+C：+C：+ + C；=2” c? + c； + c；. = c：+c；+. = 2”t4、分類應(yīng)在同一標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行，確?！安宦薄ⅰ安恢亍?，分步要做到“步驟連續(xù)”和“步驟獨(dú)立”，并 能完成事項(xiàng).整數(shù)次幕的項(xiàng)的系數(shù)之和為256-72=184.【例9】設(shè)(1 + x)* =%+qx + . + 6史,則小。%中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A. 2B. 3 C. 4D. 5【答案】A【解析】由題知=C； (i = 0,l,2,8),逐個(gè)驗(yàn)證知C； = C； = 1,其它為偶數(shù)，選A。【例10】若(A+r的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)，則展開式中F項(xiàng)的系數(shù)為2x(A)6(B)7(C)8(D)9【答案】B【解析】因?yàn)?工+上)的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)C；、*、成等差數(shù)列，所以c?+Lc； = c：, 2x244即 /?2-9/2+ 8 = (),解得： =8或 =1 (舍)。7；+1 = Cr(Y = (-), o 令8 2,=4可得， 2x 2尸=2,所以Y4的系數(shù)為q)2c；=7,故選B。類型四、排列組合綜合問題【例11】現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要求這3張 卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A. 232 B. 252C. 472 D. 484【思路點(diǎn)撥】分兩類，含有紅色卡片、不含紅色卡片一(推理)含有紅色卡片時(shí)只要從其余的12張卡片中任 取2張即可，不含紅色長片時(shí)只要從其余的12張卡片中任取3張且不是同一種顏色一(結(jié)論)根據(jù)分類加法 計(jì)數(shù)原理求出總數(shù).【答案】C【解析】方法1：若含有紅色卡片，則只要從其余12張卡片中任選2張即可，選法為C：C：=264種，若 不含紅色卡片，則只要從12選3的選法中去掉取同一種顏色的即可，選法為C% 3C： =208.所以總的選 法為 264+208=472.方法2：若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有C：C!C=64種， 若2色相同，則有C；C；C：C： = 144：若紅色卡片有1張，則剩余2張若不同色，有= 種，若同色則有C Cl C =72,所以共有64+144+192+72=472,故選C.舉一反三：【變式】某次會展共展出5件藝術(shù)作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)1 件，在展臺上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必須相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該會展展 出這5件作品不同的方案有種.(用數(shù)字作答)【答案】24【解析】2件書法作品看作一個(gè)整體，方法數(shù)是A；=2,把這個(gè)整體與標(biāo)志性建筑作品排列，有種排列 方法,其中隔開了三個(gè)空位，在其中插入2件繪畫作品，有方法數(shù)A；=6.根據(jù)乘法原理，共有方法數(shù)2X2X6 =24.5、界定“元素與位置”要辯證地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接優(yōu)先安排，也可間接處理.6、解排列組合綜合問題注意先選后排的原則，復(fù)雜的排列、組合問題利用分類思想轉(zhuǎn)化為簡單問題 求解.7、常見的解題策略有以下幾種：（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略；（2）合理分類與準(zhǔn)確分步的策略；（3）排列、組合混合問題先選后排的策略；（4）正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；（5）相鄰問題捆綁處理的策略；（6）不相鄰問題插空處理的策略；（7）定序問題除法處理的策略；（8）分排問題直排處理的策略；（9）“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；（10）構(gòu)造模型的策略.二、二項(xiàng)式定理1、二項(xiàng)式定理（a +b）n =C® an+C* an_1b+.+C； an-rbr+.+C； b%其中各項(xiàng)系數(shù)就是組合數(shù)C：,展開式共有n+1項(xiàng),第 r+1 項(xiàng)是 Tp =C；an_rbr.2、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)Tr+i=C；an_rbr（r=0,l.n）叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式。3、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即 C： = C（r=0,1,2,!）.fl- 若n是偶數(shù)，則中間項(xiàng)（第+ 1項(xiàng)）的二項(xiàng)公式系數(shù)最大，其值為C：若n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)（第%項(xiàng)和第%2項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，并且最大，其值為c2 =c,2 . 