2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點(diǎn)測試36 基本不等式 理（含解析）.docx

考點(diǎn)測試36　基本不等式 高考概覽 考綱研讀 1．了解基本不等式的證明過程 2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題 一、基礎(chǔ)小題 1．“a>0且b>0”是“≥”成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　a>0且b>0?≥，但≥a>0且b>0，只能推出a≥0且b≥0． 2．已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤ 32＝．當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝時等號成立． 3．若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 答案　C 解析　∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即(x－2)2＝1時等號成立，解得x＝1或3．又∵x＞2，∴x＝3，即a等于3時，函數(shù)f(x)在x＝3 處取得最小值，故選C． 4．函數(shù)f(x)＝x＋(x<0)的值域?yàn)?　　) A．(－∞，0) B．(－∞，－2] C．[2，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案　B 解析　f(x)＝－≤－2 ＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時，等號成立． 5．設(shè)0<x<2，則函數(shù)y＝的最大值為(　　) A．2 B． C． D． 答案　D 解析　∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x，即x＝1時取等號． 6．函數(shù)y＝(x>－1)的圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A．(1，2) B．(1，－2) C．(1，1) D．(0，2) 答案　D 解析　y＝＝(x＋1)＋≥2，當(dāng)x＝0時取最小值． 7．設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是(　　) A．a(chǎn)<b<< B．a(chǎn)<<<b C．a(chǎn)<<b< D．<a<<b 答案　B 解析　∵0<a<b，∴a<<b，A，C錯誤；－a＝(－)>0，即>a，D錯誤．故選B． 8．已知a>0，b>0，a，b的等比中項(xiàng)是1，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　由題意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號． 9．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　) A．[0，2] B．[－2，0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 答案　D 解析　∵1＝2x＋2y≥2＝2當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y＝，即x＝y(tǒng)＝－1時等號成立，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2． 10．下列函數(shù)中，最小值為4的是(　　) A．y＝ B．y＝sinx＋(0＜x＜π) C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋4logx3 答案　C 解析　對于A，因?yàn)椤?，所以y＝＋的最小值不是4，所以不滿足題意；對于B，令sinx＝t∈(0，1]，則y＝t＋，y′＝1－＜0，因此函數(shù)y＝t＋在(0，1]上單調(diào)遞減，所以y≥5，所以不滿足題意；對于C，y≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝4e－x，即x＝ln 2時取等號，故滿足題意；對于D，當(dāng)x∈(0，1)時，log3x，logx3<0，所以不滿足題意． 11．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均存儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的存儲費(fèi)用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與存儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(　　) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 答案　B 解析　若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是元，存儲費(fèi)用是元， 總的費(fèi)用y＝＋≥2 ＝20， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號，得x＝80(件)．故選B． 12．設(shè)M＝，且a＋b＋c＝1，a，b，c∈(0，＋∞)，則M的取值范圍是________． 答案　[8，＋∞) 解析　M＝≥＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時取等號． 二、高考小題 13．(2017天津高考)已知函數(shù)f(x)＝ 設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．－，2 B．－， C．[－2，2] D．－2， 答案　A 解析　①當(dāng)x≤1時，關(guān)于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立等價于－x2＋x－3≤＋a≤x2－x＋3在R上恒成立，即有－x2＋x－3≤a≤x2－x＋3在R上恒成立．由y＝－x2＋x－3圖象的對稱軸為x＝＜1，可得在x＝處取得最大值－；由y＝x2－x＋3圖象的對稱軸為x＝＜1，可得在x＝處取得最小值，則－≤a≤． ②當(dāng)x>1時，關(guān)于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立等價于－x＋≤＋a≤x＋在R上恒成立，即有－x＋≤a≤＋在R上恒成立，由于x>1，所以－x＋≤－2＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取得最大值－2；因?yàn)閤>1，所以x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取得最小值2，則－2≤a≤2． 由①②可得－≤a≤2．故選A． 14．(2018天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________． 答案　 解析　由已知，得2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝2－3b時等號成立，由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，故當(dāng)a＝－3，b＝1時，2a＋取得最小值． 15．(2015重慶高考)設(shè)a，b>0，a＋b＝5，則＋的最大值為________． 答案　3 解析　令t＝＋， 則t2＝(＋)2 ＝a＋1＋b＋3＋2 ≤9＋a＋1＋b＋3＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋3時， 即a＝，b＝時，等號成立， 所以t的最大值為3． 16．(2017江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x的值是________． 答案　30 解析　設(shè)總費(fèi)用為y萬元，則y＝6＋4x＝4x＋≥240，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝30時，等號成立． 17．(2017天津高考)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________． 答案　4 解析　∵a4＋4b4≥2a22b2＝4a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2時“＝”成立)，∴≥＝4ab＋，由于ab＞0，∴4ab＋≥2＝4當(dāng)且僅當(dāng)4ab＝時“＝”成立，故當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為4． 三、模擬小題 18．