新版高考數(shù)學理科一輪【學案41】空間幾何體的表面積與體積含答案

1 1學案41空間幾何體的表面積與體積導學目標： 1.了解球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算公式.2.了解球、柱、錐、臺的體積的計算公式.3.培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力，會利用所學公式進行必要的計算.4.提高認識圖、理解圖、應用圖的能力自主梳理1多面體的表面積(1)設直棱柱高為h，底面多邊形的周長為c，則S直棱柱側(cè)_.(2)設正n棱錐底面邊長為a，底面周長為c，斜高為h，則S正棱錐側(cè)_.(3)設正n棱臺下底面邊長為a，周長為c，上底面邊長為a，周長為c，斜高為h，則S正棱臺側(cè)_.(4)設球的半徑為R，則S球_.2幾何體的體積公式(1)柱體的體積V柱體_(其中S為柱體的底面面積，h為高)特別地，底面半徑是r，高是h的圓柱體的體積V圓柱r2h.(2)錐體的體積V錐體_(其中S為錐體的底面面積，h為高)特別地，底面半徑是r，高是h的圓錐的體積V圓錐r2h.(3)臺體的體積V臺體_(其中S，S分別是臺體上、下底面的面積，h為高)特別地，上、下底面的半徑分別是r、r，高是h的圓臺的體積V圓臺h(r2rrr2)(4)球的體積V球_(其中R為球的半徑)自我檢測1已知兩平行平面，間的距離為3，P，邊長為1的正三角形ABC在平面內(nèi)，則三棱錐PABC的體積為()A. B.C. D.2(20xx·唐山月考)從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐ABCD，則它的表面積與正方體表面積的比為()A.3 B.2C.6 D.63設三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點，且PAQC1，則四棱錐BAPQC的體積為()A.V B.VC.V D.V4(20xx·平頂山月考)下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()A9 B10C11 D125(20xx·陜西)某幾何體的三視圖如下，則它的體積是()A8 B8C82 D.探究點一多面體的表面積及體積例1三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為3，一條側(cè)棱與底面相鄰兩邊都成60°角，求此棱柱的側(cè)面積與體積變式遷移1(20xx·煙臺月考)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都等于2，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則三棱柱的側(cè)面面積為_探究點二旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積例2如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積(其中BAC30°)及其體積變式遷移2直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都在同一球面上若ABACAA12，BAC120°，則此球的表面積等于_探究點三側(cè)面展開圖中的最值問題例3如圖所示，長方體ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，CC1c，并且a>b>c>0.求沿著長方體的表面自A到C1的最短線路的長變式遷移3(20xx·杭州月考)如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，ACB90°，AC6，BCCC1 .P是BC1上一動點，則CPPA1的最小值是_1有關柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應以公式為基礎，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關的幾何元素2當給出的幾何體比較復雜，有關的計算公式無法運用，或者雖然幾何體并不復雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補”的技巧，化復雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利(1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進而求之(2)幾何體的“補形”：與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等另外補臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法，由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體補成錐體研究體積 