2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第4講 課后作業(yè) 理（含解析）.doc

第5章 數(shù)列 第4講 A組　基礎(chǔ)關(guān) 1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－n，則其前20項(xiàng)和為(　　) A．379＋ B．399＋ C．419＋ D．439＋ 答案　C 解析　S20＝a1＋a2＋…＋a20 ＝2(1＋2＋…＋20)－ ＝2－ ＝420－1＋＝419＋. 2．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于(　　) A. B．－ C．(－1)n＋1 D．以上答案均不對(duì) 答案　C 解析　1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2 ＝1＋(3－2)(2＋3)＋(5－4)(4＋5)＋…＝1＋2＋3＋4＋5＋…， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2 ＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)－n2＝－n2＝－； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2 ＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＋n＝. 綜上，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1. 3．(2018濰坊二模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝－n2－n，則數(shù)列的前40項(xiàng)的和為(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　若Sn＝－n2－n，可得n＝1時(shí)，a1＝S1＝－2； n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－n2－n＋(n－1)2＋(n－1)＝－2n， 則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－2n， ＝＝－， 即有數(shù)列的前40項(xiàng)的和為－＝－.故選D. 4．已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　) A．0 B．100 C．－100 D．102 答案　B 解析　由題意，得a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故選B. 5．在數(shù)列{an}中，已知對(duì)任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則a＋a＋a＋…＋a等于(　　) A．(3n－1)2 B.(9n－1) C．9n－1 D.(3n－1) 答案　B 解析　因?yàn)閍1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．則n≥2時(shí)，an＝23n－1. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3－1＝2，適合上式，所以an＝23n－1(n∈N*)．則數(shù)列{a}是首項(xiàng)為4，公比為9的等比數(shù)列．故選B. 6．化簡Sn＝n＋(n－1)2＋(n－2)22＋…＋22n－2＋2n－1的結(jié)果是(　　) A．2n＋1＋n－2 B．2n＋1－n＋2 C．2n－n－2 D．2n＋1－n－2 答案　D 解析　因?yàn)镾n＝n＋(n－1)2＋(n－2)22＋…＋22n－2＋2n－1，① 2Sn＝n2＋(n－1)22＋(n－2)23＋…＋22n－1＋2n，② 所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2. 7．(2018湖北襄陽四校聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為： 第一步：構(gòu)造數(shù)列1，，，，…，.① 第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘以，得到一個(gè)新數(shù)列a1，a2，a3，…，an. 則a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題意知所得新數(shù)列為1，，，…，，所以a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝＝＝＝. 8．(2018棗莊模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為________． 答案　 解析　等差數(shù)列{an}中，∵a5＝5，S5＝15， ∴解得a1＝1，d＝1， ∴an＝1＋(n－1)＝n，∴＝＝－， ∴數(shù)列的前100項(xiàng)和 S100＝＋＋＋…＋＝1－＝. 9．(2019商丘質(zhì)檢)有窮數(shù)列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有項(xiàng)的和為________． 答案　2n＋1－n－2 解析　因?yàn)?＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1， 所以Sn＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋4＋…＋2n－1) ＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n ＝－n＝2n＋1－n－2. 10．設(shè)f(x)＝，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為________． 答案　3 解析　∵6＋(－5)＝1，∴f(－5)，f(－4)，…，f(5)，f(6)共有11＋1＝12項(xiàng)． 由f(－5)，f(6)；f(－4)，f(5)；…；f(0)，f(1)共有6對(duì)，且該數(shù)列為等差數(shù)列． 又f(0)＋f(1)＝＋＝＋ ＝＝＝， ∴f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)＝6＝3. B組　能力關(guān) 1．(2018河南鄭州一中聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，若對(duì)任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2為定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100＝(　　) A．132 B．299 C．68 D．99 答案　B 解析　因?yàn)樵跀?shù)列{an}中，若對(duì)任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2為定值，所以an＋3＝an，即數(shù)列{an}中各項(xiàng)是以3為周期呈周期變化的．因?yàn)閍7＝2，a9＝3，a98＝a330＋8＝a8＝4，所以a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝2＋4＋3＝9，所以S100＝33(a1＋a2＋a3)＋a100＝339＋a7＝299，故選B. 2．(2018洛陽模擬)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，(Sn＋1－Sn)an＝2n(n∈N*)，則S2018＝(　　) A．3(21009－1) B.(21009－1) C．3(22018－1) D.(22018－1) 答案　A 解析　因?yàn)?Sn＋1－Sn)an＝2n(n∈N*)， 所以an＋1an＝2n(n∈N*)，所以an＋2an＋1＝2n＋1. 兩式作比可得＝2(n∈N*)． 又因?yàn)閍1＝1，a2a1＝2，所以a2＝2. 所以數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， {a2n－1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． 所以S2018＝(a1＋a3＋…＋a2017)＋(a2＋a4＋…＋a2018)＝＋＝3(21009－1)． 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{an}為，，，，，，，，，，…，，，…，，…，若Sk＝14，則ak＝________. 答案　 解析　因?yàn)椋剑剑?，＋＋…＋＝＝，所以?shù)列，＋，＋＋，…，＋＋…＋是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以該數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn＝＋1＋＋…＋＝.令Tn＝＝14，解得n＝7，所以ak＝. 4．在等比數(shù)列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中項(xiàng)為16. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log4an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在正整數(shù)k，使得＋＋＋…＋<k對(duì)任意n∈N*恒成立，若存在，求出正整數(shù)k的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意可得a3＝16， a3－a2＝8，則a2＝8，q＝2，a1＝4，所以an＝2n＋1. (2)bn＝log42n＋1＝， Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝. ＝＝， 所以＋＋＋…＋ ＝ ＝ ＝－ ＝－. 當(dāng)n＝1時(shí)，＝1<2<； 當(dāng)n≥2時(shí)，＋＋…＋ ＝－<<3. 故存在k＝3時(shí)，對(duì)任意的n∈N*都有＋＋＋…＋<3. 5．(2017山東高考)已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式； (2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn. 解　(1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q.由已知知q＞0. 由題意得所以3q2－5q－2＝0. 因?yàn)閝＞0，所以q＝2，x1＝1. 因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn＝2n－1. (2)過P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1. 記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn. 由題意bn＝2n－1＝(2n＋1)2n－2， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝32－1＋520＋721＋…＋(2n－1)2n－3＋(2n＋1)2n－2.① 2Tn＝320＋521＋722＋…＋(2n－1)2n－2＋(2n＋1)2n－1.② ①－②得，－Tn＝32－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)2n－1＝＋－(2n＋1)2n－1， 所以Tn＝.