所有二項(xiàng)式系數(shù)和等于2七即Ct +C； +C： +： =2氣奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和,即C*+C：+=Ct+C：+=2n-i.4、二項(xiàng)式定理解題：四大熱點(diǎn)，四條規(guī)律：（1）四大熱點(diǎn)：通項(xiàng)運(yùn)用型；系數(shù)配對型；系數(shù)和差型；綜合應(yīng)用型.（2）四條規(guī)律：常規(guī)問題通項(xiàng)分析法；系數(shù)和差賦值法；近似問題截項(xiàng)法；整除（或余數(shù)） 問題展開法.【典型例題】類型一、分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理【例1】用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂 不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？【思路點(diǎn)撥】顏色可以反復(fù)使用，即說明在不相鄰的小方格內(nèi)可以使用同一種顏色，首先確定第一個(gè)小方 格的涂法，再考慮其相鄰的兩個(gè)小方格的涂法.【解析】如圖所示，將4個(gè)小方格依次編號為1,2, 3, 4,第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂 上，有5種不同的涂法.當(dāng)?shù)?、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有A：=12（種）不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法.由分步計(jì)數(shù)原理可知，有5X12X3=180（種）不同的涂法；I 1 I 9 I當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步計(jì)數(shù)原理可知，有5X4X4=80（種）不同涂法.I'1由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有180+80=260（種）不同的涂法.【總結(jié)升華】涂色問題的解決方法（1）涂色問題沒有固定的方法可循，只能按照題目的實(shí)際情況，結(jié)合兩個(gè)原理與排列組合的知識靈活 處理，其難點(diǎn)是對相鄰區(qū)域顏色不同的處理，解決的方法往往要采用分類討論的方法，根據(jù)“兩個(gè)原理” 計(jì)算.（2）本題也可以考慮對使用的顏色的種數(shù)進(jìn)行分類，如果使用2種顏色，則只能是第1,4涂一種、第2, 3涂一種，方法數(shù)是Cl=20；若是使用3種顏色，若第1,2,3方格不同色，第4個(gè)方格只能和第1個(gè)方格相同，方法數(shù)是C；A；=60,如果第1,2,3方格只用兩種顏色，則第4個(gè)方格只能用第3種顏色， 方法數(shù)是C；X3X2=60；如果使用4種顏色，方法數(shù)是C；A：=120.根據(jù)加法原理總的涂法種數(shù)是260. 舉一反三：【變式】某次活動中，有30個(gè)人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人任意2人 不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】7 200【解析】其中最先選出的一個(gè)有30種方法，此時(shí)這個(gè)人所在的行和列不能再選人，還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形，選第二個(gè)人有20種方法，此時(shí)該人所在的行和列不能再選人，還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形，此時(shí)第 三個(gè)人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30X20X 12 = 7 200.【例2】將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實(shí)踐活動，每個(gè)小組由1 名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）A. 12 種 B. 10 種 C. 9 種 D. 8 種【思路點(diǎn)撥】先安排教師、再配之學(xué)生即可，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求之.【答案】A【解析】分別從2名教師中選1名，4名學(xué)生中選2名安排到甲地參加社會實(shí)踐活動即可，則乙地就安排 剩下的教師與學(xué)生，故不同的安排方法共有C；C： = 12種.故選A.【總結(jié)升華】兩個(gè)基本原理是解決計(jì)數(shù)問題的根據(jù)，在計(jì)數(shù)問題中一般是先根據(jù)不同情況進(jìn)行分類，然后 對于每一類的計(jì)數(shù)問題再分步完成，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出每類的數(shù)目，最后使用分類加法計(jì)數(shù)原理 得到結(jié)果.舉一反三：【變式1】在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行的一項(xiàng)物理實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一 步，程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有（）A. 34 種 B. 48種C. 96 種 D. 144 種【答案】C【解析】先實(shí)施A,有2種編排方法；再將程序B和C視為一個(gè)整體（有2種順序）與其他3個(gè)程序全排列 共有2 種編排方法；故實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有2x2=96種.