新編高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專(zhuān)題 平面解析幾何教師版

平面解析幾何一、高考預(yù)測(cè)解析幾何初步的內(nèi)容主要是直線與方程、圓與方程和空間直角坐標(biāo)系，該部分內(nèi)容是整個(gè)解析幾何的基礎(chǔ)，在解析幾何的知識(shí)體系中占有重要位置，但由于在高中階段平面解析幾何的主要內(nèi)容是圓錐曲線與方程，故在該部分高考考查的分值不多，在高考試卷中一般就是一個(gè)選擇題或者填空題考查直線與方程、圓與方程的基本問(wèn)題，偏向于考查直線與圓的綜合，試題難度不大，對(duì)直線方程、圓的方程的深入考查則與圓錐曲線結(jié)合進(jìn)行根據(jù)近年來(lái)各地高考的情況，解析幾何初步的考查是穩(wěn)定的，預(yù)計(jì)20xx年該部分的考查仍然是以選擇題或者填空題考查直線與圓的基礎(chǔ)知識(shí)和方法，而在解析幾何解答題中考查該部分知識(shí)的應(yīng)用圓錐曲線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一，在高考中一般有12個(gè)選擇題或者填空題，一個(gè)解答題選擇題或者填空題在于有針對(duì)性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，試題考查主要針對(duì)圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難度一般不大；解答題中主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法，這道解答題往往是試卷的壓軸題之一由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)，在高考命題上已經(jīng)比較成熟，考查的形式和試題的難度、類(lèi)型已經(jīng)較為穩(wěn)定，預(yù)計(jì)20xx年仍然是這種考查方式，不會(huì)發(fā)生大的變化解析幾何的知識(shí)主線很清晰，就是直線方程、圓的方程、圓錐曲線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，復(fù)習(xí)解析幾何時(shí)不能把目標(biāo)僅僅定位在知識(shí)的掌握上，要在解題方法、解題思想上深入下去解析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質(zhì)，代數(shù)方程是解題的橋梁，要掌握一些解方程(組)的方法，掌握一元二次方程的知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用，掌握使用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入的解題方法；數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何問(wèn)題中起著重要作用，數(shù)形結(jié)合思想占首位，其次分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，如解析幾何中的最值問(wèn)題往往就是建立求解目標(biāo)的函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的最值研究幾何中的最值復(fù)習(xí)解析幾何時(shí)要充分重視數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用二、知識(shí)導(dǎo)學(xué)(一)直線的方程1.點(diǎn)斜式：；2. 截距式：； 3.兩點(diǎn)式：；4. 截距式：；5.一般式：，其中A、B不同時(shí)為0.(二)兩條直線的位置關(guān)系兩條直線，有三種位置關(guān)系：平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）；相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；重合（有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）.在這三種位置關(guān)系中，我們重點(diǎn)研究平行與相交.設(shè)直線：=+，直線：=+，則的充要條件是=，且=；的充要條件是=-1. (三)圓的有關(guān)問(wèn)題1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（r0），稱(chēng)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r.特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)（0，0），半徑為r時(shí)，圓的方程為.2.圓的一般方程（0）稱(chēng)為圓的一般方程，其圓心坐標(biāo)為（，），半徑為.當(dāng)=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（，）；當(dāng)0時(shí)，方程不表示任何圖形. 3.圓的參數(shù)方程 圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系： （為參數(shù)） （為參數(shù)）(四) 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1. 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離的和大于|這個(gè)條件不可忽視.若這個(gè)距離之和小于|，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于|，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（0），（0）.3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大?。喝绻?xiàng)的分母大于項(xiàng)的分母，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在y軸上.4.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.(五)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1. 橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為（0）. 范圍： -axa，-bxb，所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里. 對(duì)稱(chēng)性：分別關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫做橢圓的中心. 頂點(diǎn)：有四個(gè)（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 線段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng). 所以橢圓和它的對(duì)稱(chēng)軸有四個(gè)交點(diǎn)，稱(chēng)為橢圓的頂點(diǎn). 離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0e1.e越接近于1時(shí)，橢圓越扁；反之，e越接近于0時(shí)，橢圓就越接近于圓.橢圓的四個(gè)主要元素a、b、c、e中有=+、兩個(gè)關(guān)系，因此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個(gè)獨(dú)立條件.(六)橢圓的參數(shù)方程 橢圓（0）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. 說(shuō)明 這里參數(shù)叫做橢圓的離心角.橢圓上點(diǎn)P的離心角與直線OP的傾斜角不同：； 橢圓的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.(七)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1. 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（小于|）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.