2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.1 比較法導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

2.1 比較法預(yù)習(xí)目標(biāo)1.理解用比較法證明不等式的原理和思路2會(huì)運(yùn)用比較法證明簡(jiǎn)單的不等式.一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測(cè)，生生、師生交流討論，糾正共性問(wèn)題。二、合作探究1.作差比較法(1)作差比較法常用于多項(xiàng)式、分式形式的不等式，其關(guān)鍵步驟是變形常用技巧是：通分、配方、因式分解等變形的目的是直觀地看出與0的大小關(guān)系(2)在比較大小關(guān)系的問(wèn)題中，很多情況下是可以直接作差比較的，但是為了得到準(zhǔn)確的結(jié)果，可以先用特殊值試之，對(duì)比較結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，這樣在比較過(guò)程中，不會(huì)因?yàn)槭韬鲈斐山Y(jié)果的錯(cuò)誤，尤其在多個(gè)數(shù)或式比較中，為了避免兩兩比較的煩瑣，可以提前賦值預(yù)測(cè)，再進(jìn)行比較2作商比較法(1)在作商比較法中>1b>a是不正確的，因?yàn)榕ca，b的符號(hào)有關(guān)，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，>1b>a是正確的，若a<0，b<0，則>1b<a，因此，在用求商比較時(shí)，要對(duì)a，b的符號(hào)作出判斷，否則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果(2)作商比較法常用于冪、指數(shù)或?qū)?shù)不等式，應(yīng)用的前提是a>0，b>0.探究1作差比較法和作商比較法的實(shí)質(zhì)分別是什么？探究2作差法遵循什么步驟？適用于哪些類(lèi)型？例1 求證：(1)a2b22(ab1)；(2)若a>b>c，則bc2ca2ab2<b2cc2aa2b.變式練習(xí)1(江蘇高考)已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.例2 已知a2，求證：loga(a1)log(a1)a.變式練習(xí)2設(shè)a>0，b>0，求證：aabb(ab).例3 甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，問(wèn)甲、乙二人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)？變式練習(xí)3證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面(指橫截面，下同)的周長(zhǎng)相等，那么在相同時(shí)間里截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大參考答案探究1【提示】作差比較法的實(shí)質(zhì)是把兩個(gè)數(shù)或式子的大小判斷問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷一個(gè)數(shù)或式子與0的大小關(guān)系作商比較法的實(shí)質(zhì)是把兩個(gè)數(shù)或式子的大小判斷問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷一個(gè)數(shù)或式子與1的大小關(guān)系.探究2【提示】“作差法”的理論依據(jù)是實(shí)數(shù)的大小順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系：“abab0，abab0，abab0”，其一般步驟為“作差變形判號(hào)定論”其中變形是作差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號(hào)，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或一個(gè)常數(shù)與幾個(gè)平方和的形式，或幾個(gè)因式的積的形式等當(dāng)所得的“差式”是某個(gè)字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，則常用判別式法判斷符號(hào)作差法一般用于不等式的兩邊是多項(xiàng)式或分式例1 精講詳析本題考查作差比較法的應(yīng)用解答本題的步驟為作差因式分解判斷符號(hào)得出結(jié)論(1)a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)(2)bc2ca2ab2(b2cc2aa2b)(bc2c2a)(ca2b2c)(ab2a2b)c2(ba)c(ab)(ab)ab(ba)(ba)(c2acbcab)(ba)(ca)(cb)，a>b>c，ba<0，ca<0，cb<0.(ba)(ca)(cb)<0.bc2ca2ab2<b2cc2aa2b.bc2ca2ab2<b2cc2aa2b.變式練習(xí)1證明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b>0，所以ab0，ab>0，2ab>0，從而(ab)(ab)(2ab)0 ，即2a3b32ab2a2b.例2 精講詳析本題考查作商比較法的應(yīng)用，解答本題需要先判斷不等式兩側(cè)代數(shù)式的符號(hào)，然后再用作商法比較左右兩側(cè)的大小a2，a1>1.loga(a1)>0，log(a1)a0，由于loga(a1)loga(a1)<.a2，0<loga(a21)logaa22.<1，即1.log(a1)a0，loga(a1)log(a1)a.變式練習(xí)2 證明：aabb>0，(ab)>0，ab.當(dāng)ab時(shí)，顯然有1.當(dāng)a>b>0時(shí)，>1，>0.當(dāng)b>a>0時(shí)，0<<1，<0.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有>.即>1.綜上可知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b，都有aabb(ab).例3 精講詳析本題考查比較法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，解答本題需要設(shè)出從出發(fā)點(diǎn)到指定地點(diǎn)的路程s，甲、乙二人走完這段路程各自需要的時(shí)間t1、t2，然后利用作差法比較t1，t2的大小即可設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1、t2，依題意有：mns，t2.t1，t2.t1t2.其中s，m，n都是正數(shù)，且mn，t1t20，即t1t2.從而知甲比乙先到達(dá)指定地點(diǎn)變式練習(xí)3 證明：設(shè)截面的周長(zhǎng)為L(zhǎng).依題意，截面是圓的水管的截面面積為2，截面是正方形的水管的截面面積為.>0，原結(jié)論得證