故選C.【變式2某次活動中，有30個(gè)人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人任意2 人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】1200【解析】其中最先選出的一個(gè)有3（）種方法，此時(shí)這個(gè)人所在的行和列共1（）個(gè)位置不能再選人，還剩一個(gè) 5行4列的隊(duì)形，選第二個(gè)人有20種方法，此時(shí)該人所在的行和列不能再選人，還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形， 此時(shí)第三個(gè)人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30X20X12 =1200種.6類型二、排列與組合【例3】（1）從甲、乙等5個(gè)人中選出3人排成一列，則甲不在排頭的排法種數(shù)是A. 12 B. 24 C. 36 D. 48（2）值域?yàn)?, 5, 1（）,其對應(yīng)關(guān)系為尸/+1的函數(shù)的個(gè)數(shù)為A. 1 B. 27 C. 39 D. 8【思路點(diǎn)撥】分“選甲”與“不選甲”兩類進(jìn)行討論:（2）根據(jù)函數(shù)的值域，求出函數(shù)定義域中可能包含的元素，分類討論確定其定義域.【答案】（1）D （2）B【解析】若選甲，則有種排法；若不選甲，則有A；種排法，則共有+A；=48（種）.（2）分別由¥+1=2, ¥+1 = 5, *2+i = io解得*=±1, >=±2,=±3,由函數(shù)的定義，定義域中 元素的選取分四種情況： 取三個(gè)元素：有- C - C；=8（種）； 取四個(gè)元素：先從±1, ±2, ±3三組中選取一組C；,再從剩下的兩組中選兩個(gè)元素故 共有C： C - C； = 12（種）； 取五個(gè)元素：C；=6（種）： 取六個(gè)元素：1種.由分類計(jì)數(shù)原理，共有8+12+6+1=27（種）.【總結(jié)升華】排列、組合問題的解法：解排列組合綜合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類"、“分步"的角度入手.“分析”就是找出題目的條 件、結(jié)論.哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有無 限制等；“分類”就是對于較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素往往分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；“分步”就 是把問題化成凡個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列組合問題，然后逐步解決.舉一反三：【變式1】某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那 么不同的選派方案種數(shù)為A. 14 B. 24 C. 28 D. 48【答案】A【解析】選1名女生的方案有：種；選2名女生的方案有：種；故至少選1名女生共有：C；C： + C；C：=14種方案.【變式2】用0,1,2, 3,4排成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的 個(gè)數(shù)是A. 36B. 32C. 24I）. 20【答案】1）【解析】0,1, 2, 3, 4五個(gè)數(shù)字，偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰的排法共有種排法，其中0在首位的 排法有總種，所以共有 "-=20個(gè)五位數(shù).【例4】一排9個(gè)座位坐了 3個(gè)三口之家.若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()A. 3X3! B. 3X(3! )3 C. (3! )4 D. 9!【思路點(diǎn)撥】將一家三口作為為一個(gè)集團(tuán)，三個(gè)集團(tuán)全排列，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得解；【答案】C【解析】由已知，該問題是排列中捆綁法的應(yīng)用，即先把三個(gè)家庭看作三個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，而后每 個(gè)家庭內(nèi)部進(jìn)行全排列，即不同坐法種數(shù)為A； A； A； A；=(3!)七【總結(jié)升華】本題是元素相鄰的排列，只要把相鄰元素看作一個(gè)整體即可.舉一反三：【變式】(1)某市端午期間安排甲、乙等6支隊(duì)伍參加端午賽龍舟比賽，若在安排比賽賽道時(shí)不將甲安排 在第-及第二賽道上，且甲和乙不相鄰，則不同的安排方法有()A. 96 種 B. 192 種C. 216 種 D. 312 種(2)從5名學(xué)生中任選4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科競賽，且每科競賽只有1人參加，若 甲不參加生物競賽，則不同的選擇方案共有種.【答案D (2)96【解析】若甲在第三、四、五道，則乙的安排方法有三種，此時(shí)方法數(shù)是3X3XA：=216；若甲在第 六道，則乙的安排方法有四種，此時(shí)的方法數(shù)是4A：=96.