福建省莆田第八中學(xué)2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理.doc

2017－2018高二下期中考數(shù)學(xué)測(cè)試卷 一、選擇題(12小題，每小題5分,共60分) 1．復(fù)數(shù)的實(shí)部是( ) A．－2 B．2 C．3 D．4 2．張、王兩家夫婦各帶1個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩，購票后排隊(duì)依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)共有(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 3．下列說法正確的是　(　　) A.命題“若x2=1,則x=1”的否命題為“若x2=1,則x≠1” B.命題“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0<0,+x0-1<0” C.命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為假命題 D.若“p∨q”為真命題,則p,q中至少有一個(gè)為真命題 4.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為　(　　) A.12 B.-12 C.6 D.-6 5.使不等式x2-3x<0成立的一個(gè)必要不充分條件是　(　　) A.0<x<3 B.0<x<4 C.0<x<2 D.x<0或x>3 6．已知，，是空間的一個(gè)基底，設(shè)＝＋，＝－，則下列向量中可以與，一起構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是(　　) A． B． C． D．以上都不對(duì) 7.如圖1，已知F是橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，PF⊥x軸，OP∥AB(O為原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是(　　) 圖1 A. B． C． D． 8. 定積分的值為（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 9. 若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ） A. B. C. D. 10.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則k等于　(　　) A.2或-1 B.-1 C.2 D.1 11．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) 12. 已知是平面的斜線段，為斜足，若與平面成角，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與斜線 成角，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是( ) A. 圓 B. 橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 二、填空題(4小題，每小題5分，共20分) 13、雙曲線－＝1的漸近線的方程為________． 14.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布， ，則＝__________ 15．若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長為，則三角形的面積等于，根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個(gè)面的面積分別是，則四面體的體積　　　　?。? 16. 定義域在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足f(x)>，且，則不等式的解集為___________. 三、解答題(6小題，滿分70分) 17．(本小題滿分10分)某校在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)方式對(duì)比試驗(yàn)，兩個(gè)月后進(jìn)行了一次檢測(cè)，試驗(yàn)班與對(duì)照班成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表所示(單位：人)： 80及80分以上 80分以下 總計(jì) 試驗(yàn)班 35 15 50 對(duì)照班 20 m 50 總計(jì) 55 45 n (1)求m，n； (2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0．005的情況下認(rèn)為教學(xué)方式與成績(jī)有關(guān)系？ P(K2≥k) 0.05 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 18. （本小題滿分12分） 已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程為． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間； 19. (本小題滿分12分)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片． (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率； (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望． (注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)) 20．（本小題滿分12分） 已知四棱錐的底面為直角梯形，,底面，且是的中點(diǎn). (1)證明：平面平面 (2)求二面角的余弦值. 21.( 本小題滿分12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=x2的焦點(diǎn),離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M,若=m,=n,試判斷m+n是否為定值，若是求出m+n的值，若不是請(qǐng)說明理由. 22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ln x－. (1)若f(x)存在最小值且最小值為2，求a的值； (2)設(shè)g(x)＝ln x－a，若g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范圍． 2017－2018高二下期中考數(shù)學(xué)測(cè)試卷 班級(jí)： 座號(hào)： 姓名： 命題人：徐強(qiáng) 審題人：吳元良 一、選擇題(12小題，每小題5分,共60分) 1．復(fù)數(shù)的實(shí)部是( ) A．－2 B．2 C．3 D．4 解析：選B　 2．張、王兩家夫婦各帶1個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩，購票后排隊(duì)依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)共有(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 解析：選B　第一步，將兩位爸爸排在兩端有2種排法；第二步，將兩個(gè)小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個(gè)位置上有2A種排法，故總的排法有22A＝24種． 3．下列說法正確的是　(　　) A.命題“若x2=1,則x=1”的否命題為“若x2=1,則x≠1” B.命題“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0<0,+x0-1<0” C.命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為假命題 D.若“p∨q”為真命題,則p,q中至少有一個(gè)為真命題 【解析】選D. 4.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為　(　　) A.12 B.-12 C.6 D.-6 【解析】選A.展開式中的通項(xiàng)公式為Tr+1=x6-2r (-2)rx-r=(-2)rx6-3r, 令6-3r=0,求得r=2, 故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為43=12. 5.使不等式x2-3x<0成立的一個(gè)必要不充分條件是　(　　) A.0<x<3 B.0<x<4 C.0<x<2 D.x<0或x>3 【解析】選B. 6．已知，，是空間的一個(gè)基底，設(shè)＝＋，＝－，則下列向量中可以與，一起構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是(　　) A． B． C． D．以上都不對(duì) 解析　∵a，b，c不共面， ∴a＋b，a－b，c不共面，∴p，q，c可構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 答案　C 7.如圖1，已知F是橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，PF⊥x軸，OP∥AB(O為原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是(　　) 圖1 A. B． C． D． 【解析】　因?yàn)镻F⊥x軸，所以P. 又OP∥AB，所以＝，即b＝c. 于是b2＝c2， 即a2＝2c2，所以e＝＝. 【答案】　A 8. 