2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題50 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.doc

專題50 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【熱點聚焦與擴展】 縱觀近幾年的高考試題，高考對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，一直是命題的熱點，較多的考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系問題；有時，先求軌跡方程，再進一步研究直線與曲線的位置關(guān)系.命題的主要特點有：一是以過特殊點的直線與圓錐曲線相交為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標準方程，進一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線（圓、橢圓、拋物線）的位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標準方程，進一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，綜合性較強，往往與向量（共線、垂直、數(shù)量積）結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題等.本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，重點說明直線與橢圓、直線與拋物線位置關(guān)系問題的解法與技巧. （一）直線與橢圓位置關(guān)系 1、直線與橢圓位置關(guān)系：相交（兩個公共點），相切（一個公共點），相離（無公共點） 2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟：通過方程根的個數(shù)進行判定， 下面以直線和橢圓：為例 （1）聯(lián)立直線與橢圓方程： （2）確定主變量（或）并通過直線方程消去另一變量（或），代入橢圓方程得到關(guān)于主變量的一元二次方程：，整理可得： （3）通過計算判別式的符號判斷方程根的個數(shù)，從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系 ① 方程有兩個不同實根直線與橢圓相交 ② 方程有兩個相同實根直線與橢圓相切 ③ 方程沒有實根直線與橢圓相離 3、若直線上的某點位于橢圓內(nèi)部，則該直線一定與橢圓相交 （二）直線與拋物線位置關(guān)系：相交，相切，相離 1、位置關(guān)系的判定：以直線和拋物線：為例 聯(lián)立方程：，整理后可得： （1）當(dāng)時，此時方程為關(guān)于的一次方程，所以有一個實根.此時直線為水平線，與拋物線相交 （2）當(dāng)時，則方程為關(guān)于的二次方程，可通過判別式進行判定 ① 方程有兩個不同實根直線與拋物線相交 ② 方程有兩個相同實根直線與拋物線相切 ③ 方程沒有實根直線與拋物線相離 2、焦點弦問題：設(shè)拋物線方程：， 過焦點的直線（斜率存在且），對應(yīng)傾斜角為，與拋物線交于 聯(lián)立方程：，整理可得： （1） （2） （3） （三）直線與雙曲線位置關(guān)系 1、直線與雙曲線位置關(guān)系，相交，相切，相離 2、直線與雙曲線位置關(guān)系的判定：與橢圓相同，可通過方程根的個數(shù)進行判定 以直線和橢圓：為例： （1）聯(lián)立直線與雙曲線方程：，消元代入后可得： （2）與橢圓不同，在橢圓中，因為，所以消元后的方程一定是二次方程，但雙曲線中，消元后的方程二次項系數(shù)為，有可能為零.所以要分情況進行討論 當(dāng)且時，方程變?yōu)橐淮畏匠?，有一個根.此時直線與雙曲線相交，只有一個公共點 當(dāng)時，常數(shù)項為，所以恒成立，此時直線與雙曲線相交 當(dāng)或時，直線與雙曲線的公共點個數(shù)需要用判斷： ① 方程有兩個不同實根直線與雙曲線相交 ② 方程有兩個相同實根直線與雙曲線相切 ③ 方程沒有實根直線與雙曲線相離 注：對于直線與雙曲線的位置關(guān)系，不能簡單的憑公共點的個數(shù)來判定位置.尤其是直線與雙曲線有一個公共點時，如果是通過一次方程解出，則為相交；如果是通過二次方程解出相同的根，則為相切 （3）直線與雙曲線交點的位置判定：因為雙曲線上的點橫坐標的范圍為，所以通過橫坐標的符號即可判斷交點位于哪一支上：當(dāng)時，點位于雙曲線的右支；當(dāng)時，點位于雙曲線的左支.對于方程： ，設(shè)兩個根為 ① 當(dāng)時，則，所以異號，即交點分別位于雙曲線的左，右支 ② 當(dāng)或，且時，，所以同號，即交點位于同一支上 （4）直線與雙曲線位置關(guān)系的幾何解釋：通過（2）可發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線的斜率相關(guān)，其分界點剛好與雙曲線的漸近線斜率相同.