2018版高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3.1.1 不等關(guān)系與不等式 3.1.2 不等式的性質(zhì)學(xué)案 新人教B版必修5.doc

3.1.1不等關(guān)系與不等式3.1.2不等式的性質(zhì)1.了解不等式的性質(zhì).(重點(diǎn))2.能用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系.(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1不等關(guān)系與不等式閱讀教材P61P62例1，完成下列問題.1.不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn)(1)不等符號(hào)<，>，或.(2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系.2.不等式中的文字語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于3.比較兩實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù)判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)某隧道入口豎立著“限高4.5米”的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過隧道，應(yīng)使車載貨物高度h滿足關(guān)系為h4.5.()(2)用不等式表示“a與b的差是非負(fù)數(shù)”為ab>0.()(3)不等式x2的含義是指x不小于2.()(4)若a<b或ab之中有一個(gè)正確，則ab正確.()【解析】(1).因?yàn)椤跋薷?.5米”即為“高度不超過4.5米”.不超過用“”表示，故此說法正確.(2).因?yàn)椤胺秦?fù)數(shù)”即為“不是負(fù)數(shù)”，所以ab0，故此說法錯(cuò)誤.(3).因?yàn)椴坏仁絰2表示x>2或x2，即x不小于2，故此說法是正確的.(4).因?yàn)椴坏仁絘b表示a<b或ab.故若a<b或ab中有一個(gè)正確，則ab一定正確.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2不等式的性質(zhì)閱讀教材P64P65例，完成下列問題.常用不等式的重要性質(zhì)名稱式子表達(dá)性質(zhì)1(對(duì)稱性)abba性質(zhì)2(傳遞性)a>b，b>ca>c性質(zhì)3(可加性)abac>bc推論1abcacb推論2ab，cdacbd性質(zhì)4(可乘性)ab，c0acbc；ab，c0acbc推論1ab0，cd0acbd推論2ab0 anbn(nN，n1)推論3ab0(nN，n>1)用不等號(hào)填空：(1)若a>b，則ac2_bc2.(2)若ab>0，b<0，則b_a.(3)若a>b，c<d，則ac_bd.(4)已知x<1，則x22_3x.【解析】(1)因?yàn)楫?dāng)c2>0時(shí)，有ac2>bc2.當(dāng)c20時(shí)，有ac2bc2，故應(yīng)填“”.(2)因?yàn)閍b>0，b<0，所以a>0，故應(yīng)填“<”.(3)因?yàn)閏<d，所以c>d，又因?yàn)閍>b，所以ac>bd，故應(yīng)填“>”.(4)因?yàn)閤223x(x2)(x1)，而x<1，所以x2<0，x1<0，則(x2)(x1)>0，即x223x>0，所以x22>3x，故應(yīng)填“>”.【答案】(1)(2)<(3)>(4)> 小組合作型用不等式(組)表示不等關(guān)系你有過乘坐火車的經(jīng)歷嗎？火車站售票處有規(guī)定：兒童身高不足1.2 m的免票，身高1.2 m1.5 m的兒童火車票為半價(jià)，身高超過1.5 m的兒童買全價(jià)票.你能用不等式表示這些規(guī)定嗎？【精彩點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是要提取問題中所提供的表示不等關(guān)系的信息：身高不足1.2 m，身高1.2 m1.5 m，身高超過1.5 m，抓住表示不等關(guān)系的詞語即可.【自主解答】設(shè)身高為h m，文字表述身高不足1.2 m身高在1.2 m1.5 m間身高超過1.5 m符號(hào)表示h<1.21.2h1.5h>1.5票價(jià)免票半價(jià)票全價(jià)票1.此類問題的難點(diǎn)是如何正確地找出題中的顯性不等關(guān)系和隱性不等關(guān)系.2.當(dāng)問題中同時(shí)滿足幾個(gè)不等關(guān)系，則應(yīng)用不等式組來表示它們之間的不等關(guān)系，另外若問題有幾個(gè)變量，選用幾個(gè)字母分別表示這些變量即可.3.用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟：(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語：至多、至少、大于等.(2)適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量.(3)用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式.再練一題1.用不等式(組)表示下列問題中的不等關(guān)系：(1)限速80 km/h的路標(biāo)；(2)橋頭上限重10噸的標(biāo)志；(3)某酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不多于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p不少于2.3%.【解】(1)設(shè)汽車行駛的速度為v km/h，則v80.(2)設(shè)汽車的重量為噸，則10.(3)比較兩數(shù)(式)的大小比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大小：(1)x23與3x；(2)已知a，b為正數(shù)，且ab，比較a3b3與a2bab2.【精彩點(diǎn)撥】我們知道，ab0ab，ab0ab，因此，若要比較兩式的大小，只需作差與0作比較即可.【自主解答】(1)(x23)3xx23x30，x233x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)，a0，b0 且 ab，(ab)20，ab0.(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.1.作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法：(1)作差法比較的步驟：作差變形定號(hào)結(jié)論.