故總數(shù)為216+96=312.(2)選出的4名學(xué)生如果不含甲，則方法數(shù)為A： =24；選出的5名學(xué)生如果含甲，選法為C：,甲的參 賽方法數(shù)是3,其余3個(gè)學(xué)生全排列，方法數(shù)是C；X3XA：=72.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，總的方法數(shù)是 24 + 72=96.【例5】在送醫(yī)下鄉(xiāng)活動中，某醫(yī)院安排3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生到三所鄉(xiāng)醫(yī)院工作，每所醫(yī)院至少安排 一名醫(yī)生，且女醫(yī)生不安排在同一鄉(xiāng)醫(yī)院工作，則不同的分配方法總數(shù)為()A. 78 B. 114 C. 108 D. 120【思路點(diǎn)撥】先分組后分配，然后減去兩名女醫(yī)生在一個(gè)I關(guān)院的情況.【答案】B=25,故分配方案的總【解析】五人分組有(1,1,3), (1,2,2)兩種分組方案，方法數(shù)是數(shù)是25人；=150種.當(dāng)僅僅兩名女醫(yī)生一組時(shí)，分組數(shù)是C4,當(dāng)兩名女醫(yī)生中還有一名男醫(yī)生時(shí)，分組 方法也是C：,故兩名女醫(yī)生在一個(gè)醫(yī)院的分配方案是6 =36.符合要求的分配方法總數(shù)是150-36=114.【總結(jié)升華】在分配問題中如果待分配的元素?cái)?shù)目多余分配的位置數(shù)目，就要先分組然后再進(jìn)行分配.舉一反三：【變式】201()年上海世博會某國將展出5件藝術(shù)作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)1件，在展臺上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必須相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該國展 出這5件作品不同的方案有種(用數(shù)字作答)【答案】24【解析】把需要相鄰的兩個(gè)元素看做一個(gè)整體，然后不相鄰的元素外的元素進(jìn)行排列，在隔出的空位上安 排需要不相鄰的元素.2件書法作品看做一個(gè)整體，方法數(shù)是A；=2,把這個(gè)整體與標(biāo)志性建筑作品排列， 有種排列方法，其中隔開了三個(gè)空位，在其中插入2件繪畫作品，有方法數(shù)A；=6.根據(jù)乘法原理，故 共有方法數(shù)2X2X6=24.【例6高清視頻：復(fù)數(shù) 排列組合二項(xiàng)式定理例6課程11):369691在直線ax + by + c = O中，a, b, c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3個(gè)不同元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么這樣的直線有多少條？【思路點(diǎn)撥】把決定“直線條數(shù)”的特征性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為對“a, b, c”的情況討論。【解析】設(shè)直線的傾斜角為a ,并且。為銳角。則tana = >0,不妨設(shè)a>b,那么b<0a當(dāng)c尹0時(shí),則a有3種取法,b有3種取法,c有4種取法，并且其中任意兩條直線不重合，所以這樣的直線 有 3X3X4=36 條當(dāng)c=0時(shí)，a有3種取法,b有3種取法，其中直線:3x-3y=0, 2x-2y=0, x-y=0重合，所以這樣的直線有3X3-2=7 條故符合條件的直線有7+3.6=43條類型三、二項(xiàng)式定理6例7(1) (2015漳州二模)設(shè)a= f (cosx-sinx) dx則二項(xiàng)式 仁之+乏)展開式中的X，項(xiàng)的0x系數(shù)為()A. - 20 B. 20 C. - 160 D. 160(2) (2015 浙江模擬)己知(a - x) 5=ao+ajx+a2X2+*+a5X5,若 a2=80,則 ao+ai+az+*+35=( )利用二 項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2求出a?,列出方程求出a,令二項(xiàng)展開式的x=l求出展開式的 系數(shù)和.A. 32 B. 1 C. - 243 D. 1 或-243【思路點(diǎn)撥】(1)計(jì)算定積分求得a的值，在二項(xiàng)式(乂2+圣)E展開式的通項(xiàng)公式中，令x的幕指數(shù)等 于3,求得r的值，即可求得展開式中的b項(xiàng)的系數(shù).(2)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2求出a2,列出方程求出a,令二項(xiàng)展開式的x=l求 出展開式的系數(shù)和.(1)【答案】C【解忻】由于 a= J J (cosx_sinx) dx=(sinx+cosx) |- 2,6_o r則二項(xiàng)式 怎2+史) 展開式的通項(xiàng)公式為Tr+l=C?x"兀()=(2)C?x'"3r,令23r=3,x6x6解得r=3,故展開式中的x，項(xiàng)的系數(shù)為- 8x20=-160，故選C.【答案】B【解析】(a-x) 5展開式通項(xiàng)為Tw= ( - 1)ra5rC5rxr令r=2得a2=a3C52=8O» 知 a=2令二項(xiàng)展開式的x=l得l8=l=ao+ai+.+a$故選B.