所以可通過數(shù)形結(jié)合得到位置關(guān)系的判定 ① 且時，此時直線與漸近線平行，可視為漸近線進行平移，則在平移過程中與雙曲線的一支相交的同時，也在遠離雙曲線的另一支，所以只有一個交點 ② 時，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過圖像可得無論如何平移直線，直線均與雙曲線有兩個交點，且兩個交點分別位于雙曲線的左，右支上. ③ 或時，此時直線比漸近線“更陡”，通過平移觀察可得：直線不一定與雙曲線有公共點（與的符號對應(yīng)），可能相離，相切，相交，如果相交則交點位于雙曲線同一支上. （四）圓錐曲線問題的解決思路與常用公式： 1、直線與圓錐曲線問題的特點： （1）題目貫穿一至兩個核心變量（其余變量均為配角，早晚利用條件消掉）， （2）條件與直線和曲線的交點相關(guān)，所以可設(shè)，至于坐標是否需要解出，則看題目中的條件，以及坐標的形式是否復(fù)雜 （3）通過聯(lián)立方程消元，可得到關(guān)于（或）的二次方程，如果所求的問題與兩根的和或乘積有關(guān)，則可利用韋達定理進行整體代入，從而不需求出（所謂“設(shè)而不求”） （4）有些題目會涉及到幾何條件向解析語言的轉(zhuǎn)換，注重數(shù)形幾何，注重整體代入.則可簡化運算的過程 這幾點歸納起來就是“以一個（或兩個）核心變量為中心，以交點為兩個基本點，堅持韋達定理四個基本公式（，堅持數(shù)形結(jié)合，堅持整體代入.直至解決解析幾何問題“ 2、韋達定理：是用二次方程的系數(shù)運算來表示兩個根的和與乘積，在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個：一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù)，進而導(dǎo)致直接利用求根公式計算出來的實根形式非常復(fù)雜，難以參與后面的運算；二是解析幾何的一些問題或是步驟經(jīng)常與兩個根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系.進而在思路上就想利用韋達定理，繞開繁雜的求根結(jié)果，通過整體代入的方式得到答案.所以說，解析幾何中韋達定理的應(yīng)用本質(zhì)上是整體代入的思想，并不是每一道解析題必備的良方.如果二次方程的根易于表示（優(yōu)先求點，以應(yīng)對更復(fù)雜的運算），或者所求的問題與兩根和，乘積無關(guān)，則韋達定理毫無用武之地. 3、直線方程的形式：直線的方程可設(shè)為兩種形式： （1）斜截式：，此直線不能表示豎直線.聯(lián)立方程如果消去則此形式比較好用，且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn)，在用斜截式解決問題時要注意檢驗斜率不存在的直線是否符合條件 （2），此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線.經(jīng)常在聯(lián)立方程后消去時使用，多用于拋物線（消元后的二次方程形式簡單）.此直線不能直接體現(xiàn)斜率，當(dāng)時，斜率 4、弦長公式：（已知直線上的兩點距離）設(shè)直線，上兩點，所以或 （1）證明：因為在直線上，所以 ，代入可得： 同理可證得 （2）弦長公式的適用范圍為直線上的任意兩點，但如果為直線與曲線的交點（即為曲線上的弦），則（或）可進行變形：，從而可用方程的韋達定理進行整體代入. 5、點差法：這是處理圓錐曲線問題的一種特殊方法，適用于所有圓錐曲線.不妨以橢圓方程為例，設(shè)直線與橢圓交于兩點，則該兩點滿足橢圓方程，有： 考慮兩個方程左右分別作差，并利用平方差公式進行分解，則可得到兩個量之間的聯(lián)系： ① ② 由等式可知：其中直線的斜率，中點的坐標為，這些要素均在②式中有所體現(xiàn).所以通過“點差法”可得到關(guān)于直線的斜率與中點的聯(lián)系，從而能夠處理涉及到弦與中點問題時.同時由①可得在涉及坐標的平方差問題中也可使用點差法 【經(jīng)典例題】 例1.【2018年天津卷理】已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點. 設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 不妨設(shè)： ， 雙曲線的一條漸近線方程為： ， 據(jù)此可得： ， ， 則，則， 雙曲線的離心率： ， 據(jù)此可得： ，則雙曲線的方程為. 本題選擇C選項. 點睛：求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可. 例2.【2018年新課標I卷理】設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：， 解得，又， 所以， 從而可以求得，故選D. 點睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求有關(guān)交點坐標所滿足的條件的問題，在求解的過程中，首先需要根據(jù)題意確定直線的方程，之后需要聯(lián)立方程組，消元化簡求解，從而確定出，之后借助于拋物線的方程求得，最后一步應(yīng)用向量坐標公式求得向量的坐標，之后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標公式求得結(jié)果，也可以不求點M、N的坐標，應(yīng)用韋達定理得到結(jié)果. 例3.