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(20xx·安徽)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A48 B328C488 D802已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面相切，若這個球的體積是，則這個三棱柱的體積是()A96 B16 C24 D483已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，長為定值的線段EF在棱AB上移動(EF<a)，若P是A1D1上的定點，Q是C1D1上的動點，則四面體PQEF的體積是()A有最小值的一個變量B有最大值的一個變量C沒有最值的一個變量D一個不變量4(20xx·全國)設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()Aa2 B.a2C.a2 D5a25(20xx·北京)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是()A8 B6 C10 D8二、填空題(每小題4分，共12分)6(20xx·馬鞍山月考)如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐PABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是_7(20xx·淄博模擬)一塊正方形薄鐵片的邊長為4 cm，以它的一個頂點為圓心，一邊長為半徑畫弧，沿弧剪下一個扇形(如圖)，用這塊扇形鐵片圍成一個圓錐筒，則這個圓錐筒的容積等于_cm3.8(20xx·四川)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱當圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是_三、解答題(共38分)9(12分)(20xx·佛山模擬)如圖組合體中，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面ABB1A1是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個點當點C是弧AB的中點時，求四棱錐A1BCC1B1與圓柱的體積比10(12分)(20xx·撫順模擬)如圖，四面體ABCD中，ABC與DBC都是邊長為4的正三角形(1)求證：BCAD；(2)試問該四面體的體積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時棱長AD的大小；若不存在，說明理由11(14分)(20xx·錦州期末)如圖，多面體ABFEDC的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別為AF，BC的中點(1)求證：MN平面CDEF；(2)求多面體ACDEF的體積學案41空間幾何體的表面積與體積自主梳理1(1)ch(2)nahch(3)n(aa)h(cc)h(4)4R22.(1)Sh(2)Sh(3)h(SS)(4)R3自我檢測1D由題意，SABC，三棱錐的高h3，V三棱錐PABCSh.2A設正方體棱長為a，則正四面體棱長ABa，S正四面體表4××(a)22a2.S正方體表6a2，四面體的表面積與正方體表面積的比為3.3C4.D據(jù)三視圖可知該幾何體由球和圓柱體組成，如圖所示，故該幾何體的表面積為SS圓柱S球26412.5A由三視圖可知該幾何體是一個邊長為2的正方體內(nèi)部挖去一個底面半徑為1，高為2的圓錐，所以V23××28，故選A.課堂活動區(qū)例1解題導引對于斜棱柱表面積及體積的求解必須求各個側(cè)面的面積和棱柱的高解決此類斜棱柱側(cè)面積問題的關鍵：在已知棱柱高的條件下，用線面垂直線線垂直的方法作出各個側(cè)面的高，并在相應的直角三角形中求解側(cè)面的高解如圖，過點A1作A1O面ABC于點O，連接AO.過點A1作A1EAB于點E，過點A1作A1FAC于點F，連接EO，F(xiàn)O，易得OEAB，OFAC，AA1和AB與AC都成60°角，A1AEA1AF，A1EA1F.A1O面ABC，EOFO.點O在BAC的角平分線上，延長AO交BC于點D，ABC是正三角形，BCAD.BCAA1.AA1BB1，側(cè)面BB1C1C是矩形，三棱柱的側(cè)面積為S2×3×4×sin 60°3×41212.AA13，AA1與AB和AC都成60°角，AE.BAO30°，AO，A1O.三棱柱的體積為V×16×12.變式遷移124解析如圖所示，設D為BC的中點，連接A1D，AD.ABC為等邊三角形，ADBC，BC平面A1AD，BCA1A，又A1AB1B，BCB1B，又側(cè)面與底面邊長都等于2，四邊形BB1C1C是正方形，其面積為4.作DEAB于E，連接A1E，則ABA1E，又AD，DE，AE，A1E，S四邊形ABB1A1，S三棱柱側(cè)24.