定積分的值為（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 【答案】C 9. 若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，若具有T性質(zhì)，則存在使或且處切線與x軸垂直. A項(xiàng)，，，有具有T性質(zhì)，故A項(xiàng)正確； B項(xiàng)，，，切線斜率存在，不滿足，不具有T性質(zhì)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤； C項(xiàng)，， 不具有T性質(zhì)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤； D項(xiàng)，，，不具有T性質(zhì)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤. 10.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則k等于　(　　) A.2或-1 B.-1 C.2 D.1 【解析】選C.由消去y得, k2x2-4(k+2)x+4=0, 故Δ=[-4(k+2)]2-4k24=64(1+k)>0, 解得k>-1,由x1+x2==4, 解得k=-1或k=2,又因?yàn)閗>-1,故k=2. 【易錯(cuò)警示】本題易忽略Δ>0而錯(cuò)選A. 11．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) 解析：選D　設(shè)F(x)＝， 則F′(x)＝， 由題意知：F(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(x)在(－∞，0)上遞增，F(xiàn)(3)＝0，數(shù)形結(jié)合易得F(x)<0的解集為(－∞，－3)∪(0,3)，從而f(x)g(x)<0的解集也為(－∞，－3)∪(0,3)． 12. 已知是平面的斜線段，為斜足，若與平面成角，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與斜線 成角，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是( ) A. 圓 B. 橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析：選D 二、填空題(4小題，每小題5分，共20分) 13、雙曲線－＝1的漸近線的方程為________． 答案：　y＝x 14.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布， ，則＝__________ 答案：0.34 15．若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長為，則三角形的面積等于，根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個(gè)面的面積分別是，則四面體的體積　　　　?。? 答案： R(S1+S2+S3+S4) 16. 定義域在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為___________. 【答案】 【解析】令，， 可得函數(shù)在R上為減函數(shù)， 又， 故不等式即. 不等式的解集為 . 三、解答題(6小題，滿分70分) 17．(本小題滿分10分)某校在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)方式對(duì)比試驗(yàn)，兩個(gè)月后進(jìn)行了一次檢測(cè)，試驗(yàn)班與對(duì)照班成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表所示(單位：人)： 80及80分以上 80分以下 總計(jì) 試驗(yàn)班 35 15 50 對(duì)照班 20 m 50 總計(jì) 55 45 n (1)求m，n； (2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0．005的情況下認(rèn)為教學(xué)方式與成績(jī)有關(guān)系？ P(K2≥k) 0.05 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100． (2)由表中的數(shù)據(jù)，得K2的觀測(cè)值為 k＝≈9．091． 因?yàn)?．091>7．879，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0．005的前提下認(rèn)為教學(xué)方式與成績(jī)有關(guān)系． 18. （本小題滿分12分） 已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程為． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間； 解：（Ⅰ） 又切線斜率為－１，故，從而 將代入方程得：，從而 ，將代入得 故 （Ⅱ）依題意知， 令，得：，再令，得： 故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 19. (本小題滿分12分)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片． (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率； (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望． (注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)) 解：(1)由古典概型的概率計(jì)算公式知所求概率為P＝＝. (2)X的所有可能值為1，2，3，且P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. 故X的分布列為： X 1 2 3 P 從而E(X)＝1＋2＋3＝. 20．（本小題滿分12分） 已知四棱錐的底面為直角梯形，,底面，且是的中點(diǎn). (1)證明：平面平面 (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)詳見解析;(2). (1)證明：面，， ∴由三垂線定理得：. 因而，與面內(nèi)兩條相交直線都垂直， 面，又面， ∴面面. (2)作，垂足為，連接. 在中，，又，≌, ，故為所求二面角的平面角 ，由三垂線定理，得, 在中，，所以. 在等腰三角形中，, , . 故二面角余弦值為. 注：向量法請(qǐng)酌情給分。 21.( 本小題滿分12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=x2的焦點(diǎn),離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M,若=m,=n,試判斷m+n是否為定值，若是求出m+n的值，若不是請(qǐng)說明理由. 【解析】(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0). 拋物線方程可化為x2=4y,其焦點(diǎn)為(0,1), 則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為(0,1),即b=1. 由e===. 得a2=5,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)m+n 為定值。 易求出橢圓C的右焦點(diǎn)F(2,0), 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2), 代入方程+y2=1, 得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0. 所以x1+x2=,x1x2=. 又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0), =(x1-2,y1),=(x2-2,y2). 因?yàn)?m,=n, 所以m=,n=, 所以m+n=, 又2x1x2-2(x1+x2)= =-, 4-2(x1+x2)+x1x2 =4-+=, 所以m+n=10. 22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ln x－. (1)若f(x)存在最小值且最小值為2，求a的值； (2)設(shè)g(x)＝ln x－a，若g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范圍． 解：(1)f′(x)＝＋＝(x＞0)， 當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(x)不存在最小值． 當(dāng)a＜0時(shí)，由f′(x)＝0，得x＝－a， 且0＜x＜－a時(shí)f′(x)＜0， x＞－a時(shí)f′(x)＞0. ∴x＝－a時(shí)f(x)取最小值， f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a＝－e. (2)g(x)＜x2，即ln x－a＜x2，即a＞ln x－x2， 故g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，也就是a＞ln x－x2在(0，e]上恒成立． 設(shè)h(x)＝ln x－x2，則h′(x)＝－2x＝，由h′(x)＝0及0＜x≤e，得x＝. 當(dāng)0＜x＜時(shí)h′(x)＞0，當(dāng)＜x≤e時(shí)h′(x)＜0，即h(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝時(shí)h(x)取得最大值為h＝ln －. 所以g(x)＜x2在(0，e]上恒成立時(shí)， a的取值范圍為.