過點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 思路二：線段為橢圓的弦，且問題圍繞著弦中點展開，在圓錐曲線中處理弦中點問題可用“點差法”，設(shè)，則有，兩式作差，可得：，發(fā)現(xiàn)等式中出現(xiàn)與中點和斜率相關(guān)的要素，其中，所以，且，所以等式化為即，所以 答案：D 點睛：兩類問題適用于點差法，都是圍繞著點差后式子出現(xiàn)平方差的特點. （1）涉及弦中點的問題，此時點差之后利用平方差進行因式分解可得到中點坐標與直線斜率的聯(lián)系 （2）涉及到運用兩點對應(yīng)坐標平方差的條件，也可使用點差法 例4.【2018年北京卷文】已知直線l過點（1,0）且垂直于??軸，若l被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為_________. 【答案】 焦點坐標為. 例5. 【2018年浙江卷】已知點P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點A，B滿足=2，則當(dāng)m=___________時，點B橫坐標的絕對值最大． 【答案】5 與對應(yīng)相減得，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值. 例6.【2018年浙江卷】如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上． （Ⅰ）設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸； （Ⅱ）若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ） 【解析】分析: （Ⅰ）設(shè)P,A,B的縱坐標為，根據(jù)中點坐標公式得PA,PB的中點坐標，代入拋物線方程，可得，即得結(jié)論，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面積為，利用根與系數(shù)的關(guān)系可表示為的函數(shù)，根據(jù)半橢圓范圍以及二次函數(shù)性質(zhì)確定面積取值范圍. 詳解：（Ⅰ）設(shè)，，． 因為，的中點在拋物線上，所以，為方程 即的兩個不同的實數(shù)根． 因為，所以． 因此，面積的取值范圍是． 例7.【2018年天津卷理】設(shè)橢圓 (a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且. （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線l： 與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若 (O為原點) ，求k的值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或 【解析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得a=3，b=2．則橢圓的方程為． （Ⅱ）設(shè)點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）．由題意可得5y1=9y2．由方程組可得．由方程組可得．據(jù)此得到關(guān)于k的方程，解方程可得k的值為或 詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有， 又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得， ， ， 由，可得ab=6，從而a=3，b=2． 所以，橢圓的方程為． （Ⅱ）設(shè)點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）． 由5y1=9y2，可得5（k+1）=， 兩邊平方，整理得， 解得，或． 所以，k的值為或 例8.【2018年北京卷理】已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N． （Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值． 【答案】(1) 取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1） (2)證明過程見解析 【解析】分析：（1）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理可得，．再由，得，．利用直線PA， 又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點（1，-2）．從而k≠-3． 所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）． 由（I）知，． 直線PA的方程為y–2=． 令x=0，得點M的縱坐標為． 同理得點N的縱坐標為． 由，得，． 所以． 所以為定值． 例9. 已知拋物線的焦點為. (1)若斜率為的直線過點與拋物線交于兩點,求的值; (2)過點作直線與拋物線交于兩點,且,求的取值范圍. 【答案】(1)8；(2) . . ∵, ∴ . 又∵,∴恒成立,∴恒成立. ∵,∴只需即可,解得. ∴所求的取值范圍為. 例10.