2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 四 漸開(kāi)線與擺線講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

四 漸開(kāi)線與擺線1漸開(kāi)線的產(chǎn)生過(guò)程把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開(kāi)，那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開(kāi)線，相應(yīng)的定圓叫做基圓2擺線的概念及產(chǎn)生過(guò)程圓的擺線就是一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡，圓的擺線又叫旋輪線3圓的漸開(kāi)線和擺線的參數(shù)方程 (1)圓的漸開(kāi)線方程：(為參數(shù))(2)擺線的參數(shù)方程：(為參數(shù))圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程例1求半徑為4的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程思路點(diǎn)撥關(guān)鍵根據(jù)漸開(kāi)線的生成過(guò)程，歸結(jié)到向量知識(shí)和三角的有關(guān)知識(shí)建立等式關(guān)系解以圓心為原點(diǎn)O，繩端點(diǎn)的初始位置為M0，向量的方向?yàn)閤軸正方向，建立坐標(biāo)系，設(shè)漸開(kāi)線上的任意點(diǎn)M(x，y)，繩拉直時(shí)和圓的切點(diǎn)為A，故OAAM，按漸開(kāi)線定義，弧的長(zhǎng)和線段AM的長(zhǎng)相等，記和x軸正向所夾的角為(以弧度為單位)，則|AM|4.作AB垂直于x軸，過(guò)M點(diǎn)作AB的垂線，由三角函數(shù)和向量知識(shí)，得(4cos ，4sin )由幾何知識(shí)知MAB，(4sin ，4cos )，所以(4cos 4sin ，4sin 4cos )(4(cos sin )，4(sin cos )又(x，y)，因此有這就是所求圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程中，字母r表示基圓的半徑，字母是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子上的定點(diǎn)M相對(duì)于圓心的張角；另外，漸開(kāi)線的參數(shù)方程不宜化為普通方程1已知圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程(為參數(shù))，則此漸開(kāi)線對(duì)應(yīng)基圓的半徑是_解析：圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程可化為(為參數(shù))，圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑r3.答案：32已知圓的直徑為2，其漸開(kāi)線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上的兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是和，求A，B兩點(diǎn)的距離解：根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線參數(shù)方程是(為參數(shù))，分別把和代入，可得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，B.那么，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得A，B兩點(diǎn)的距離為|AB| .即A，B兩點(diǎn)之間的距離為 .圓的擺線的參數(shù)方程例2求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程(如圖所示，開(kāi)始時(shí)定點(diǎn)M在原點(diǎn)O處，取圓滾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度(以弧度為單位)為參數(shù))思路點(diǎn)撥利用向量知識(shí)和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解解當(dāng)圓滾過(guò)角時(shí)，圓心為點(diǎn)B，圓與x軸的切點(diǎn)為A，定點(diǎn)M的位置如圖所示，ABM.由于圓在滾動(dòng)時(shí)不滑動(dòng)，因此線段OA的長(zhǎng)和圓弧的長(zhǎng)相等，它們的長(zhǎng)都等于2，從而B(niǎo)點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，向量(2，2)，向量(2sin ，2cos )，(2sin ，2cos )，因此(22sin ，22cos )(2(sin )，2(1cos )又動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，向量(x，y)所以這就是所求擺線的參數(shù)方程(1)圓的擺線的實(shí)質(zhì)是一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡(2)根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過(guò)程，可知其中的字母r是指定圓的半徑，參數(shù)是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于某一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所張開(kāi)的角度大小3擺線(0t2)與直線y2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是_答案：(2,2)，(32,2)4圓的半徑為r，沿x軸正向滾動(dòng)，圓與x軸相切于原點(diǎn)O.圓上點(diǎn)M起始處沿順時(shí)針已偏轉(zhuǎn)角試求點(diǎn)M的軌跡方程解：如圖所示，作MAx軸于點(diǎn)A，作CBMA于點(diǎn)B，則xMrrcosr(sin )，yMrrsinr(1cos )即點(diǎn)M的軌跡方程為一、選擇題1半徑為3的圓的擺線上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)可能是()AB2C12 D14解析：選C根據(jù)條件可知，圓的擺線方程為(為參數(shù))，把y0代入，得2k(kZ)，此時(shí)x6k(kZ)2給出下列說(shuō)法：圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；圓的漸開(kāi)線也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開(kāi)線問(wèn)題；在求圓的擺線和漸開(kāi)線方程時(shí)，如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同，可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程；圓的漸開(kāi)線和x軸一定有交點(diǎn)而且是唯一的交點(diǎn)其中正確的說(shuō)法有()A BC D解析：選C對(duì)于一個(gè)圓，只要半徑確定，漸開(kāi)線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇體系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會(huì)不同，相應(yīng)的參數(shù)方程也會(huì)有所區(qū)別，至于漸開(kāi)線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要看選取的坐標(biāo)系的位置3已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，那么圓的擺線方程中參數(shù)取對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為()A.1 B.C. D.解析：選C根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的擺線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，把代入?yún)?shù)方程中可得即A，|AB| .4如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，曲線AEFGH叫做“正方形的漸開(kāi)線”，其中AE，EF，F(xiàn)G，GH的圓心依次按B，C，D，A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH長(zhǎng)是()A3B4C5 D6解析：選C根據(jù)漸開(kāi)線的定義可知，是半徑為1的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為；是半徑為3的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為；是半徑為4的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為2，所以曲線AEFGH的長(zhǎng)是5.二、填空題5我們知道關(guān)于直線yx對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線(為參數(shù))關(guān)于直線yx對(duì)稱的曲線的參數(shù)方程為_(kāi)解析：關(guān)于直線yx對(duì)稱的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過(guò)程主要體現(xiàn)了x與y的互換，所以要寫出擺線方程關(guān)于yx對(duì)稱的曲線方程，只需把其中的x，y互換答案：(為參數(shù))6已知圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，則此漸開(kāi)線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是_，當(dāng)參數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)解析：圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2.求當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)只需把代入曲線的參數(shù)方程，得x，y，由此可得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為.答案：27已知一個(gè)圓的擺線過(guò)點(diǎn)(1,0)，則擺線的參數(shù)方程為_(kāi)解析：圓的擺線的參數(shù)方程為令r(1cos )0，得2k，代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)，又過(guò)(1,0)，r(2ksin 2k)1，r.又r0，kN.答案：(為參數(shù)，kN)三、解答題8有一個(gè)半徑是2a的輪子沿著直線軌道滾動(dòng)，在輪輻上有一點(diǎn)M，與輪子中心的距離是a，求點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)輪子中心為O，則OMa.點(diǎn)M的軌跡即是以O(shè)為圓心，a為半徑的基圓的擺線由參數(shù)方程知點(diǎn)M的軌跡方程為9已知一個(gè)圓的擺線方程是(為參數(shù))，求該圓的面積和對(duì)應(yīng)的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程解：根據(jù)擺線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4，所以面積是16，該圓對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線參數(shù)方程是(為參數(shù))10已知一個(gè)圓的擺線過(guò)一定點(diǎn)(2,0)，請(qǐng)寫出該圓的半徑最大時(shí)該擺線的參數(shù)方程以及對(duì)應(yīng)的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程解：令y0，可得a(1cos )0，由于a0，即得cos 1，所以2k(kZ)代入xa(sin )，得xa(2ksin 2k)(kZ)又因?yàn)閤2，所以a(2ksin 2k)2(kZ)，即得a(kZ)又由實(shí)際可知a0，所以a(kN)易知，當(dāng)k1時(shí)，a取最大值為.代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為(為參數(shù))圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程為(為參數(shù))