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2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)11 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修2-1.doc

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2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)11 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修2-1.doc

課時分層作業(yè)(十一) 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) (建議用時:40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1.已知雙曲線-=1的右焦點為(3,0),則該雙曲線的離心率等于(  ) A. B.  C.  D. C [由題意知a2+5=9,解得a=2,故e=.] 2.已知雙曲線方程為x2-=1,過P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個公共點,則共有l(wèi)(  ) A.4條 B.3條 C.2條 D.1條 B [因為雙曲線方程為x2-=1,所以P(1,0)是雙曲線的右頂點,所以過P(1,0)并且和x軸垂直的直線是雙曲線的一條切線,與雙曲線只有一個公共點,另外還有兩條就是過點P(1,0)分別和兩條漸近線平行的直線,所以符合要求的共有3條,故選B.] 3.雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為2,焦點到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距等于(  ) A.2 B.2 C.4 D.4 C [由已知得e==2,所以a=c,故b==c,從而雙曲線的漸近線方程為y=x=x,由焦點到漸近線的距離為,得c=,解得c=2,故2c=4,故選C.] 4.若實數(shù)k滿足0<k<5,則曲線-=1與曲線-=1的(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:46342101】 A.實半軸長相等 B.虛半軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等 D [若0<k<5,則5-k>0,16-k>0,故方程-=1表示焦點在x軸上的雙曲線,且實半軸的長為4,虛半軸的長為,焦距2c=2,離心率e=;同理方程-=1也表示焦點在x軸上的雙曲線,實半軸的長為,虛半軸的長為,焦距2c=2,離心率e=.可知兩曲線的焦距相等,故選D.] 5.設(shè)雙曲線-=1(b>a>0)的半焦距為c,且直線l過(a,0)和(0,b)兩點,已知原點到直線l的距離為,則雙曲線的離心率為(  ) A. B. C. D.2 D [直線l的方程為+=1,即bx+ay-ab=0,原點到直線l的距離d===c 即ab=c2,所以a2(c2-a2)=c4. 整理得3e4-16e2+16=0,解得e2=4或e2= 又b>a>0,所以e2=1+>2,故e=2.] 二、填空題 6.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,則雙曲線方程為________. -y2=1 [由題意可得,解得, 故所求雙曲線方程為-y2=1.] 7.若a>1,則雙曲線-y2=1的離心率的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號:46342102】 (1,) [e2=1+,由a>1得1<e2<2. 所以1<e<.] 8.若直線x=2與雙曲線x2-=1(b>0)的兩條漸近線分別交于點A,B,且△AOB的面積為8,則焦距為________. 2 [雙曲線的漸近線方程為y=bx,則A(2,2b),B(2,-2b),|AB|=4b,從而S△AOB=4b2=8. 解得b=2,所以c2=5,從而焦距為2.] 三、解答題 9.雙曲線與橢圓+=1有相同的焦點,它的一條漸近線為y=x,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率. [解] 由橢圓+=1,知c2=64-16=48,且焦點在y軸上, ∵雙曲線的一條漸近線為y=x, ∴設(shè)雙曲線方程為-=1. 又c2=2a2=48,∴a2=24. ∴所求雙曲線的方程為-=1. 由a2=24,c2=48, 得e2==2, 又e>0,∴e=. 10.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為(,0). (1)求雙曲線C的方程; (2)若直線l:y=kx+與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且>2,其中O為原點,求k的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號:46342103】 [解] (1)設(shè)雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),由已知得a=,c=2. 又因為a2+b2=c2,所以b2=1, 故雙曲線C的方程為-y2=1. (2)將y=kx+代入-y2=1中, 得(1-3k2)x2-6kx-9=0, 由直線l與雙曲線交于不同的兩點得: 即k2≠且k2<1. ① 設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB), 則xA+xB=,xAxB=, 由>2得xAxB+yAyB>2, 而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+) =(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2 =(k2+1)++2=, 于是>2, 解此不等式得<k2<3. ② 由①②得<k2<1. 故k的取值范圍是∪. [能力提升練] 1.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均與曲線C:x2+y2-6x+5=0相切,則該雙曲線的離心率等于(  ) A. B. C. D. A [曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4,所以圓心坐標(biāo)為C(3,0),半徑r=2,雙曲線的漸近線為y=x,不妨取y=x,即bx-ay=0,因為漸近線與圓相切,所以圓心到直線的距離d==2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=a2=c2-a2,即a2=c2,所以e2=,e=,選A.] 2.設(shè)F1,F(xiàn)2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點P,滿足|PF2|=|F1F2|,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的漸近線方程為(  ) A.3x4y=0 B.3x+5y=0 C.5x4y=0 D.4x3y=0 D [由題意可知|PF2|=|F1F2|=2c,所以△PF1F2為等腰三角形,所以由F2向直線PF1作的垂線也是中線,因為F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長2a,所以|PF1|=2=4b,又|PF1|-|PF2|=2a,所以4b-2c=2a,所以2b-a=c,兩邊平方可得4b2-4ab+a2=c2=a2+b2,所以3b2=4ab,所以4a=3b,從而=,所以該雙曲線的漸近線方程為4x3y=0,故選D.] 3.設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點是F,左、右頂點分別是A1,A2,過點F作x軸的垂線與雙曲線交于B,C兩點,若A1B⊥A2C,則該雙曲線的漸近線的斜率為________. 1 [不妨設(shè)點B在第一象限,則A1(-a,0),B,A2(a,0),C,所以=,=.因為A1B⊥A2C,所以=0,所以c2-a2-=0,整理得,=1,即=1,所以漸近線的斜率為1.] 4.已知直線l:x-y+m=0與雙曲線x2-=1交于不同的兩點A,B,若線段AB的中點在圓x2+y2=5上,則實數(shù)m的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號:46342104】 1 [由,消去y得x2-2mx-m2-2=0.則Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以線段AB的中點坐標(biāo)為(m,2m).又點(m,2m)在圓x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,得m=1.] 5.直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A,B兩點. (1)求線段AB的長; (2)當(dāng)a為何值時,以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點? [解] 由得(3-a2)x2-2ax-2=0. 由題意可得3-a2≠0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=. (1)|AB|====. (2)由題意知,OA⊥OB,則=0, 即x1x2+y1y2=0, ∴x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0. 即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0, ∴(1+a2)+a+1=0,解得a=1. 經(jīng)檢驗a=1時,以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點.

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