【2018屆四川省成都市第七中學(xué)模擬一】已知圓，點圓上一動點，，點在直線上，且，記點的軌跡為曲線. （1）求曲線的方程； （2）已知，過點作直線與曲線交于不同兩點，線段的中垂線為，線段的中點為點，記與軸的交點為，求的取值范圍. 【答案】（1）（2） 詳解：（1）. （2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)：. 聯(lián)立直線與橢圓，消去得. ， 又，解得， ， 所以 所以，即. 所以. 【精選精練】 1.【2018屆峨眉山市第七教育發(fā)展聯(lián)盟高考適應(yīng)性考試】已知雙曲線的一條漸近線為，且與橢圓有公共焦點，則的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：通過橢圓的焦點，可以求出雙曲線的，根據(jù)雙曲線的漸近線可以得到，再由雙曲線中 的等量關(guān)系可以通過方程組求出的值。 詳解：橢圓的焦點坐標為 ，所以 由漸近線方程，得 所以 ，可解得 所以標準方程為 所以選A 2．橢圓的離心率為，為橢圓的一個焦點，若橢圓上存在一點與關(guān)于直線對稱，則橢圓的方程為 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 3．【2018屆安徽省合肥市第一中學(xué)最后1卷】點在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點，且，則稱點為“點”.下列結(jié)論中正確的是（ ） A. 直線上的所有點都是“點” B. 直線上僅有有限個點是“點” C. 直線上的所有點都不是“點” D. 直線上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點” 【答案】A 【解析】分析：設(shè)，由，可得，由在上，可得關(guān)于的方程，證明方程恒有解即可得結(jié)論 詳解： 如圖所示，設(shè)， 方程恒有實數(shù)解， 點在直線上，總存在過的直線交拋物線于兩點， 且，所以，直線上的所有點都是“點”，故選A. 點睛：新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.本題定義“點”達到考查共線向量、直線與拋物線的位置關(guān)系的目. 4．【2018屆安徽亳州市渦陽一中最后一卷】已知為坐標原點，過點作兩條直線與拋物線：相切于，兩點，則面積的最小值為__________． 【答案】 【解析】分析：求出以為切點的切線方程為，為切點的切線方程為，代入，可得， 同理為切點的切線方程為，代入， 可得， 過的直線方程為，聯(lián)立， 可得，， 又到直線的距離為， ， 當(dāng)時，等號成立，故答案為. 點睛：解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解. 5．【2018屆安徽省宿州市第三次檢測】拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，交拋物線的準線于點，若，，則__________． 【答案】1或3 結(jié)合可得：， 直線的方程為：， 與拋物線方程整理可得：， 則：，結(jié)合可得： ，則； 當(dāng)點B位于點A下方時，由幾何關(guān)系可知：， 代入拋物線方程可得：， 綜上可得，p的值為1或3. 6．已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且垂直于軸的直線截橢圓形成的弦長為，且橢圓的離心率為，過點的直線與橢圓交于兩點. （1）求橢圓的標準方程； （2）若點，且，則當(dāng)取得最小值時，求直線的方程. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】（1）聯(lián)立解得，故. 又， ，解得， ， 整理得，所以， ， 故 . 綜上所述， 的最小值為，此時直線的方程為. 7.【2018屆江西省重點中學(xué)協(xié)作體第二次聯(lián)考】已知橢圓： 的離心率為，短軸為.點滿足. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)為坐標原點，過點的動直線與橢圓交于點、，是否存在常數(shù)使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）.（2）答案見解析. 【解析】分析：（1）由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算可得的方程為. （2）當(dāng)不為軸時，設(shè)：，、.聯(lián)立與的方程可得，結(jié)合韋達定理和平面向量數(shù)量積的坐標運算可得.當(dāng)為軸時，也滿足上述結(jié)論.則存在使得 . 因為為定值，所以， 解得.此時定值為. 當(dāng)為軸時，，.. 綜上，存在使得為定值. 8．【2018年天津卷文】設(shè)橢圓 的右頂點為A，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，. （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線與橢圓交于兩點，與直線交于點M，且點P，M均在第四象限.若的面積是面積的2倍，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 詳解：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．