(2)變形的方法：因式分解；配方；通分；對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；分母或分子有理化；分類討論.2.如果兩實(shí)數(shù)同號(hào)，亦可采用作商法來比較大小，即作商后看商是大于1，等于1，還是小于1.再練一題2.已知a>0，試比較a與的大小. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082042】【解】因?yàn)閍，因?yàn)閍>0，所以當(dāng)a>1時(shí)，>0，有a>；當(dāng)a1時(shí)，0，有a；當(dāng)0<a<1時(shí)，<0，有a<.綜上，當(dāng)a>1時(shí)，a>；當(dāng)a1時(shí)，a；當(dāng)0<a<1時(shí)，a<.探究共研型不等式的性質(zhì)應(yīng)用探究1小明同學(xué)做題時(shí)進(jìn)行如下變形：2<b<3，<<，又6<a<8，2<<4.你認(rèn)為正確嗎？為什么？【提示】不正確.因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，但同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，在本題中只知道6<a<8.不明確a值的正負(fù).故不能將<<與6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘.探究2由6<a<8，4<b<2，兩邊分別相減得2<ab<6，你認(rèn)為正確嗎？【提示】不正確.因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉臃ㄅc可乘性.但不能相減或相除，解題時(shí)要充分利用條件，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形，而不可隨意“創(chuàng)造”性質(zhì).探究3你知道下面的推理、變形錯(cuò)在哪兒?jiǎn)幔?<ab<4，4<ba<2.又2<ab<2，0<a<3，3<b<0，3<ab<3.這怎么與2<ab<2矛盾了呢？【提示】利用幾個(gè)不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形.本題中將2<ab<4與2<ab<2兩邊相加得0<a<3，又將4<ba<2與2<ab<4兩邊相加得出3<b<2，又將該式與0<a<3兩邊相加得出3<ab<3，多次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了ab范圍的擴(kuò)大.(1)已知<，試求的取值范圍；(2)設(shè)f(x)ax2bx且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范圍.【精彩點(diǎn)撥】(1)【自主解答】(1)<，<，<，<，<.又<，<0，<0.的取值范圍是.(2)法一：設(shè)f(2)mf(1)nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a2bm(ab)n(ab)(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，即f(2)的取值范圍是5,10.法二：由得f(2)4a2b3f(1)f(1).又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，即f(2)的取值范圍是5,10.1.利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上， 記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.2.利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問題(1)恰當(dāng)設(shè)計(jì)解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì).(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)要切實(shí)注意不等式性質(zhì)的前提條件，切不可用似乎是很顯然的理由，代替不等式的性質(zhì)，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等.(3)準(zhǔn)確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯(cuò)誤.再練一題3.(1)已知12<a<60,15<b<36，求ab與的取值范圍；(2)若bcad0，bd>0，求證：. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082043】【解】(1)15<b<36，36<b<15，1236<ab<6015，即24<ab<45.<<，<<，<<4.ab和的取值范圍分別是(24,45)，.(2)證明：bcad0，bcad，bcbdadbd，即b(cd)d(ab).又bd>0，兩邊同除以bd得，.1.完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工共需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關(guān)系式是()A.5x4y<200B.5x4y200C.5x4y200D.5x4y200【解析】據(jù)題意知，500x400y20 000，即5x4y200，故選D.【答案】D2.若x2且y1，則Mx2y24x2y的值與5的大小關(guān)系是()A.M>5B.M<5C.M5D.M5【解析】M(5)x2y24x2y5(x2)2(y1)2，x2，y1，(x2)2>0，(y1)2>0，因此(x2)2(y1)2>0.故M>5.【答案】A3.b g糖水中有a g糖(b>a>0)，若再添上m g糖(m>0)，則糖水變甜了，根據(jù)這個(gè)事實(shí)提煉的一個(gè)不等式為()A.B.C.D.【解析】變甜了，意味著含糖量大了，即濃度高了.加糖之前糖水的濃度為，加糖之后糖水的濃度為，故>.【答案】B4.已知1<2x1<1，則1的取值范圍是_.【解析】1<2x1<10<x<1>1>21>1.【答案】(1，)5.(1)已知x1，比較3x3與3x2x1的大??；(2)若a>b>0，c<d<0，e<0，求證：>.【解】(1)3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(x1)(3x21).x1，x10.又3x21>0，(x1)(3x21)0，3x33x2x1.(2)證明：c<d<0，c>d>0.又a>b>0，ac>bd>0，則(ac)2>(bd)2>0，即<.又e<0，>.