在這個(gè)定義中，要注意條件2a|，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=|，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；若2a|，則無(wú)軌跡. 若時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡僅為雙曲線的一個(gè)分支，又若時(shí)，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對(duì)值”.2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.1的常數(shù)（離心率）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.對(duì)于雙曲線，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-c，0）和（c，0），與它們對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是和.在雙曲線中，a、b、c、e四個(gè)元素間有與的關(guān)系，與橢圓一樣確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只要兩個(gè)獨(dú)立的條件.(九)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)1拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)（F）和一條定直線（l）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。這個(gè)定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)，這條定直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。需強(qiáng)調(diào)的是，點(diǎn)F不在直線l上，否則軌跡是過(guò)點(diǎn)F且與l垂直的直線，而不是拋物線。2拋物線的方程有四種類(lèi)型：、.對(duì)于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對(duì)稱(chēng)軸是哪個(gè)軸，方程中的該項(xiàng)即為一次項(xiàng)；一次項(xiàng)前面是正號(hào)則曲線的開(kāi)口方向向x軸或y軸的正方向；一次項(xiàng)前面是負(fù)號(hào)則曲線的開(kāi)口方向向x軸或y軸的負(fù)方向。3拋物線的幾何性質(zhì)，以標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px為例（1）范圍：x0；（2）對(duì)稱(chēng)軸：對(duì)稱(chēng)軸為y=0，由方程和圖像均可以看出；（3）頂點(diǎn)：O（0，0），注：拋物線亦叫無(wú)心圓錐曲線（因?yàn)闊o(wú)中心）；（4）離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；（5）準(zhǔn)線方程；（6）焦半徑公式：拋物線上一點(diǎn)P（x1，y1），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于四種拋物線的的點(diǎn).那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形或軌跡）.注意事項(xiàng) 1 直線的斜率是一個(gè)非常重要的概念，斜率k反映了直線相對(duì)于x軸的傾斜程度.當(dāng)斜率k存在時(shí)，直線方程通常用點(diǎn)斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x=a（aR）.因此，利用直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程解題時(shí)，斜率k存在與否，要分別考慮. 直線的截距式是兩點(diǎn)式的特例，a、b分別是直線在x軸、y軸上的截距，因?yàn)閍0，b0，所以當(dāng)直線平行于x軸、平行于y軸或直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.求解直線方程的最后結(jié)果，如無(wú)特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫(xiě)成一般式.當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，可以通過(guò)畫(huà)圖容易判定兩條直線是否平行與垂直在處理有關(guān)圓的問(wèn)題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對(duì)稱(chēng)性等幾何性質(zhì)的運(yùn)用，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算.2. 用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要分清焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上，還是兩種都存在. 注意橢圓定義、性質(zhì)的運(yùn)用，熟練地進(jìn)行a、b、c、e間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫(huà)出橢圓.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個(gè)不為零的常數(shù).雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，再由條件確定參數(shù)p的值.同時(shí)，應(yīng)明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中一個(gè)，就可以求出其他兩個(gè).解題的策略有：1、注意直線傾斜角范圍 、設(shè)直線方程時(shí)注意斜率是否存在，可以設(shè)成 ，包含斜率不存在情況，但不包含斜率為0情況。注意截距為0的情況；注意點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題（光線的反射問(wèn)題）；注意證明曲線過(guò)定點(diǎn)方法（兩種方法：特殊化、分離變量）2、注意二元二次方程表示圓的充要條件、善于利用切割線定理、相交弦定理、垂徑定理等平面中圓的有關(guān)定理解題；注意將圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)、定直線的距離的最值轉(zhuǎn)化為圓心到它們的距離；注意圓的內(nèi)接四邊形的一些性質(zhì)以及正弦定理、余弦定理。以過(guò)某點(diǎn)的線段為弦的面積最小的圓是以線段為直徑，而面積最大時(shí)，是以該點(diǎn)為線段中點(diǎn)。3、注意圓與橢圓、三角、向量（注意利用加減法轉(zhuǎn)化、利用模與夾角轉(zhuǎn)化、然后考慮坐標(biāo)化）結(jié)合；4、注意構(gòu)建平面上的三點(diǎn)模型求最值，一般涉及“和”的問(wèn)題有最小值，“差”的問(wèn)題有最大值，只有當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)才取得最值；5、熟練掌握求橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程的方法：待定系數(shù)法或定義法，注意焦點(diǎn)位置的討論，注意雙曲線的漸近線方程：焦點(diǎn)在軸上時(shí)為 ，焦點(diǎn)在 軸上時(shí)為 ；注意化拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式（即2p、p、的關(guān)系）；注意利用比例思想，減少變量，不知道焦點(diǎn)位置時(shí)，可設(shè)橢圓方程為 。6、熟練利用圓錐曲線的第一、第二定義解題；熟練掌握求離心率的題型與方法，特別提醒在求圓錐曲線方程或離心率的問(wèn)題時(shí)注意利用比例思想方法，減少變量。