由,從而． 所以，橢圓的方程為． （II）設(shè)點P的坐標為，點M的坐標為，由題意，， 點的坐標為．由的面積是面積的2倍，可得， 從而，即． 易知直線的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或． 當(dāng)時，，不合題意，舍去；當(dāng)時，，，符合題意． 所以，的值為． 點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意： (1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件； (2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題． 9．【2018年北京卷文】已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B. （Ⅰ）求橢圓M的方程； （Ⅱ）若，求 的最大值； （Ⅲ）設(shè)，直線PA與橢圓M的另一個交點為C，直線PB與橢圓M的另一個交點為D.若C,D和點 共線，求k. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） （Ⅱ）設(shè)直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 設(shè)， ，則， ， 則， 易得當(dāng)時， ，故的最大值為． （Ⅲ）設(shè)， ， ， ， 則 ①， ②， 又，所以可設(shè)，直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 又，代入①式可得，所以， 所以，同理可得． 故， ， 因為三點共線，所以， 將點的坐標代入化簡可得，即． 10.【2018年新課標I卷文】設(shè)拋物線，點， ，過點的直線與交于， 兩點． （1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程； （2）證明： ． 【答案】(1) y=或． (2)見解析. （2）當(dāng)l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN． 當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2），則x1>0，x2>0． 由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4． 綜上，∠ABM=∠ABN． 點睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線的問題，涉及到的知識點有直線方程的兩點式、直線與拋物線相交的綜合問題、關(guān)于角的大小用斜率來衡量，在解題的過程中，第一問求直線方程的時候，需要注意方法比較簡單，需要注意的就是應(yīng)該是兩個，關(guān)于第二問，在做題的時候需要先將特殊情況說明，一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋達定理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關(guān)系來得到角是相等的結(jié)論. 11.【2018年新課標I卷理】設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為. （1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程； （2）設(shè)為坐標原點，證明：. 【答案】(1) AM的方程為或. (2)證明見解析. 【解析】分析：(1)首先根據(jù)與軸垂直，且過點，求得直線l的方程為x=1，代入橢圓方程求得點A的坐標為或，利用兩點式求得直線的方程； (2)分直線l與x軸重合、l與x軸垂直、l與x軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果. 詳解：（1）由已知得，l的方程為x=1. 由已知可得，點A的坐標為或. 所以AM的方程為或. （2）當(dāng)l與x軸重合時，. 將代入得 . 所以，. 則. 從而，故MA，MB的傾斜角互補，所以. 綜上，. 12.如圖，設(shè)為拋物線上不同的四點，且點關(guān)于軸對稱，平行于該拋物線在點處的切線. （1）求證：直線與直線的傾斜角互補； （2）若，且的面積為16，求直線的方程. 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】分析：（1）設(shè)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，于是可設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得到關(guān)于x的一元二次方程，然后根據(jù)斜率公式和根與系數(shù)的關(guān)系證得，即證得直線與直線的傾斜角互補．（2）由可得，由 由消去y整理得， 因為直線與拋物線交于兩點， 所以． 設(shè)， 則． 因為， 所以直線與直線的傾斜角互補． （2）因為， 所以， 即，． 解得． 所以當(dāng)時，直線的方程為．