(2018廊坊一模)已知m>0，n>0，2m＋n＝1，則＋的最小值為(　　) A．4 B．2 C． D．16 答案　C 解析　∵m>0，n>0，2m＋n＝1，則＋＝(2m＋n)＋＝＋＋≥＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)n＝，m＝時取等號．故選C． 19．(2018山東日照模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy>0，則＋的最大值為(　　) A．2－ B．2＋ C．4＋2 D．4－2 答案　D 解析?。剑?＋－＝1＋＝1＋＝1＋，因?yàn)閤y>0，所以>0，>0．由基本不等式可知＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立，所以1＋≤1＋＝4－2． 20．(2018四川資陽診斷)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，則a＋2b的最小值為(　　) A．5＋2 B．8 C．5 D．9 答案　D 解析　∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝>0，解得b>2，即b－2>0，則a＋2b＝＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝3，a＝3時等號成立，其最小值為9． 21．(2018江西九校聯(lián)考)若正實(shí)數(shù)x，y滿足(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，則x＋的最大值為(　　) A．－1＋ B．1 C．1＋ D． 答案　A 解析　由(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，得2x－2＋2＋2＝9，又2x－2＋2＋2≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)2x－＝2＋時等號成立，所以2x＋＋22≤18，得2x＋≤3－2，所以x＋≤，所以x＋的最大值為－1＋．故選A． 22．(2018南昌摸底)已知函數(shù)y＝x＋(x>2)的最小值為6，則正數(shù)m的值為________． 答案　4 解析　由x>2，知x－2>0，又m>0，則y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝2＋2，取等號的條件為x－2＝．從而依題意可知2＋2＝6，解得m＝4． 23．(2018邯鄲模擬)設(shè)x>0，y>0，且x－2＝，則當(dāng)x＋取最小值時，x2＋＝________． 答案　12 解析　∵x>0，y>0，∴當(dāng)x＋取最小值時，x＋2取得最小值，∵x＋2＝x2＋＋，又x－2＝，∴x2＋＝＋，∴x＋2＝＋≥2＝16，∴x＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時取等號，∴當(dāng)x＋取最小值時，x＝2y，x2＋＋＝16，∴x2＋＋＝16，∴x2＋＝16－4＝12． 一、高考大題 本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2018河北唐山模擬)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y． (1)求＋的最小值； (2)是否存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5？并說明理由． 解　(1)因?yàn)椋剑健荩?，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號成立，所以＋的最小值為2． (2)不存在．理由如下： 因?yàn)閤2＋y2≥2xy，所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2．從而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，因此不存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5． 2．(2018河南駐馬店檢測)某地需要修建一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預(yù)算，修建一個增壓站的費(fèi)用為400萬元，鋪設(shè)距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費(fèi)用為x2＋x萬元．設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬元． (1)試將y表示成x的函數(shù)； (2)需要修建多少個增壓站才能使y最小，其最小值為多少？ 解　(1)設(shè)需要修建k個增壓站， 則(k＋1)x＝240，即k＝－1． 所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x) ＝400＋ ＝＋240x－160． 因?yàn)閤表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0<x<240． 故y與x的函數(shù)關(guān)系是 y＝＋240x－160(0<x<240)． (2)y＝＋240x－160≥2－160 ＝24800－160＝9440， 當(dāng)且僅當(dāng)＝240x，即x＝20時等號成立， 此時k＝－1＝－1＝11． 故需要修建11個增壓站才能使y最小，其最小值為9440萬元． 3．(2018保定診斷)某商人投資81萬元建一間工作室，第一年裝修費(fèi)為1萬元，以后每年增加2萬元，把工作室出租，每年收入租金30萬元． (1)若扣除投資和各種裝修費(fèi)，則從第幾年開始獲取純利潤？ (2)若干年后該商人為了投資其他項(xiàng)目，對該工作室有兩種處理方案：①年平均利潤最大時，以46萬元出售該工作室；②純利潤總和最大時，以10萬元出售該工作室．問該商人會選擇哪種方案？ 解　(1)設(shè)第n年獲取利潤為y萬元． n年付出的裝修費(fèi)構(gòu)成一個首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，n年付出的裝修費(fèi)之和為n1＋2＝n2，又投資81萬元，n年共收入租金30n萬元， ∴利潤y＝30n－n2－81(n∈N*)． 令y>0，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0， 解得3<n<27(n∈N*)，∴從第4年開始獲取純利潤． (2)方案①：年平均利潤t＝ ＝30－－n＝30－≤30－2 ＝12(當(dāng)且僅當(dāng)＝n，即n＝9時取等號)， ∴年平均利潤最大時，以46萬元出售該工作室共獲利潤129＋46＝154(萬元)． 方案②：純利潤總和y＝30n－n2－81＝－(n－15)2＋144(n∈N*)， 當(dāng)n＝15時，純利潤總和最大，為144萬元， ∴純利潤總和最大時，以10萬元出售該工作室共獲利潤144＋10＝154(萬元)，兩種方案盈利相同，但方案①時間比較短，所以選擇方案①． 4．(2018南京質(zhì)檢)為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時間x(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝ 若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用． (1)若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達(dá)幾天？ (2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a(1≤a≤4)個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值(精確到0．1，參考數(shù)據(jù)：取1．4)． 解　(1)因?yàn)橐淮螄姙?個單位的凈化劑，所以濃度 f(x)＝4y＝ 則當(dāng)0≤x≤4時， 由－4≥4，解得x≥0，所以此時0≤x≤4． 當(dāng)4<x≤10時， 由20－2x≥4，解得x≤8，所以此時4<x≤8． 綜合得0≤x≤8，若一次噴灑4個單位的凈化劑，則有效凈化時間可達(dá)8天． (2)設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x(6≤x≤10)天，濃度g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4≥2－a－4 ＝8－a－4． 因?yàn)?4－x∈[4，8]，而1≤a≤4， 所以4∈[4，8]，故當(dāng)且僅當(dāng)14－x＝4時，y有最小值為8－a－4． 令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值為24－16≈1．6．