2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題39 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布 理.doc

專題39 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布 一、考綱要求： 1.了解條件概率的概念，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念. 2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.3.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義． 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)質(zhì)及應(yīng)用,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例，應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程. 2.判斷某概率模型是否服從二項(xiàng)分布Pn(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三個(gè)條件 (1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是同一個(gè)常數(shù)p. (2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且每次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的. (3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率. 3.解決有關(guān)正態(tài)分布的求概率問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及曲線與x軸之間的面積為1，把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時(shí)要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解，要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用. (1)應(yīng)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值； (2)常用的結(jié)論有： ①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等. ②P(X≤a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a). 三、高考考題題例分析： 例1.（2018全國(guó)卷I）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立． （1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f （p）的最大值點(diǎn)p0． （2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． （i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX； （ⅱ）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？ 【答案】見(jiàn)解析 （2）（i）由（1）知p=0.1， 令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y～B（180，0.1）， X=202+25Y，即X=40+25Y， ∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+251800.1=490． （ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元， ∵E（X）=490＞400， ∴應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)． 例 2.（2018全國(guó)卷III）某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），則p=（　　） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【答案】B 【解析】：某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，看做是獨(dú)立重復(fù)事件，滿足X～B（10，p）， P（x=4）＜P（X=6），可得，可得1﹣2p＜0．即p． 因?yàn)镈X=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）． 故選：B． 5.盒中裝有10個(gè)乒乓球，其中6個(gè)新球，4個(gè)舊球，不放回地依次摸出2個(gè)球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也摸出新球的概率為(　　) A．　　　　　 B． C． D． 【答案】B　 6．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4. A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 【答案】C　 【解析】：由曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線可知題圖中陰影部分的面積為P(0<X≤1)＝0.682 6＝0.341 3，又題圖中正方形面積為1，故它們的比值為0.341 3，故落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為0.341 310 000＝3 413.故選C． 7．兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為(　　) A． B． C． D． 【答案】B　 8.某個(gè)電路開(kāi)關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為(　　) A． B． C． D． 【答案】C　 【解析】：設(shè)“開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B，則由題意可得P(A)＝，P(AB)＝，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合出現(xiàn)紅燈的概率是P(B|A)＝＝＝.故選C． 9．設(shè)隨機(jī)變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，則P(Y≥2)的值為(　　) A． B． C． D． 【答案】B　 【解析】：因?yàn)殡S機(jī)變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以Y～B，則P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝. 10．設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B，則函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點(diǎn)的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 11.已知隨機(jī)變量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)＝a，則P(X>2)的值為(　　) A． B． C．1－a D． 【答案】A 【解析】：根據(jù)正態(tài)分布可知P(|X|<2)＋2P(X>2)＝1，故P(X>2)＝，故選A． 12.已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(　　) (參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.74%. A．4.56%　　　　 B．13.59% C．27.18% D．31.74% 【答案】B　 【解析】：由正態(tài)分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，故選B． 二、填空題 13．設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ<－3)＝P(ξ>1)＝0.2，則P(－1<ξ<1)＝________. 【答案】0.3　 【解析】：由P(ξ<－3)＝P(ξ>1)＝0.2得P(ξ>－1)＝0.5，所以P(－1<ξ<1)＝0.5－0.2＝0.3. 14．投擲一枚圖釘，設(shè)釘尖向上的概率為p，連續(xù)擲一枚圖釘3次，若出現(xiàn)2次釘尖向上的概率小于3次釘尖向上的概率，則p的取值范圍為_(kāi)_______． 【答案】　 【解析】：設(shè)P(Bk)(k＝0,1,2,3)表示“連續(xù)投擲一枚圖釘，出現(xiàn)k次釘尖向上”的概率，由題意得P(B2)<P(B3)，即Cp2(1－p)<Cp3.∴3p2(1－p)<p3.由于0<p<1，∴<p<1. 15．將一個(gè)大正方形平均分成9個(gè)小正方形，向大正方形區(qū)域隨機(jī)地投擲一個(gè)點(diǎn)(每次都能投中)，投中最左側(cè)3個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為A，投中最上面3個(gè)小正方形或正中間的1個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為B，則P(A|B)＝________. 【答案】　 16．事件A，B，C相互獨(dú)立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，則P(B)＝________，P(B)＝________. 【答案】　　 【解析】：由題意可得 解得P(A)＝，P(B)＝， ∴P(B)＝P()P(B)＝＝. 三、解答題 17．某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下： 1．抽獎(jiǎng)方案有以下兩種：方案a：從裝有2個(gè)紅球、3個(gè)白球(僅顏色不同)的甲袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，若都是紅球，則獲得獎(jiǎng)金30元；否則，沒(méi)有獎(jiǎng)金，兌獎(jiǎng)后將摸出的球放回甲袋中；方案b：從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球(僅顏色不同)的乙袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，若都是紅球，則獲得獎(jiǎng)金15元；否則，沒(méi)有獎(jiǎng)金，兌獎(jiǎng)后將摸出的球放回乙袋中． 抽獎(jiǎng)條件：顧客購(gòu)買商品的金額滿100元，可根據(jù)方案a抽獎(jiǎng)一次；滿150元，可根據(jù)方案b抽獎(jiǎng)一次(例如某顧客購(gòu)買商品的金額為260元，則該顧客可以根據(jù)方案a抽獎(jiǎng)兩次或方案b抽獎(jiǎng)一次或方案a、b各抽獎(jiǎng)一次)．已知顧客A在該商場(chǎng)購(gòu)買商品的金額為350元． (1)若顧客A只選擇方案a進(jìn)行抽獎(jiǎng)，求其所獲獎(jiǎng)金的期望； (2)要使所獲獎(jiǎng)金的期望值最大，顧客A應(yīng)如何抽獎(jiǎng)？ 【答案】(1) 9元；(2)見(jiàn)解析 (2)按方案b抽獎(jiǎng)一次，獲得獎(jiǎng)金的概率P1＝＝. 若顧客A按方案a抽獎(jiǎng)兩次，按方案b抽獎(jiǎng)一次，則由方案a中獎(jiǎng)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B1～，由方案b中獎(jiǎng)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B2～， 設(shè)所得獎(jiǎng)金為w2元，則Ew2＝230＋115＝10.5. 若顧客A按方案b抽獎(jiǎng)兩次，則中獎(jiǎng)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B3～. 設(shè)所得獎(jiǎng)金為w3元，則Ew3＝215＝9. 結(jié)合(1)可知，Ew1＝Ew3<Ew2. 甲、乙、丙三人所付的租車費(fèi)用之和ξ的分布列為 ξ 2 2.5 3 3.5 4 P