新版浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書(shū)：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題2 突破點(diǎn)5 數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用 Word版含答案

新版-□□新版數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料□□-新版 1 1 突破點(diǎn)5　數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第19頁(yè)) [核心知識(shí)提煉] 提煉1 an和Sn的關(guān)系 　 若an為數(shù)列{an}的通項(xiàng)，Sn為其前n項(xiàng)和，則有an＝在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，一定要注意區(qū)分n＝1，n≥2兩種情況，求出結(jié)果后，判斷這兩種情況能否整合在一起. 提煉2求數(shù)列通項(xiàng)常用的方法 　 (1)定義法：①形如an＋1＝an＋c(c為常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列．②形如an＋1＝kan(k為非零常數(shù))且首項(xiàng)不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列． (2)疊加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通項(xiàng)公式． (3)疊乘法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·，求其通項(xiàng)公式． (4)待定系數(shù)法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解． (5)構(gòu)造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn＋1，得＝·＋，構(gòu)造新數(shù)列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，接下來(lái)用待定系數(shù)法求解． (6)取對(duì)數(shù)法：形如an＋1＝pa(p>0，an>0)，先在原遞推公式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解. 提煉3數(shù)列求和 　 數(shù)列求和的關(guān)鍵是分析其通項(xiàng)，數(shù)列的基本求和方法有公式法、裂(拆)項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組法、倒序相加法和并項(xiàng)法等，而裂項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相減法是常用的兩種方法. 提煉4數(shù)列的綜合問(wèn)題 　 數(shù)列綜合問(wèn)題的考查方式主要有三種： (1)判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小，或者是借助數(shù)列對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大小． (2)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問(wèn)題，此類問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題． (3)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題，此類問(wèn)題大多還要借助構(gòu)造函數(shù)去證明，或者是直接利用放縮法證明或直接利用數(shù)學(xué)歸納法． [高考真題回訪] 回訪1　數(shù)列求和 1．(20xx·浙江高考)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求an與bn； (2)設(shè)cn＝－(n∈N*)．記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn. ①求Sn； ②求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*，均有Sk≥Sn. [解]　(1)由題意知a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6， 知a3＝()b3－b2＝8. 又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)， 2分 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n(n∈N*)， 所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)． 故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn＝n(n＋1)(n∈N*). 5分 (2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)， 所以Sn＝－(n∈N*). 7分 ②因?yàn)閏1＝0，c2>0，c3>0，c4>0， 當(dāng)n≥5時(shí)，cn＝， 9分 而－＝>0， 得≤<1， 11分 所以，當(dāng)n≥5時(shí)，cn<0. 綜上，對(duì)任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4. 14分 回訪2　數(shù)列的綜合問(wèn)題 2．(20xx·浙江高考)已知數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)． 證明：當(dāng)n∈N*時(shí)， (1)0<xn＋1<xn； (2)2xn＋1－xn≤； (3)≤xn≤. [解]　(1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：xn>0. 當(dāng)n＝1時(shí)，x1＝1>0. 假設(shè)n＝k時(shí)，xk>0， 那么n＝k＋1時(shí)， 若xk＋1≤0，則0<xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾， 故xk＋1>0. 3分 因此xn>0(n∈N*)． 所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1. 因此0<xn＋1<xn(n∈N*). 5分 (2)證明：由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得 xnxn＋1－4xn＋1＋2xn ＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1). 7分 記函數(shù)f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)， f′(x)＝＋ln(1＋x)>0(x>0)， 函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f(x)≥f(0)＝0， 因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0， 故2xn＋1－xn≤(n∈N*). 10分 (3)證明：因?yàn)閤n＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1， 所以xn≥. 由≥2xn＋1－xn 得－≥2>0， 13分 所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2， 故xn≤. 綜上，≤xn≤(n∈N*). 15分 3．(20xx·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足≤1，n∈N*. (1)證明：|an|≥2n－1(|a1|－2)，n∈N*； (2)若|an|≤n，n∈N*，證明：|an|≤2，n∈N*. [證明]　(1)由≤1， 得|an|－|an＋1|≤1， 故－≤，n∈N*， 2分 所以－＝＋＋…＋≤＋＋…＋<1， 因此|an|≥2n－1(|a1|－2). 5分 (2)任取n∈N*，由(1)知，對(duì)于任意m>n， －＝＋＋…＋≤＋＋…＋<， 故|an|<·2n ≤·2n ＝2＋m·2n. 8分 從而對(duì)于任意m>n，均有|an|<2＋m·2n.① 由m的任意性得|an|≤2. 否則，存在n0∈N*，有|an0|>2， 取正整數(shù)m0>log且m0>n0， 11分 則2n0·m0<2n0·log＝|an0|－2，與①式矛盾． 綜上，對(duì)于任意n∈N*，均有|an|≤2. 15分 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第21頁(yè)) 熱點(diǎn)題型1　數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系 數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系 題型分析：以數(shù)列中an與Sn間的遞推關(guān)系為載體，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，以及推理論證的能力. 【例1】　數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足＝1(n≥2)．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334070】 [解]　由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，＝1， 所以＝1， 2分 即＝1， 所以－＝. 