2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 專題2 三角函數(shù)與解三角形知識(shí)整合學(xué)案 理.docx

專題2　三角函數(shù)與解三角形 　　一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 　　1.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)是什么? 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 遞增 區(qū)間 2kπ-π2, 2kπ+π2,k∈Z [2kπ-π,2kπ], k∈Z kπ-π2, kπ+π2,k∈Z 遞減 區(qū)間 2kπ+π2, 2kπ+3π2,k∈Z [2kπ,2kπ+π], k∈Z 無 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對(duì)稱 中心 (kπ,0),k∈Z kπ+π2,0, k∈Z kπ2,0,k∈Z 對(duì)稱軸 x=kπ+π2, k∈Z x=kπ,k∈Z 無 周期性 2π 2π π 　　2.求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)注意什么? (1)注意ω的符號(hào),不要把單調(diào)性或區(qū)間左右的值弄反; (2)不要忘記寫“+2kπ”或“+kπ”等,特別注意不要忘掉寫“k∈Z”; (3)書寫單調(diào)區(qū)間時(shí),不要把弧度和角度混在一起. 3.三角函數(shù)的常用結(jié)論有哪些? (1)對(duì)于y=Asin(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí),其為奇函數(shù);當(dāng)φ=kπ+π2(k∈Z)時(shí),其為偶函數(shù);對(duì)稱軸方程可由ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)求得. (2)對(duì)于y=Acos(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ+π2(k∈Z)時(shí),其為奇函數(shù);當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí),其為偶函數(shù);對(duì)稱軸方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. (3)對(duì)于y=Atan(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí),其為奇函數(shù). 4.三角函數(shù)圖象的兩種常見變換是什么? (1)y=sin xy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ).(A>0,ω>0) (2)y=sin xy=sin ωxy=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ).(A>0,ω>0) 　　二、三角恒等變換與解三角形 　　1.同角關(guān)系公式有哪些?如何記憶誘導(dǎo)公式? (1)同角關(guān)系:sin2α+cos2α=1,sinαcosα=tan α. (2)誘導(dǎo)公式,對(duì)于“kπ2α,k∈Z的三角函數(shù)值”與“角α的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶:奇變偶不變,符號(hào)看象限. 2.你能寫出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角、輔助角公式嗎? (1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式: sin(αβ)=sin αcos βcos αsin β; cos(αβ)=cos αcos β?sin αsin β; tan(αβ)=tanαtanβ1?tanαtanβ. (2)二倍角公式:sin 2α=2sin αcos α, cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (3)輔助角公式:asin x+bcos x=a2+b2sin(x+φ),其中tan φ=ba. 3.在三角恒等變換中,常見的拆角、拼角技巧有哪些? α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),α=12[(α+β)+(α-β)],α+π4=(α+β)-β-π4,α=α+π4-π4. 　　4.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式是什么? 在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c. (1)正弦定理: 在△ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R(R為△ABC的外接圓半徑). 變形:a=2Rsin A,sin A=a2R,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (2)余弦定理: 在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A. 變形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A=b2+c2-a22bc. (3)三角形面積公式: S△ABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B. 5.已知三角形兩邊及其一邊的對(duì)角,用正弦定理解三角形時(shí)要注意什么? 若運(yùn)用正弦定理,則務(wù)必注意可能有兩解,要結(jié)合具體情況進(jìn)行取舍.在△ABC中,A>B?sin A>sin B. 三角函數(shù)與解三角形是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn).三角函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)以及簡單的化簡與求值主要以選擇題、填空題的形式考查.其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式是解決化簡、計(jì)算問題的工具,“角”的變換是三角恒等變換的核心.解三角形多以解答題的形式考查,常與三角恒等變換結(jié)合,主要考查邊、角、面積的計(jì)算及有關(guān)的范圍問題. 　　