7、注意圓錐曲線中的最值等范圍問(wèn)題：產(chǎn)生不等式的條件一般有：“ 法”；離心率 的范圍；自變量 的范圍；曲線上的點(diǎn)到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的范圍；注意尋找兩個(gè)變量的關(guān)系式，用一個(gè)變量表示另一個(gè)變量，化為單個(gè)變量，建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法， 注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍、離心率范圍以及根的判別式范圍。8、求軌跡方程的常見(jiàn)方法：直接法；幾何法；定義法；相關(guān)點(diǎn)法； 9、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中點(diǎn)等條件以向量形式給出；注意將有關(guān)向量的表達(dá)式合理變形；特別注意遇到角的問(wèn)題，可以考慮利用向量數(shù)量積解決；10、注意存在性、探索性問(wèn)題的研究，注意從特殊到一般的方法。三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛命題角度1對(duì)橢圓相關(guān)知識(shí)的考查 1設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若FlPF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 ( ) 考場(chǎng)錯(cuò)解 A 專(zhuān)家把脈 沒(méi)有很好地理解橢圓的定義，錯(cuò)誤地把當(dāng)作離心率 對(duì)癥下藥 D 設(shè)橢圓的方程為=l (a，b >0) 由題意可設(shè)|PF2|=|F1F2|=k，|PF1|=k，則e=2設(shè)雙曲線以橢圓=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率為 ( ) A±2 B± C± D± 考場(chǎng)錯(cuò)解 D 由題意得a=5，b=3，則c=4而雙曲線以橢圓=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，則a=c =4，b=3 k= 專(zhuān)家把脈 沒(méi)有很好理解a、b、c的實(shí)際意義 對(duì)癥下藥 C 設(shè)雙曲線方程為=1，則由題意知c=5，=4 則a2=20 b2=5，而a=2 b=雙曲線漸近線斜率為±=3從集合1，2，3，11中任選兩個(gè)元素作為橢圓方程=1中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域B=(x，y)x|<11，且|y|<9內(nèi)的橢圓個(gè)數(shù)為 ( ) A43 B72 C86 D90 考場(chǎng)錯(cuò)解 D 由題意得，m、n都有10種可能，但mn故橢圓的個(gè)數(shù)10×10-10=90 專(zhuān)家把脈 沒(méi)有注意，x、y的取值不同 對(duì)癥下藥 B 由題意得m有10種可能，n只能從集合11，2，3，4，5，6，7，81中選取，且mn，故橢圓的個(gè)數(shù)：10×8-8=724設(shè)直線l與橢圓=1相交于A、B兩點(diǎn)，l又與雙曲線x2-y2=1相交于C、D兩點(diǎn)，C、D三等分線段AB，求直線l的方程 ( ) 考場(chǎng)錯(cuò)解 設(shè)直線l的方程為y=kx+b如圖所示，l與橢圓，雙曲線的交點(diǎn)為A(x1，y1)、B (x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依題意有=3 由所以x1+x2=-由得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 (2) 若k=±1，則l與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故k±1 所以x3+x4=、由x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4-bk=0或b =0 當(dāng)k=0時(shí)，由(1)得x1、2=± 由(2)得x3、4=±由=3(x4-x1)即故l的方程為y=± 當(dāng)b=0時(shí)，由(1)得x1、2=±，由(2)得x3、4=由=3(x4-x3)即綜上所述：直線l的方程為：y= 專(zhuān)家把脈 用斜截式設(shè)直線方程時(shí)沒(méi)有注意斜率是否存在，致使造成思維片面，漏解 對(duì)癥下藥 解法一：首先討論l不與x軸垂直時(shí)的，情況設(shè)直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為：A(x1，y1)、B(x2， y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依題意有由得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0(1) 所以x1+x2=-由得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0若k=±1，則l與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故k±1所以x3+x4=由x1+x2=x2+x4或 b=0當(dāng)k=0時(shí)，由(1)得由(2)得x3、4=±由(x4-x3)即故l的方程為 y=±當(dāng)b=0時(shí)，由(1)得x1、2=自(2)得x3、4=(x4-x3)即故l的方程為y=再討論l與x軸垂直時(shí)的情況設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得yl、2=y3、4=即綜上所述，直線l的方程是：y=x、y=±和x=x3、4=x2-x1=3(x4-x3)故l的方程為y=±當(dāng)y0=0，x00，由(2)得x4=x30，這時(shí)l平行y軸設(shè)l的方程為x=c，分別代入橢圓、雙曲線方程得：yl、2=y3、4=y2-y1=3(y4-y3)故l的方程為：當(dāng)x0=0，y0=0時(shí)，這時(shí)l通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與x軸垂直設(shè)l的方程為y=kx，分別代入橢圓、雙曲線方程得：x1、2=故l的方程為y=綜上所述，直線l的方程是：y=、y=和x=5設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1，3)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn) (1)確定A的取值范圍，并求直線AB的方程； ()試判斷是否存在這樣的A，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說(shuō)明理由(此題不要求在答題卡上畫(huà)圖)考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)設(shè)A(x1，y1)B(x2，y2)則有:(x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0依題意，x1x2 kAB-N(1，3)是AB的中點(diǎn)，x1+x2=2,yl+y2=6從而kAB=-9又由N(1，3)在橢圓內(nèi)，<3×12+32=12 的取值范圍是(-，12)直線AB的方程為y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0專(zhuān)家把脈 用“差比法”求斜率時(shí)kAB=這地方很容易出錯(cuò)N(1，3)在橢圓內(nèi)，>3×12+32=12應(yīng)用結(jié)論時(shí)也易混淆對(duì)癥下藥 (1)解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-=0 設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)，則x1，x2是方程的兩個(gè)不同的根，=4(k2+3)-3(k-3)2>0， 且x1+x2=，由N(1，3)是線段AB的中點(diǎn)，得，A(k-3)=k2+3解得k=-1，代入得，>12，即的取值范圍是(12，+)于是，直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0 解法2：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0 