例2解題導引解決這類題的關鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進行合理的分割，然后利用有關公式進行計算求全面積時不要忘記“內(nèi)表面”解如圖所示，過C作CO1AB于O1，在半圓中可得BCA90°，BAC30°，AB2R，ACR，BCR，CO1R，S球4R2，S圓錐AO1側(cè)×R×RR2，S圓錐BO1側(cè)×R×RR2，S幾何體表S球S圓錐AO1側(cè)S圓錐BO1側(cè)R2R2R2，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為R2.又V球R3，V圓錐AO1·AO1·COR2·AO1，V圓錐BO1BO1·COR2·BO1，V幾何體V球(V圓錐AO1V圓錐BO1)R3R3R3.變式遷移220解析在ABC中，ABAC2，BAC120°，可得BC2，由正弦定理，可得ABC外接圓的半徑r2，設此圓圓心為O，球心為O，在RtOBO中，易得球半徑R，故此球的表面積為4R220.例3解題導引本題可將長方體表面展開，利用平面內(nèi)兩點間的線段長是兩點間的最短距離來解答解將長方體相鄰兩個面展開有下列三種可能，如圖所示三個圖形甲、乙、丙中AC1的長分別為：，a>b>c>0，ab>ac>bc>0. 故最短線路的長為.變式遷移35解析將BCC1沿BC1線折到面A1C1B上，如圖所示連接A1C即為CPPA1的最小值，過點C作CD垂直A1C1延長線交于D，BCC1為等腰直角三角形，CD1，C1D1，A1DA1C1C1D7.A1C 5 .課后練習區(qū)1C由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個梯形側(cè)面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個側(cè)面是矩形，寬為4，長為.所以S表422×4×(24)×4×24××2488.2D由R3，R2.正三棱柱的高h4.設其底面邊長為a，則·a2，a4.V×(4)2×448.3D4.B5C將三視圖還原成幾何體的直觀圖如圖所示它的四個面的面積分別為8,6,10,6，故最大的面積應為10.66解析取底面中心為O，AF中點為M，連接PO、OM、PM、AO，則POOM，OMAF，PMAF，OAOP2，OM，PM.S側(cè)6××2×6.7.解析圍成圓錐筒的母線長為4 cm，設圓錐的底面半徑為r，則2r·2×4，r1，圓錐的高h.V圓錐·r2·h(cm3)82R2解析方法一設圓柱的軸與球的半徑的夾角為，則圓柱高為2Rcos ，圓柱底面半徑為Rsin ，S圓柱側(cè)2·Rsin ·2Rcos 2R2sin 2.當sin 21時，S圓柱側(cè)最大為2R2，此時，S球表S圓柱側(cè)4R22R22R2.方法二設圓柱底面半徑為r，則其高為2.S圓柱側(cè)2r·2，S圓柱側(cè)4.令S圓柱側(cè)0，得rR.當0<r<R時，S>0；當R<r<R時，S<0.當rR時，S圓柱側(cè)取得最大值2R2.此時S球表S圓柱側(cè)4R22R22R2.方法三設圓柱底面半徑為r，則其高為2，S圓柱側(cè)2r·2442R2(當且僅當r2R2r2，即rR時取“”)當rR時，S圓柱側(cè)最大為2R2.此時S球表S圓柱側(cè)4R22R22R2.9解設圓柱的底面半徑為r，母線長為h，當點C是弧的中點時，三角形ABC的面積為r2，三棱柱ABCA1B1C1的體積為r2h，三棱錐A1ABC的體積為r2h，四棱錐A1BCC1B1的體積為r2hr2hr2h，圓柱的體積為r2h，(10分)故四棱錐A1BCC1B1與圓柱的體積比為23.(12分)10(1)證明取BC的中點E，連接AE，DE，EF，ABC與DBC都是邊長為4的正三角形，AEBC，DEBC.又AEDEE，BC平面AED.又AD面AED，BCAD.(6分)(2)解由已知得，AED為等腰三角形，且AEED2，設ADx，F(xiàn)為棱AD的中點，則EF，SAEDx ，(8分)VSAED·(BECE) (0<x<4)，當x224，即x2時，Vmax8，該四面體存在最大值，最大值為8，(11分)此時棱長AD2.(12分)11(1)證明由多面體ABFEDC的三視圖知，三棱柱AEDBFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DAAE2，DA平面ABFE，面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形(3分)連接EB，則M是EB的中點，在EBC中，MNEC，且EC平面CDEF，MN平面CDEF，MN平面CDEF.(6分)(2)解DA平面ABFE，EF平面ABFE，EFAD.又EFAE，AEADA，EF平面ADE.又DE平面ADE，EFDE，(8分)四邊形CDEF是矩形，且平面CDEF平面DAE.取DE的中點H，連接AH，DAAE，DAAE2，AH，且AH平面CDEF.(12分)多面體ACDEF的體積VSCDEF·AHDE·EF·AH.(14分)