2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第6講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)講義 理（含解析）.doc

第6講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考綱解讀1.理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)，熟悉對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及對數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，掌握其圖象通過的特殊點(diǎn)(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.通過具體實(shí)例了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，并體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型4.了解指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)互為反函數(shù)考向預(yù)測從近三年高考情況來看，本講為高考中的一個熱點(diǎn)預(yù)測2020年高考主要以考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用、最值、比較大小為主要命題方向，此外，與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)也是一個重要的考查方向，主要以復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題呈現(xiàn).1對數(shù)2對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)續(xù)表3反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線yx對稱1概念辨析(1)log2x22log2x.()(2)函數(shù)ylog2(x1)是對數(shù)函數(shù)()(3)函數(shù)yln 與yln (1x)ln (1x)的定義域相同()(4)當(dāng)x>1時，若logax>logbx，則a<b.()答案(1)(2)(3)(4) 2小題熱身(1)已知a>0，a1，函數(shù)yax與yloga(x)的圖象可能是()答案B解析yloga(x)的定義域是(，0)，所以排除A，C；對于選項D，由yax的圖象知0<a<1，由yloga(x)的圖象知a>1，矛盾，故排除D.故選B.(2)設(shè)alog2，be，cln ，則()Ac<a<b Ba<c<bCa<b<c Db<a<c答案C解析alog2<0，be(0,1)，cln >1，所以a<b<c.(3)有下列結(jié)論：lg (lg 10)0；lg (ln e)0；若lg x1，則x10；若log22x，則x1；若logmnlog3m2，則n9.其中正確結(jié)論的序號是_答案解析lg (lg 10)lg 10，故正確；lg (ln e)lg 10，故正確；正確；logmnlog3mlog3mlog3n2，故n9，故正確(4)若函數(shù)yf(x)是函數(shù)y2x的反函數(shù)，則f(2)_.答案1解析由已知得f(x)log2x，所以f(2)log221.題型 對數(shù)式的化簡與求值1已知函數(shù)f(x)則ff(1)f的值是_答案5解析因?yàn)閒(1)log210，所以ff(1)f(0)2.因?yàn)閘og3<0，所以f3log313log321213.所以ff(1)f235.2計算下列各式：(1)；(2)log3log54log210(3)7log72解(1)原式1.log5(1032)log55.3已知log189a,18b5，試用a，b表示log3645.解因?yàn)閘og189a,18b5，所以log185b，于是log3645.對數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡合并(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算如舉例說明2(1)(3)轉(zhuǎn)化：abNblogaN(a>0，且a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化如舉例說明3中18b5的變形 計算下列各式：(1)計算(lg 2)2lg 2lg 50lg 25的結(jié)果為_；(2)若lg xlg y2lg (2x3y)，則log的值為_；(3)計算：(log32log92)(log43log83)_.答案(1)2(2)2(3)解析(1)原式lg 2(lg 2lg 50)lg 52lg 2lg 1002lg 52(lg 2lg 5)2lg 102.(2)由已知得lg (xy)lg (2x3y)2，所以xy(2x3y)2，整理得4x213xy9y20，即421390，解得1或.由x>0，y>0,2x3y>0可得1，不符合題意，舍去，所以loglog2.(3)原式.題型 對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1(2019青島模擬)函數(shù)f(x)lg (|x|1)的大致圖象是()答案B解析易知f(x)為偶函數(shù)，且f(x)當(dāng)x1時，ylg x的圖象向右平移1個單位，可得ylg (x1)的圖象，結(jié)合選項可知，f(x)的大致圖象是B.2當(dāng)0<x時，4x<logax，則a的取值范圍是()A. B. C(1，) D(，2)答案B解析構(gòu)造函數(shù)f(x)4x和g(x)logax，畫出兩個函數(shù)在上的草圖(圖略)，可知，若g(x)經(jīng)過點(diǎn)，則a，所以a的取值范圍為.條件探究1若舉例說明2變?yōu)椋喝舴匠?xlogax在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解若方程4xlogax在上有解，則函數(shù)y4x和函數(shù)ylogax在上有交點(diǎn)，由圖象知解得0<a.條件探究2若舉例說明2變?yōu)椋喝舨坏仁絰2logax<0對x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解由x2logax<0得x2<logax，設(shè)f1(x)x2，f2(x)logax，要使x時，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)x2在上的圖象在f2(x)logax圖象的下方即可當(dāng)a>1時，顯然不成立；當(dāng)0<a<1時，如圖所示，要使x2<logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a<1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.