依題意，x1x2，kAB=-N(1，3)是AB的中點(diǎn)，x1+x2=2，yl+y2=6，從而kAB=-1又由N(1，3)在橢圓內(nèi)，>3×12+32=12， 的取值范圍是(12，)直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0 ()解法1：CD垂直平分AB，直線CD的方程為y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4又設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x3， x4是方程的兩根，x3+x4=-1，且x0=(x3+x4)=-，y0=x0+2=，即M(-，)于是由弦長(zhǎng)公式可得|CD|=將直線AB的方程x+y-4=0，代入橢圓方程得4x2-8x+ 16-=0 同理可得|AB|= 當(dāng)>12時(shí)，>,|AB|<|CD|假設(shè)存在>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心點(diǎn)M到直線AB的距離為d=于是，由、式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+故當(dāng)>12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，為半徑的圓上 (注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：) A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A為直角|AN|2 =|CN|·|DN|，即. 由式知，式左邊=,由和知，式右邊=式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓解法2：由()解法1及>12， CD垂直平分AB，直線CD方程為y-3=x-1，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4-=0將直線AB的方程x+y-4=0，代入橢圓方程，整理得4x2-8x+16-=0解和式可得 xl，2=不妨設(shè)A(1+計(jì)算可得,A在以CD為直徑的圓上又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)共圓 (注：也可用勾股定理證明ACAD)專(zhuān)家會(huì)診 1重點(diǎn)掌握橢圓的定義和性質(zhì)，加強(qiáng)直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題的研究2.注重思維的全面性，例如求橢圓方程時(shí)只考慮到焦點(diǎn)在，軸上的情形；研究直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)忽略了斜率不存在的情形3注重思想方法的訓(xùn)練，在分析直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合和設(shè)而不求法與弦長(zhǎng)公式韋達(dá)定理聯(lián)系去解決；關(guān)于參數(shù)范圍問(wèn)題常用思路有：判別式法，自身范圍法等求橢圓的方程常用方法有：定義法，直接法，待定系數(shù)法，相關(guān)點(diǎn)法，參數(shù)法等命題角度2對(duì)雙曲線相關(guān)知識(shí)的考查1已知雙曲線x2-=1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且，則點(diǎn)M到x軸的距離為 ( ) 考場(chǎng)錯(cuò)解 B專(zhuān)家把脈 沒(méi)有理解M到x軸的距離的意義對(duì)癥下藥 C 由題意得a=1，b=，c=可設(shè)M (x0，y0)|MF1|=|ex0+a|=|x0+1|，|MF2|= |ex0-a|=|x0-1| 由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2得 x02=即點(diǎn)M到x軸的距離為2已知雙曲線=1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，OAF的面積為(O為原點(diǎn))，則兩條漸近線的夾角為 ( ) A30° B45° C60° D90° 考場(chǎng)錯(cuò)解 B 專(zhuān)家把脈 把兩條漸近線的夾角看成漸近線的傾斜角 對(duì)癥下藥 D 由題意得A()sOAF=·c·，則兩條漸近線為了y=x與y=-x則求兩條漸近線的夾角為90°解不等式，得專(zhuān)家會(huì)診 1注意雙曲線兩個(gè)定義的理解及應(yīng)用，在第二定義中，要強(qiáng)調(diào)e>1，必須明確焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的對(duì)應(yīng)性 2由給定條件求出雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法，當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏 3掌握參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，漸近線及其幾何意義，并注意靈活運(yùn)用命題角度3對(duì)拋物線相關(guān)知識(shí)的考查。 1過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線 ( ) A.有且僅只有一條 B有且僅有兩條 C.有無(wú)窮多條 D不存在 考場(chǎng)錯(cuò)解 D 由題意得|AB|=5 p=4，通徑長(zhǎng)為 2×4=8 5<8，故不存在這樣的直線 專(zhuān)家把脈 沒(méi)有理解拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)及p的意義 對(duì)癥下藥 B 解法一：由題意得P=2，通徑長(zhǎng)為4，而|AB|=x1+x2+p=7，由7>4，則這樣的直線有且僅有兩條，解法二：用待定系數(shù)法設(shè)直線方程為y=k(x-1)采用設(shè)而不求的方法求出k有兩個(gè)值，即直線有且僅有兩條 2設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上，l是AB的垂直平分線 (1)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F?證明你的結(jié)論； ()當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍 考場(chǎng)錯(cuò)解 ()，設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b，過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程可寫(xiě)為y=與y=2x2聯(lián)立得2x2+x-m=0得x1+ x2=-；設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0，y0)則x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m由Nl,得+m=-+b，于是b=即得l在y軸上截距的取值范圍為. 專(zhuān)家把脈 沒(méi)有借助“>0”來(lái)求出m>，無(wú)法進(jìn)一步求出b的范圍，只好胡亂地把m當(dāng)作大于或等于0 對(duì)癥下藥 (1)Fl|FA|=|FB|A、B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等 拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線，y10，y20，依題意 y1、y2不同時(shí)為0， 上述條件等價(jià)于yl=y2x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0； x1x2，上述條件等價(jià)于 x1+x2=0 即當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2=0時(shí)，l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F。 ()設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程可寫(xiě)為y=-x+m，所以x1、x2滿足方程2x2+x-m=0，得x1+x2=-； A、B為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式+8m>0，即m>設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x0=(x1+x2)=-，y0=-x0+m=+m 由Nl，得+m=-+b，于是b=+m> 即得l在y軸上截距的取值范圍為(，+)3如圖，過(guò)拋物線y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)p(x0，y0)(y0>0)，作兩條直線分別交拋物線于A (x1，y1)，B(x2，y2)(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離； ()當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù) 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)當(dāng)y=時(shí)，x=又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-P，由拋物線定義得，所求距離為()設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB由y21=2px1,y20=2px0相減得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1x0)同理可得kpB=(x2x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故設(shè)直線AB的斜率為kAB。由y22=2px2,y21=2px1 相減得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)故kAB=將y1+y2=-y0(y0>0)代入得kAB=-故kAB是非零常數(shù) 專(zhuān)家把脈 沒(méi)有掌握拋物線的準(zhǔn)線方程，計(jì)算不夠準(zhǔn)確 對(duì)癥下藥 (1)當(dāng)y=時(shí)，x=，又拋物線y2= 2px的準(zhǔn)線方程為x=，由拋物線定義得，所求距離為-(-)=()設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB由y12=2px1，y20=2px0相減得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，故kPA=(x1x0)同理可得kPB=(x2x0)由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知kPA=-kPB，即=-，所以yl+y2=-2y0，故=-2. 設(shè)直線AB的斜率為kAB由y22=2px2，y21=2pxl相減得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，所以將yl+y2=-2y0(y0>0)代入得所以kAB是非零常數(shù) 4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足AOBO(如圖所示) (1)求AOB的重心C(即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程； ()AOB的面積是否存在最小值?若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 考場(chǎng)錯(cuò)解（）設(shè)AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則OAx1x2+yly2=0(2)又點(diǎn)A、B在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡(jiǎn)得xlx2=0或-1y=（x1+x2）2-2x1x2=3x2+或3x2，故重心為G的軌跡方程為y=3x2或y=3x2+.專(zhuān)家把脈沒(méi)有考慮到x1x2=0時(shí)，AOB不存在對(duì)癥下藥 （）設(shè)AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則又點(diǎn)A、B在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡(jiǎn)得xlx2=-1y=（x1+x2）2-2x1x2=3x2+所以重心為G的軌跡方程為y=3x2+ ()SAOB=由(1)得SAOB=當(dāng)且僅當(dāng)x16=x26即x1=-x2=-1時(shí)，等號(hào)成立。所以AOB的面積存在最小值，最小值為1。專(zhuān)家會(huì)診用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分類(lèi)討論思想。凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)，弦的中點(diǎn)，弦的斜率問(wèn)題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)。(x1，yl-1)=(x2，y2-1)由此得x1=x2，由于x1， x2都是方程的根，且1-a20，所以消去x2得 專(zhuān)家把脈 (1)沒(méi)有考慮到1-a20()沒(méi)有注意到題目本身的條件a>0 對(duì)癥下藥 (1)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以解得0<a<且 a1雙曲線的率心率e=且 a1，e>且e，即離心率e的取值范圍為()() ()設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)(x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程的根，且1-a20，所以x2=-，消x2，得-，由a>0，所以a=2給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn) (1)設(shè)l的斜率為1，求與夾角的大?。?()設(shè)，若4，9，求l在y軸上截距的變化范圍 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)設(shè)與夾角為；由題意l的方程為了y=x-1，將y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0設(shè)A(x1，y1)B(x2，y2)則有x1+x2=6，x1x2=1易得·=x1x2+y1y2=-3，cos=-arccos()由題意知，過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A'、B' |FB|=|BB'|，|AF|=|AA'| |BB|=|AA'|，4， 9設(shè)l的方程為y=k(x-1)由得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0 x=|AA'|=+l =|BB'|= 專(zhuān)家把脈 ()沒(méi)有理解反余弦的意義()思路不清晰對(duì)癥下藥 (1)C的焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為了y=x-1將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有xl+x2=6，x1x2=1 =(x1，y1)·(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3 所以與夾角的大小為-arc cos()由題設(shè)得 (x2-1，y2)=(1-x1，-y1)，即由得y22=2y21y21=4x1，y22=4x2，x2=2x1 聯(lián)立、解得x2=，依題意有>0，B(，2 )或B (，-2 )，又9(1，0)，得直線(2)當(dāng)|PF1|=|F1F2|時(shí)，同理可得解得e2=3于是=1-3=-2 (3)當(dāng)|PF2|=|F1F2|時(shí)，同理可得=4c2 解得e2=1 于是=1-1=0綜上所述，當(dāng)=或-2或0時(shí)PF1F2，F(xiàn)2為等腰三角形 專(zhuān)家把脈 (1)沒(méi)有注意到因?yàn)镻F1l，所以PF1F2=90°+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2| (2)沒(méi)有注意到橢圓離心率的范圍 對(duì)癥下藥 (1)證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：y= ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是(-)(0,a). 