2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-1-1 平面.doc

2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-1-1 平面項目內(nèi)容課題2.1.1 平面（1課時）修改與創(chuàng)新教學(xué)目標1.正確理解平面的幾何概念,掌握平面的基本性質(zhì).2.熟練掌握三種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換與翻譯,結(jié)合三個公理的應(yīng)用會證明共點、共線、共面問題.3.通過三種語言的學(xué)習(xí)讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)語言的美,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重、難點三種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換與翻譯,利用三個公理證明共點、共線、共面問題.教學(xué)準備多媒體課件教學(xué)過程觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體的頂點、棱所在的直線，以及側(cè)面、底面之間的關(guān)系嗎？圖1 長方體由上、下、前、后、左、右六個面圍成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看成是某個面內(nèi)的直線等等.空間中的點、直線、平面之間有哪些位置關(guān)系呢？本節(jié)我們將討論這個問題.提出問題怎樣理解平面這一最基本的幾何概念;平面的畫法與表示方法;如何描述點與直線、平面的位置關(guān)系？直線與平面有一個公共點，直線是否在平面內(nèi)？直線與平面至少有幾個公共點才能判斷直線在平面內(nèi)？根據(jù)自己的生活經(jīng)驗，幾個點能確定一個平面？如果兩個不重合的平面有一個公共點，它們的位置關(guān)系如何？請畫圖表示;描述點、直線、平面的位置關(guān)系常用幾種語言？自己總結(jié)三個公理的有關(guān)內(nèi)容.活動：讓學(xué)生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚，對回答不準確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.對有困難的學(xué)生可提示如下：回憶我們學(xué)過的最基本的概念（原始概念），如點、直線、集合等.我們的桌面看起來像什么圖形？表示平面和表示點、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表示.點在直線上和點在直線外；點在平面內(nèi)和點在平面外.確定一條直線需要幾個點？引導(dǎo)學(xué)生觀察教室的門由幾個點確定.兩個平面不可能僅有一個公共點，因為平面有無限延展性.文字語言、圖形語言、符號語言.平面的基本性質(zhì)小結(jié).討論結(jié)果：平面與我們學(xué)過的點、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念），只能通過對它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來定義它，因為它是不加定義的.平面的基本特征是無限延展性，很像如來佛的手掌(吳承恩的立體幾何一定不錯).我們的桌面看起來像平行四邊形，因此平面通常畫成平行四邊形，有些時候我們也可以用圓或三角形等圖形來表示平面，如圖2.平行四邊形的銳角通常畫成45，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來，如圖3. 圖2 圖3 平面的表示法有如下幾種：（1）在一個希臘字母、的前面加“平面”二字，如平面、平面、平面等，且字母通常寫在平行四邊形的一個銳角內(nèi)(圖4)；（2）用平行四邊形的四個字母表示，如平面ABCD（圖5）；（3）用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如平面AC（圖5）. 圖4 圖5下面我們總結(jié)點與直線、平面的位置關(guān)系如下表：點A在直線a上（或直線a經(jīng)過點A）Aa元素與集合間的關(guān)系點A在直線a外（或直線a不經(jīng)過點A）Aa點A在平面內(nèi)（或平面經(jīng)過點A）A點A在平面外（或平面不經(jīng)過點A）A直線上有一個點在平面內(nèi)，直線沒有全部落在平面內(nèi)(圖7)，直線上有兩個點在平面內(nèi)，則直線全部落在平面內(nèi).例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面內(nèi).公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).這是用文字語言描述，我們也可以用符號語言和圖形語言（圖6）描述. 空間圖形的基本元素是點、直線、平面.從運動的觀點看，點動成線，線動成面，從而可以把直線、平面看成是點的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示.規(guī)定直線用兩個大寫的英文字母或一個小寫的英文字母表示，點用一個大寫的英文字母表示，而平面則用一個小寫的希臘字母表示.公理1也可以用符號語言表示：若Aa,Ba,且A,B,則a. 圖6 圖7請同學(xué)們用符號語言和圖形語言描述直線與平面相交.若Aa,Ba,且A,B,則a.如圖（圖7）.在生活中，我們常?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀等等. 