條件探究3若舉例說明2變?yōu)椋寒?dāng)0<x時，<logax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解若<logax在x時成立，則0<a<1，且y的圖象在ylogax圖象的下方，如圖所示，由圖象知 <loga，所以解得<a<1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.1對數(shù)函數(shù)圖象的特征(1)底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了圖象的升降，即a>1時，圖象上升；0<a<1時，圖象下降(2)對數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖，其中圖象的相對位置與底數(shù)大小有關(guān)，圖中0<c<d<1<a<b.在x軸上側(cè)，圖象從左到右相應(yīng)的底數(shù)由小變大；在x軸下側(cè)，圖象從右到左相應(yīng)的底數(shù)由小變大(無論在x軸的上側(cè)還是下側(cè)，底數(shù)都按順時針方向變大)2利用對數(shù)函數(shù)的圖象可求解的三類問題(1)對數(shù)型函數(shù)圖象的識別解此類問題應(yīng)從對數(shù)函數(shù)ylogax的圖象入手，抓住圖象上的三個關(guān)鍵點(diǎn)(a,1)，(1,0)，特別地要注意a>1和0<a<1的兩種不同情況(2)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解(3)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解如舉例說明2. 1已知lgalgb0(a>0且a1，b>0且b1)，則函數(shù)f(x)ax與g(x)logbx的圖象可能是()答案B解析因?yàn)閘g alg b0，所以lg (ab)0，所以ab1，即b，故g(x)logbxlogxlogax，則f(x)與g(x)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線yx對稱，結(jié)合圖象知，B正確2設(shè)實(shí)數(shù)a，b是關(guān)于x的方程|lg x|c的兩個不同實(shí)數(shù)根，且a<b<10，則abc的取值范圍是_答案(0,1)解析由圖象可知0<a<1<b<10，又因?yàn)閨lg a|lg b|c，所以lg ac，lg bc，即lg alg b，lg alg b0，所以ab1，于是abcc，而0<c<1.故abc的取值范圍是(0,1)題型 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1比較對數(shù)值的大小1(2018天津高考)已知alog2e，bln 2，clog，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aa>b>c Bb>a>c Cc>b>a Dc>a>b答案D解析因?yàn)閑2.71828>2，所以alog2e>log221；bln 2<ln e1；又因?yàn)閏loglog23>log221，又因?yàn)閍log2e<log23c，所以c>a>b.角度2解對數(shù)不等式2(2018銀川模擬)設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)答案C解析若a>0，則log2a>loga，即2log2a>0，所以a>1.若a<0，則log(a)>log2(a)，即2log2(a)<0，所以0<a<1，1<a<0.綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,0)(1，)角度3與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題3已知函數(shù)f(x3)loga(a>0，且a1)(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)當(dāng)0<a<1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解令x3u，則xu3，于是f(u)loga(a>0，且a1，3<u<3)，所以f(x)loga(a>0，且a1，3<x<3)(1)因?yàn)閒(x)f(x)logalogaloga10，所以f(x)f(x)又定義域(3,3)關(guān)于原點(diǎn)對稱所以f(x)是奇函數(shù)(2)令t1，則t在(3,3)上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，函數(shù)ylogat是減函數(shù)，所以f(x)loga(0<a<1)在(3,3)上是減函數(shù)，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(3,3)1比較對數(shù)值大小的方法若底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對底數(shù)進(jìn)行分類討論若底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較若底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進(jìn)行比較，如舉例說明12求解對數(shù)不等式的兩種類型及方法類型方法形如logax>logab借助ylogax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況討論形如logax>b需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式，再借助ylogax的單調(diào)性求解3解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題單調(diào)性的步驟一求求出函數(shù)的定義域二判判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系，分a>1與0<a<1兩種情況判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則判斷函數(shù)的單調(diào)性，如舉例說明3(2)1(2016全國卷)若a>b>1,0<c<1，則()Aac<bc Babc<bacCalogbc<blogac Dlogac<logbc答案C解析解法一：由a>b>1,0<c<1，知ac>bc，A錯誤；0<c<1，1<c1<0，yxc1在x(0，)上是減函數(shù)，bc1>ac1，又ab>0，abbc1>abac1，即abc>bac，B錯誤；易知ylogcx是減函數(shù)，0>logcb>logca，logbc<logac，D錯誤；由logbc<logac<0，得logbc>logac>0，又a>b>1>0，alogbc>blogac>0，alogbc<blogac，故C正確解法二：依題意，不妨取a10，b2，c.易驗(yàn)證A，B，D錯誤，只有C正確2已知函數(shù)f(x)若ff(x)2，則x的取值范圍為()A2,1 B，)C2,1，) D0,1，)答案C解析解法一：若x0，則ff(x)log22xx2，所以2x0.若x>1，則ff(x)log2(log2x)2，log2x22，x2，所以x.若0<x1，則ff(x)2log2xx2，所以0<x1.綜上知，x的取值范圍是2,1，)解法二：作出函數(shù)f(x)的圖象如下：由圖象可知，若ff(x)2，則f(x)或f(x)0.再次利用圖象可知x的取值范圍是2,1，)3函數(shù)f(x)log2log (2x)的最小值為_答案解析f(x)log2x2log2(2x)log2x(log22log2x)log2x(log2x)22，所以當(dāng)log2x，即x時，f(x)取得最小值.