2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 3 參數(shù)方程和普通方程的互化講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

3參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程和普通方程的互化(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識(shí)別曲線類型，曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地，可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程(2)在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致 把曲線的普通方程化為參數(shù)方程例1根據(jù)所給條件，把曲線的普通方程化為參數(shù)方程(1)1，xcos 1，(為參數(shù))；(2)x2yx10，xt1，(t為參數(shù))解(1)將xcos 1代入1，得y2sin .(為參數(shù))這就是所求的參數(shù)方程(2)將xt1代入x2yx10，得yx2x1(t1)2t11t23t1，(t為參數(shù))這就是所求的參數(shù)方程普通方程化為參數(shù)方程時(shí)的注意點(diǎn)(1)選取參數(shù)后，要特別注意參數(shù)的取值范圍，它將決定參數(shù)方程是否與普通方程等價(jià)(2)參數(shù)的選取不同，得到的參數(shù)方程是不同的如本例(2)，若令xtan (為參數(shù))，則參數(shù)方程為(為參數(shù))1.如圖，以過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜角為參數(shù)，則圓x2y2x0的參數(shù)方程為_解析：由題意得圓的方程為2y2，圓心在x軸上，半徑為，則該圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，注意為圓心角，為圓弧所對(duì)的圓周角，則有2，故即(為參數(shù))答案：(為參數(shù))將參數(shù)方程化為普通方程例2將下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)(t為參數(shù))；(2)(為參數(shù))思路點(diǎn)撥(1)可采用代入法，由x1解出，代入y的表達(dá)式；(2)采用三角恒等變換求解解(1)由x1得 1x，將其代入y12得y32x.因?yàn)?，所以x11，所以參數(shù)方程化為普通方程為y32x(x1)方程表示的是以(1,1)為端點(diǎn)的一條射線(包括端點(diǎn))(2)由得，22得1(5x5，5y3)將參數(shù)方程化為普通方程的三種方法(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù)；(2)利用三角恒等式消去參數(shù)；(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，選用一些靈活的方法從整體上消去參數(shù)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍2參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為()Ax2y21Bx2y21去掉(0,1)點(diǎn)Cx2y21去掉(1,0)點(diǎn)Dx2y21去掉(1,0)點(diǎn)解析：選D結(jié)合題意，x2y2221，x11，故選D.3已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則曲線的普通方程為()Ay21xBy21xCy21x(y) D以上都不對(duì)解析：選C因?yàn)閥cos sin cos，所以y， ，由y212sin cos 1sin 2，得y21x，y， ，故選C.一、選擇題1將參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程為()Ayx2Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)解析：選C方程可化為yx2，x2,3，y0,1，故選C.2參數(shù)方程(為參數(shù))表示的曲線是()A直線 B圓C線段 D射線解析：選Cxcos20,1，ysin20,1，xy1(x0,1)為線段3曲線(為參數(shù))的對(duì)稱中心()A在直線y2x上B在直線y2x上C在直線yx1上D在直線yx1上解析：選B將(為參數(shù))化為普通方程為(x1)2(y2)21，其表示以(1,2)為圓心，1為半徑的圓，其對(duì)稱中心即圓心，顯然(1,2)在直線y2x上，故選B.4已知曲線C：(t為參數(shù))，A(1,0)，B(1,0)，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足APBP0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B1,1C， D2,2解析：選C設(shè)P(x，y)，A(1,0)，B(1,0)，點(diǎn)P滿足APBP0，P的軌跡方程是x2y21，表示圓心為(0,0)，半徑為1的圓曲線C：(t為參數(shù))化成普通方程為xya0，由題意知，圓心(0,0)到直線xya0的距離d1，a.二、填空題5x2y22x4y10化為參數(shù)方程為_解析：x2y22x4y10化成標(biāo)準(zhǔn)方程是(x1)2(y2)24，表示圓心為(1,2)，半徑為2的圓，故參數(shù)方程為(為參數(shù))答案：(為參數(shù))6直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_解析：(t為參數(shù))化為普通方程為xy1，(為參數(shù))化為普通方程為x2y29，表示以(0,0)為圓心，3為半徑的圓圓心(0,0)到直線的距離為，小于半徑3，所以直線與圓相交因此，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.答案：27已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos .以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為_解析：曲線C的直角坐標(biāo)方程是(x1)2y21，其參數(shù)方程為(為參數(shù))答案：(為參數(shù))三、解答題8把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線(1)(t為參數(shù)，t0)；(2)(t2)解：(1)由得ty1，又t0，所以y1.所以x4(y1)2(y1)，即(y1)2x(y1)方程表示的是頂點(diǎn)為(0,1)，對(duì)稱軸平行于x軸，開口向左的拋物線的一部分(2)由得1.t2，2x2，3y0.所求方程為1(3y0)，它表示半個(gè)橢圓.9如圖所示，經(jīng)過(guò)圓x2y24上任一點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，求線段PQ中點(diǎn)軌跡的普通方程解：圓x2y24的參數(shù)方程為(為參數(shù))在此圓上任取一點(diǎn)P(2cos ，2sin )，則PQ的中點(diǎn)為M(2cos ，sin )，所以PQ中點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))，化成普通方程y21.10已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2cos 6sin .(1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)曲線C1，C2是否相交？若相交，請(qǐng)求出公共弦的長(zhǎng)；若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)由(為參數(shù))得(x2)2y210，曲線C1的普通方程為(x2)2y210.2cos 6sin ，22cos 6sin ，x2y22x6y，即(x1)2(y3)210.曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2(y3)210.(2)圓C1的圓心為(2,0)，圓C2的圓心為(1,3)，|C1C2|32，兩圓相交設(shè)相交弦長(zhǎng)為d，兩圓半徑相等，公共弦平分線段C1C2，22()2，解得d，公共弦長(zhǎng)為.