上述事實和類似的經(jīng)驗可以歸納為下面的公理.公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.如圖（圖8）.圖8公理2刻畫了平面特有的性質(zhì)，它是確定一個平面位置的依據(jù)之一.我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個范圍呢？不是，因為平面是無限延展的.直線是可以落在平面內(nèi)的，因為直線是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無限延展的特征.現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個現(xiàn)象（課件演示給學(xué)生看）.問：兩個平面會不會只有一個公共點？不會，因為平面是無限延展的，應(yīng)當有很多公共點.正因為平面是無限延展的，所以有一個公共點，必有無數(shù)個公共點.那么這無數(shù)個公共點在什么位置呢？可見，這無數(shù)個公共點在一條直線上. 這說明，如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.此時，就說兩平面相交，交線就是公共點的集合，這就是公理3.如圖（圖9），用符號語言表示為：P,且P=l,且Pl.圖9 公理3告訴我們，如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么這兩個平面一定相交，且其交線一定過這個公共點.也就是說，如果兩個平面有一個公共點，那么它們必定還有另外一個公共點，只要找出這兩個平面的兩個公共點，就找出了它們的交線. 由此看出公理3不僅給出了兩個平面相交的依據(jù)，還告訴我們所有交點在同一條直線上，并給出了找這條交線的方法.描述點、直線、平面的位置關(guān)系常用3種語言:文字語言、圖形語言、符號語言.“平面的基本性質(zhì)”小結(jié)：名稱作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)公理2確定一個平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù)應(yīng)用示例例1 如圖10，用符號語言表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系.圖10活動：學(xué)生自己思考或討論，再寫出（最好用實物投影儀展示寫的正確的答案）.教師在學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正，并及時評價.解：在（1）中，=l,a=A,a=B.在（2）中，=l,a,b,al=P,bl=P.變式訓(xùn)練1.畫圖表示下列由集合符號給出的關(guān)系：(1)A,B,Al,Bl;(2)a,b,ac,bc=P,=c.解：如圖11.圖112.根據(jù)下列條件，畫出圖形.（1）平面平面=l，直線AB，ABl，EAB，直線EF=F，F(xiàn)l;（2）平面平面=a，ABC的三個頂點滿足條件:Aa，B，Ba，C，Ca.答案：如圖12.圖12點評：圖形語言與符號語言的轉(zhuǎn)換是本節(jié)的重點，主要有兩種題型：(1)根據(jù)圖形，先判斷點、直線、平面的位置關(guān)系，然后用符號表示出來.(2)根據(jù)符號，想象出點、直線、平面的位置關(guān)系，然后用圖形表示出來.例2 已知直線a和直線b相交于點A.求證：過直線a和直線b有且只有一個平面.圖13證明：如圖13,點A是直線a和直線b的交點,在a上取一點B，b上取一點C，根據(jù)公理2經(jīng)過不在同一直線上的三點A、B、C有一個平面，因為A、B在平面內(nèi)，根據(jù)公理1，直線a在平面內(nèi),同理直線b在平面內(nèi)，即平面是經(jīng)過直線a和直線b的平面.又因為A、B在a上，A、C在b上，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面一定經(jīng)過點A、B、C.于是根據(jù)公理2，經(jīng)過不共線的三點A、B、C的平面有且只有一個，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面有且只有一個.變式訓(xùn)練求證：兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi).證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點分別為A、B、C、D、E、F,圖14直線a直線b=A,直線a和直線b確定平面設(shè)為，即a,b.B、Ca，E、Fb,B、C、E、F.而B、Fc，C、Ed,c、d,即a、b、c、d在同一平面內(nèi).點評：在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到證明點和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有：(1)直線與直線外一點.(2)兩條相交直線.(3)兩條平行直線.課堂小結(jié)1.平面是一個不加定義的原始概念，其基本特征是無限延展性.2.通過三個公理介紹了平面的基本性質(zhì)，及作用.名稱作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)公理2確定一個平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù)3.利用三個公理證明共面、共線、共點問題.作業(yè)課本習(xí)題2.1 A組5、6.板書設(shè)計教學(xué)反思