【總結(jié)升華】五招制勝，解決二項(xiàng)式問題二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，應(yīng)對二項(xiàng)式定理問題主要有五種方法：(1)特定項(xiàng)問題通項(xiàng)公式法；(2)系數(shù)和與差型問題賦值法；(3)近似問題截項(xiàng)法；(4)整除(或余數(shù))問題展開法;(5)最值問題不等式法.在二項(xiàng)式定理問題中，常見的誤區(qū)有：(1) 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)+1中，項(xiàng)數(shù)與k的關(guān)系搞不清；(2) 二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)混淆不清；(3)在展開二項(xiàng)式(a-b)n或求特定項(xiàng)時(shí)，忽略中間的“一”號.舉一反三:【變式】(2015成都校級模擬)在(x2+) ”的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式X)C. 30 D. 120中常數(shù)項(xiàng)是(A. 15 B. 20【答案】A【解析】.二項(xiàng)展開式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大又. 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第4項(xiàng)展開式中共有7項(xiàng)/. n=6展開式的通項(xiàng)為L+1 =Cg (x2) 6r (1) r=C6rxl2'3r 令 12 3r=0, r=4,展開式的常數(shù)項(xiàng)為T5=C64=15故選A【例8】(1) (x2+2)(4-D5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是()xA. -3 B. -2 C. 2 D. 3(2)設(shè)。UZ,且 0Wovl3,若 512012+« 能被 13 整除，貝ij a=)A. 0 B. I C. 11 D. 12【思路點(diǎn)撥】(I)要求展開式中常數(shù)項(xiàng)需使用多項(xiàng)式乘法法則，先求(4-1)5展開式中2的系數(shù)和常數(shù)X_項(xiàng)，再根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得結(jié)果;(2)要求。值需知512 32被13除所得余數(shù)，先變形51=4X13 1后使用二項(xiàng)式定理得之，再根據(jù)余數(shù) 確定。值.【答案】(1)D (2)D【解析】因?yàn)?又2(4-I)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為xx；r2C；()°(-I)一2, x2(4-D5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為故二項(xiàng)式(J+2)(4-Vxxxr展開式中的常數(shù)項(xiàng)為一 2+5 = 3.(2)512°i2 + o = 】 +(i3X4 1)2 °12 =。+(1 13X4)2" =。+ Go. X4+C；o2(13X4)2 + +C拾; (13X"i2,顯然當(dāng)。+1 = 13奴 kEZ,即 =一1 + 13奴 AEZ 時(shí)，5】2。12+。= |3婦 13X4-Cou +Un2 (13X4 +C器？(13X4)2 31,能被13整除因?yàn)橐嘁?旦。Wovl3,所以“=12.故選D.【總結(jié)升華】兩個(gè)二項(xiàng)式相乘時(shí)求其中某項(xiàng)的系數(shù)，需要根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行，此時(shí)要注意不要漏掉 了其中的項(xiàng)，要把各種可能的情況都考慮進(jìn)去：二項(xiàng)式定理解決整除性問題時(shí)，需要構(gòu)造二項(xiàng)式，基本原 則是根據(jù)除數(shù)對己知式進(jìn)行變換.舉一反三：【變式】(1+歡)6(1 +*)"展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A. 1 B. 46 C. 4245 D. 4246(2)(五+ 巳)' 的展開式中，含x的非整數(shù)次'舔的項(xiàng)的系數(shù)之和為()A. 256 B. 184 C. 120 D. 72【答案】(1)D (2)B1 ?45【解析】(1)第一個(gè)展開式中x的指數(shù)依次是0, , , 1,己，2,第二個(gè)展開式中x的指數(shù)依次3 33311353795是0, ，-1, 一，-2,根據(jù)多項(xiàng)式的乘法規(guī)則，常數(shù)42442442項(xiàng)只能是第一個(gè)展開式中x的指數(shù)是0,1,2的項(xiàng)與第二個(gè)展開式中x的指數(shù)是0.-L-2的對應(yīng)項(xiàng)的乘積, 根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式得，(1 +衣三(1+4產(chǎn)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為l + C；C% + CfC%=4246.正確選項(xiàng) 為D.1丑_?(2)Tru=C；)r(-=)s-r = C；x7_,當(dāng)，=0,4,8時(shí)為含X的整數(shù)次'舔的項(xiàng)，所以展開式中含X的整數(shù)次幕的項(xiàng)的系數(shù)之和為C? + C： +的=72,展開式所有項(xiàng)的系數(shù)之和為28=256,故展開式中含x的非