由所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(-c,)，由得(-c+)=(，a) 即 證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l:y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是(-，0)，(0，a)，設(shè)M的坐標(biāo)是(x0，y0)，由得()， 所以因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以=1， 即e4-2(1-)e2+(1-)2=0，解得e2=1- 即=1-e2 ()解法一：因?yàn)镻F1l，所以 PF1F2=90°+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,即|PF1|=c. 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由|PF1|=d， =,得=e所以e2=，于是=1-e2=.即當(dāng)=時(shí)，PF1F2為等腰三角形解法二：因?yàn)镻F1l，所以，PF1F2=90°+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)，則解得由|PF1|=|FlF2|得=4c2，兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得=e2從而e2=于是=l-e2=即當(dāng)=時(shí)，PF1F2為等腰三角形 4拋物線C的方程為y=ax2(a<0)，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P(x0，y0)(x00)作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1，y1)B(x2，y2)兩點(diǎn)(P、A、B三點(diǎn)互不相同)，且滿足k2+k1=0(0且-1) ()求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； ()設(shè)直線AB上一點(diǎn)M滿足=，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上 ()當(dāng)A=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，-1)，求PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)拋物線C的方程y=ax2(a<0)得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)準(zhǔn)線方程為x=-()P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1y=-x2由()易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(-k1 -1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1)于是= (k1+2,k21+2k1)，=(2k1，4k1)，2k1(k1+2)(2k1+1)因PAB為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同，故必有·<0易得k1的取值范圍是 k1<-2或<kl<0，又yl=-(k1+1)2故當(dāng)k1<-2時(shí)，y<-1;當(dāng)-<k1<0時(shí)-1<yl<- 即y1 專(zhuān)家把脈 沒(méi)有掌握好拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式及交并集的概念 對(duì)癥下藥 (1)由拋物線C的方程y=ax2(a<0)得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，準(zhǔn)線方程為y=- ()證明：設(shè)直線PA的方程為y-y0=k1(x-x0)，直線 PB的方程為y-y0=k2(x-x0)點(diǎn)P(x0，y0)和·點(diǎn)A(x1，y1)的坐標(biāo)是方程組 的解將式代入式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是 x1+x0=，故x1=-x0又點(diǎn)P(x0，y0)和點(diǎn)B(x2，y2)的坐標(biāo)是方程組的解將式代入式得ax2-k2x+k2x0-y0=0于是x2+x0=，故x2=-x0, 由已知得，k2=-kl，則x2=設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM,yM)，由=，則xM=.將式和式代入上式得x0，即xM+x0=0所以線段PM的中點(diǎn)在y軸上 ()因?yàn)辄c(diǎn)P(1，-1)在拋物線y=ax2上，所以a=-1，拋物線方程為y=-x2由式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2將=1代入式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為 A(-k1，-1，-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1)于是=(k1+2，k12+2k1)，=(2K1，4K1)，= 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)因PAB為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同，故必有<0求得k1的取值范圍是k1<-2或-<k1<0又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1滿足y1=-(k1+1)2，故當(dāng)k1<-2時(shí)， y1<-1；當(dāng)-<k1<0時(shí)，-1<y1<-.即y1(-，-1)U(-1，-)專(zhuān)家會(huì)診 1判定直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法是聯(lián)立方程組，判斷方程組解的組數(shù)，對(duì)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題還可借助直線與漸近線斜率的關(guān)系來(lái)判斷，而直線與拋物線的位置關(guān)系則可借助直線與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系來(lái)判定，不可混淆2涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)，不要蠻算，以免出現(xiàn)差錯(cuò)3涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化。命題角度5對(duì)軌跡問(wèn)題的考查 1(典型例題)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為若它的一條準(zhǔn)線與拋物線y2=4x的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線y2=4x的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是 ( ) A.2 B C18+12 D21考場(chǎng)錯(cuò)解 C 專(zhuān)家把脈 對(duì)雙曲線的定義理解不夠深刻 對(duì)癥下藥 B 設(shè)雙曲線方程為=1，由題意得則a=b=，則雙曲線方程為=1,由得A（3，2），故交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2(典型例題)已知點(diǎn)A（-2，0）、B(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足=x2，則點(diǎn)P的軌跡是 ()直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0由題意得 ·=d2即=d2 k2x2-y2±(k2+1)d2=0故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為k2x2-y2±(k2+1)d2=0 ()略 專(zhuān)家把脈 沒(méi)有很好地理解題意，第二問(wèn)出現(xiàn)兩解，致使第三問(wèn)過(guò)于復(fù)雜難以完成對(duì)癥下藥 解：(I)W1=(x，y)|kx<y-kx，z< 0|，W2=(x,y)|kx<y<bc，x>0，()直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0，由題意得·=d2，即=d2，由P(x，y)W，知k2x2-y2>0，所以=d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為k2x2-y2-(k2+1)d2=0； ()當(dāng)直線J與，軸垂直時(shí)，可設(shè)直線J的方程為，x=a (a0)由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，于是M1M2，M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為(a，0)，所以O(shè)M1M2，OM3M4的重心坐標(biāo)都為(a，0)，即它們的重心重合，當(dāng)直線l1與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線J的方程為y=mx+n(n 0)由, 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0在QF1F2中故有x2+b2= a2(x=±a) ()C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要條件是：又=(-C-x0-y0)，=(c-x0,y0)由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2即cosF1MF2=b2又s=sinFlMF2得tan FlMF2=2 專(zhuān)家把脈 (1)沒(méi)有注意證明題的書(shū)寫(xiě)格式(2)思考問(wèn)題不夠全面對(duì)癥下藥 (1)證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)由P(x，y)在橢圓上，得2由|x|a，知a+-c+a>0，所以=a+x 證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)記則r1=，r2=.由r1+r2=2a，r21-r22=4cx，得=r1=a+證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)橢圓的左準(zhǔn)線方程a+=0由橢圓第二定義得即由x-a，知a+-c+a>0，所以=a+()解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)當(dāng)=0時(shí)，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上當(dāng)且時(shí)，由=0，得又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn)在QF1F2中，=a，所以有x2+y2=a2綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)當(dāng)|=0時(shí)，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上當(dāng)且時(shí)，由又|=|，所以T為線段F2Q的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x'，y')，則因此由=2a得(x'+c)2+y'2=4a2將代入，可得x2+y2=a2綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2 ()解法一：C上存在點(diǎn)M(x0，y0)使S=b2的充要條件是由得，|y0|a，由得，|y0|，所以，當(dāng)a時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=b2；當(dāng)a<時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M當(dāng)a時(shí)，=(-c-c0,-y0)，=(c-c0,-y0)，由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2，解法二：C上存在點(diǎn)M(x0，y0)使S=b2的充要條件是由得|y0|，上式代入得x20=a2-=(a-) (a+)0于是，當(dāng)a時(shí)，存在點(diǎn)M，使s=b2;當(dāng)a<時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M當(dāng)a時(shí)，記k1=kF1M= 由|F1F2|<2a,知F1MF2<90°，所以tanF1MF2=2專(zhuān)家會(huì)診 (1)求軌跡方程的本質(zhì)是用代數(shù)形式將動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律表示出來(lái)，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)翻譯過(guò)程，故選取一定解題策略找到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一些表現(xiàn)形式是關(guān)鍵，往往和研究曲線幾何性質(zhì)，討論直線與曲線位置關(guān)系等聯(lián)系在一起(2)求軌跡要注意取值范圍和“雜點(diǎn)”的去除故舍去綜上所述：當(dāng)x=時(shí)d取得最小值專(zhuān)家把脈 沒(méi)有考慮到橢圓的分面有界性，致使思路不清晰，計(jì)算繁瑣 對(duì)癥下藥 解(1)由已知可得點(diǎn)A(-6，0)，F(xiàn)(0，4) 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則=(x+6，y)，=(x-4，y)，由已知可得 則 2x2+9x-18=0，x=或x=-6由于y>0，只能x=，于是y= 點(diǎn)P的坐標(biāo)是()(2)直線AP的方程是x-+6=0設(shè)點(diǎn)M(m，0)，則M到直線AP的距離是于是= |m-6|，又-6m6，解得m=2橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離d有，d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20-x2 =(x-)2+15，由于-6m6，當(dāng)x=時(shí)，d取得最小值2如圖，直線y=x嚴(yán)與拋物線y=x2-4交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于點(diǎn)Q (1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo) (2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含點(diǎn)A、B)的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求OPQ面積的最大值 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)略()由(1)得Q(5，-5) 直線OQ的方程為x+y=0設(shè)P(x, -4)點(diǎn)P到直線OQ的距離d=-4x8 SOPQ最大值=|(-4+4)2-48|=15 專(zhuān)家把脈 要注意二次函數(shù)最大值的求法 對(duì)癥下藥 (1)解方程組，得即A(-4，-2)，B(8，4)，從而AB的中點(diǎn)為M(2，1)，由，得線段AB的垂直平分線方程y-1=-2(x-2)令y=-5，得x=5，Q(5，-5)(2)直線OQ的方程為x+y=0，設(shè)P(x，-4)，點(diǎn)P到直線OQ的距離d=P為拋物線上位于線段AB下方點(diǎn)，且P不在直線OQ上 -4x<4-4或4-4<x8SOPQ最大值=30 3設(shè)橢圓方程為x2+=1，過(guò)點(diǎn)M(0，1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B、O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求： ()動(dòng)點(diǎn)戶的軌跡方程； ()的最小值與最大值 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)若l的斜率存在，設(shè)為k，則l：y =kx+1代入4x2+y2=4中得，(k2+4)x2+2kx-3=0 x1+x2=i)A=0時(shí)，x=0 y=1，P(0，1) ii）k0時(shí)，k=P點(diǎn)的軌跡為：x2+y2-y=0(yO)若l不存在斜率，A、B為上、下頂點(diǎn)P(0，0) (2)解：N()，i)，k不存在時(shí)P(0，0)，ii） k=0時(shí)P(0，1) iii）k0時(shí)x2+(y-)2=。