一、選擇題和填空題的命題特點(diǎn) (一)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),考查主要從以下兩個(gè)方面進(jìn)行:(1)三角函數(shù)的圖象,主要涉及圖象變換以及由圖象確定解析式;(2)利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)中有關(guān)值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等問題. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2018全國Ⅰ卷文T8改編)已知函數(shù)f(x)=2cos22x+5,則(　　). A.f(x)的最小正周期為π,最大值為7 B.f(x)的最小正周期為2π,最小值為5 C.f(x)的最小正周期為2π,最大值為7 D.f(x)的最小正周期為π2,最小值為5 　　解析?　f(x)=cos222x+5=cos 4x+6,故f(x)的最小正周期為π2,最大值為7,最小值為5. 　　答案?　D 2.(2016全國Ⅱ卷理T7改編)若將函數(shù)f(x)=sin 2x的圖象向右平移π12個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則y=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(　　). A.π24,0 B.-π6,0 C.π6,0 D.π12,0 　　解析?　由題意可知函數(shù)f(x)=sin 2x的圖象向右平移π12個(gè)單位長度,得到函數(shù)g(x)=sin2x-π12=sin2x-π6的圖象. 令2x-π6=kπ(k∈Z),得x=π12+kπ2(k∈Z), 由此可得y=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是π12,0,故選D. 　　答案?　D (二)三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱點(diǎn),其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式是解決問題的工具,三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式)進(jìn)行變換.“角”的變換是三角恒等變換的核心. 3.(2018全國Ⅱ卷理T15改編)已知sin α+cos β=63,sin β-cos α=1,則sin(α-β)=(　　). A.-112 B.-16 C.16 D.112 　　解析?　將sin α+cos β=63的等式兩邊平方得sin2αcos+2β+2sin αcos β=23,　① 將sin β-cos α=1的等式兩邊平方得sin2β+cos2α-2sin βcos α=1.?、? ①+②得sin(α-β)=-16,故選B. 　　答案?　B 4.(2018全國Ⅲ卷文T4改編)已知tan θ=12,則sin 2θ-2cos2θ=(　　). A.-1 B.-45 C.45 D.-34 　　解析?　sin 2θ-cos22θ=sin2θ-2cos2θ1=2sinθcosθ-2cos2θsin2θ+cos2θ=2tanθ-2tan2θ+1=-45,故選B. 　　答案?　B (三)正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容,主要考查邊、角、面積的計(jì)算及有關(guān)的范圍問題. 5.(2018全國Ⅰ卷文T16改編)在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若3bsin C+3csin B=4asin Bsin C,且2bsin B+2csin C=bc+3a,則△ABC面積的最大值為(　　). A.332 B.32 C.334 D.34 　　解析?　根據(jù)題意,結(jié)合正弦定理可得 3sin Bsin C+3sin Csin B=4sin Asin Bsin C, 即sin A=32. ∵2bsin B+2csin C=bc+3a, ∴bsin B+csin C=12bc+32a, ∴bsin B+csin C=33bcsin A+asin A, 則b2+c2=33abc+a2. 由余弦定理可得2bccos A=33abc,解得a=23cos A=3. 由b2+c2=bc+3≥2bc,得bc≤3,從而S△ABC=12bcsin A≤334,故選C. 　　答案?　C 6.(2018全國Ⅲ卷文T11改編)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為S,且2S=(a+b)2-c2,則tan C=(　　). A.-34 B.-43 C.34 D.43 　　解析?　∵2S=(a+b)2-c2, ∴absin C=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=2abcos C+2ab, ∴sin C=2cos C+2, ∴sin2C=(2cos C+2)2=1-cos2C, 即5cos2C+8cos C+3=0, ∴cos C=-35(cos C=-1舍去), ∴sin C=45,tan C=sinCcosC=-43,故選B. 　　答案?　B 　　二、解答題的命題特點(diǎn) 高考全國卷中有關(guān)解三角形的解答題,主要涉及利用正、余弦定理求三角形的邊長、角、面積等基本計(jì)算,兩個(gè)定理與三角恒等變換的結(jié)合.這類試題一般要用到三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì). (2018全國Ⅰ卷理T17改編)如圖,在四邊形ABCD中,cos∠DAB=-14,ADAB=23,BD=4,AB⊥BC. (1)求sin∠ABD的值; (2)若∠BCD=π4,求CD的長. 　　解析?　(1)因?yàn)锳DAB=23,所以設(shè)AD=2k,AB=3k,其中k>0. 在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos∠DAB,所以16=9k2+4k2-23k2k-14,解得k=1,則AD=2, 而sin∠DAB=1--142=154. 在△ABD中,由正弦定理得sin∠ABD=ADBDsin∠DAB=24154=158. (2)由(1)可知,sin∠ABD=158,而AB⊥BC, 則sin∠CBD=sinπ2-∠ABD=cos∠ABD=1-1582=78. 在△BCD中,∠BCD=π4, 由正弦定理得 CD=sin∠CBDsin∠BCDBD=78224=722. 關(guān)于解三角形問題,一般要用到三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì),常見的三角恒等變換方法和原則都適用,同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”,即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”.