又N()max=2r=1 min=0 專(zhuān)家把脈 思路不清晰對(duì)癥下藥 (1)解法一：直線l過(guò)點(diǎn)M(0，1)，設(shè)其斜率為A，則J的方程為y=kx+1記A(x1，y1)、B(x2，y2)，由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)(x1，y1)、(x2,y2)是方程組的解將代入并化簡(jiǎn)得(4+k2)x2+2kx-3=0所以 于是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則消去參數(shù)k得 4x2+y2-y=0 當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)，也滿足方程，所以點(diǎn)P的軌跡方程為 4x2+y2-y=0解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在橢圓上，所以-得所以（x1-x2）(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0當(dāng)x1x2時(shí)，有并且將代入并整理得4x2+y2-y=0當(dāng)x1=x2時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0，2)、(0，-2)，這時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0，0)也滿足，所以點(diǎn)P的軌跡方程為 ()解法：由點(diǎn)P的軌跡方程知x2。 即-x所以故當(dāng)x=時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)x=時(shí)，取得最大值，最大值為 由消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0則的取值范圍是2，+ 專(zhuān)家把脈 (1)沒(méi)有注意“雜點(diǎn)”的去除；()沒(méi)有注意利用重要不等式時(shí)等號(hào)成立的條件 對(duì)癥下藥 解法：(1)設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M (x0，y0)，依題意x10，yl>0，y2>0由y=x2，得y'=x. 過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k切=x1, x1=0不合題意， x10 直線l的斜率k1=,直線l的方程為y-x21=(x-x1)方法一：聯(lián)立消去y，得x2+-x21-2=0 M為PQ的中點(diǎn)，消去x1,得y0=x02+1(x00)，PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1(x0)，方法二：由y1=x21,y2=x22，x0=，得y1-y2=x21-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，則x0=k1=-x1=-,將上式代入并整理，得y0=x20+1(x00)， PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1(x0) ()設(shè)直線l：y=kx+b，依題意k0，b0，則T(0，b)分別過(guò)P、Q作PP'x軸，QQ'y軸，垂足分別為p'、 Q'，則由消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0則方法三：由P、Q、T三點(diǎn)共線得kTQ=kTP,即則x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2)于是b=可取一切不等于l的正數(shù)，的取值范圍是(2，+)專(zhuān)家會(huì)診直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，常用直線系的思想處理 定值問(wèn)題常常用函數(shù)的思想處理，即把所求定值通過(guò)一些基本變量表示，最終化成常數(shù)最值問(wèn)題往往用幾何方法，函數(shù)或不等式等方法處理四、典型習(xí)題導(dǎo)練1、已知橢圓右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為，短軸長(zhǎng)為（I）求橢圓的方程；（）過(guò)左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn)，若三角形OAB的面積為求直線AB的方程。【解析】（）由題意，-1分解得-2分 即：橢圓方程為-4分 （）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)， 此時(shí)不符合題意故舍掉； 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 的方程為：，代入消去得：-5分 設(shè)，則， 所以 -7分原點(diǎn)到直線的距離，所以三角形的面積由， 所以直線或-12分2、設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)三點(diǎn)做.（）若是的直徑，求橢圓的離心率；（）若的圓心在直線上，求橢圓的方程?！窘馕觥浚ǎ┯蓹E圓的方程知設(shè)1分是的直徑，,，2分，解得： 5分橢圓的離心率 6分（）解：過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)，圓心即在的垂直平分線，也在的垂直端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)過(guò)右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（）求橢圓的方程；（）在線段上是否存在點(diǎn),使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（）因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)：，又因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，所以：；故橢圓的方程為：4分（）（1）若與軸重合時(shí)，顯然與原點(diǎn)重合，；（2）若直線的斜率，則可設(shè)，設(shè)則：所以化簡(jiǎn)得：；的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，代入可得：的中點(diǎn)為， 由于得到所以：直線10分.12分直線恒過(guò)定點(diǎn).13分5、設(shè)橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且內(nèi)切于圓。()求橢圓的方程；()若直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)，求面積的最大值。【解析】()雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為，圓的直徑為，則，由所求橢圓的方程為12分6、已知橢圓的右焦點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn). 過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，滿足，其中是坐標(biāo)原點(diǎn). ()求橢圓E的方程；()過(guò)橢圓E的左頂點(diǎn)B作軸平行線BQ，過(guò)點(diǎn)N作軸平行線NQ，直線BQ與NQ相交于點(diǎn)Q. 若是以MN為一條腰的等腰三角形，求直線MN的方程.【命題意圖】本題考查橢圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化求解能力.【解析】()，設(shè)直線代入中，整理得.設(shè)，則