4分 又S1＝a1＝1， 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列， 6分 所以＝1＋(n－1)＝， 即Sn＝. 8分 所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 12分 因此an＝ 15分 [方法指津] 給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an. 提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通項(xiàng)公式時(shí)，務(wù)必驗(yàn)證n＝1時(shí)的情形 [變式訓(xùn)練1]　(1)已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－2n ，則Sn＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334071】 (2)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn＋2＝3an(n∈N*)，則an＝__________. (1)n·2n(n∈N*)　(2)2×3n－1(n∈N*)　[(1)由Sn＝2an－2n得當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)． (2)因?yàn)?Sn＋2＝3an， ① 所以2Sn＋1＋2＝3an＋1， ② 由②－①，得2Sn＋1－2Sn＝3an＋1－3an，所以2an＋1＝3an＋1－3an，即＝3. 當(dāng)n＝1時(shí)，2＋2S1＝3a1，所以a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列， 所以an＝2×3n－1(n∈N*)．] 熱點(diǎn)題型2　裂項(xiàng)相消法求和 題型分析：裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列與式中的各項(xiàng)分別裂開(kāi)后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和. 【例2】　已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比數(shù)列， (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：≤Tn<. [解]　(1)由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)得S5＝5a3，∴a3＝14， 1分 又a2，a7，a22成等比數(shù)列，即a＝a2·a22. 2分 由(a1＋6d)2＝(a1＋d)(a1＋21d)且d≠0， 解得a1＝d，∴a1＝6，d＝4. 4分 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n＋2，n∈N*. 6分 (2)證明：由(1)得Sn＝＝2n2＋4n，＝＝，8分 ∴Tn＝1－＋－＋…＋－ ＝－. 11分 又Tn≥T1＝－＝， 所以≤Tn<. 15分 [方法指津] 裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式有： 提醒：在裂項(xiàng)變形時(shí)，務(wù)必注意裂項(xiàng)前后系數(shù)的變化. [變式訓(xùn)練2]　(名師押題)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)由題設(shè)知a1·a4＝a2·a3＝8， 2分 又a1＋a4＝9，可得或(舍去) 4分 由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1. 6分 (2)Sn＝＝2n－1. 8分 又bn＝＝＝－， 12分 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－. 15分 熱點(diǎn)題型3　錯(cuò)位相減法求和 題型分析：限于數(shù)列解答題的位置較為靠前，加上錯(cuò)位相減法的運(yùn)算量相對(duì)較大，故該命題點(diǎn)出現(xiàn)的頻率不高，但其仍是命題的熱點(diǎn)之一，務(wù)必加強(qiáng)訓(xùn)練. 【例3】　已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)． (1)求an與bn； (2)記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn. [解]　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*). 2分 由題意知： 當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝b2－1，故b2＝2. 3分 當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝bn＋1－bn. 4分 整理得＝，所以bn＝n(n∈N*). 6分 (2)由(1)知anbn＝n·2n， 因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1， 10分 所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1. 12分 故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*). 15分 [方法指津] 運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意：一是判斷模型，即判斷數(shù)列{an}，{bn}中一個(gè)為等差數(shù)列，一個(gè)為等比數(shù)列；二是錯(cuò)開(kāi)位置，一般先乘以公比，再把前n項(xiàng)和退后一個(gè)位置來(lái)書(shū)寫(xiě)，這樣避免兩式相減時(shí)看錯(cuò)列；三是相減，相減時(shí)一定要注意式中最后一項(xiàng)的符號(hào)，考生常在此步出錯(cuò)，一定要細(xì)心． 提醒：為保證結(jié)果正確，可對(duì)得到的和取n＝1,2進(jìn)行驗(yàn)證． [變式訓(xùn)練3]　已知在公比大于1的等比數(shù)列{an}中，a2，a4是函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－8)的兩個(gè)零點(diǎn)． (1)求數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn. [解]　(1)因?yàn)閍2，a4是函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－8)的兩個(gè)零點(diǎn)，且等比數(shù)列{an}的公比q大于1，所以a2＝2，a4＝8， 2分 所以q＝2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1(n∈N*). 6分 (2)由(1)知2nan＝n×2n ，所以Sn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，① 7分 2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，② 11分 由①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，13分 所以Sn＝2＋(n－1)×2n＋1(n∈N*). 15分 熱點(diǎn)題型4　數(shù)列的綜合問(wèn)題 題型分析：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題多為解答題.難度偏大，屬中高檔題，常有以下兩個(gè)命題角度： (1)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問(wèn)題； (2)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題. 【例4】　(20xx·紹興市方向性仿真考試)已知數(shù)列{an}滿足，a1＝1，an＝－. (1)求證：≤an≤1； (2)求證：|an＋1－an|≤； (3)求證：|a2n－an|≤. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334072】 [證明]　(1)由已知得an＋1＝，又a1＝1， 所以a2＝，a3＝，a4＝，猜想≤an≤1. 2分 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1時(shí)，命題顯然成立； ②假設(shè)n＝k時(shí)，有≤an≤1成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝≤＜1， ak＋1＝≥＝， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)也成立， 所以對(duì)任意n∈N*，都有≤an≤1. 5分 (2)當(dāng)n＝1時(shí)，|a2－a1|＝， 當(dāng)n≥2時(shí)，∵＝·＝1＋≥1＋＝， 7分 ∴|an＋1－an|＝ ＝ ≤|an－an－1|≤…≤n－1|a2－a1| ＝·n－1＜. 綜上所述，|an＋1－an|≤. 10分 (3)當(dāng)n＝1時(shí)，|a2－a1|＝＝＜； 11分 當(dāng)n≥2時(shí)， |a2n－an|≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an| ≤ ＝n－1－2n－1 ≤－3＝. 15分 [方法指津] 解決數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題時(shí)，如果是證明題，要靈活的選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法及數(shù)學(xué)歸納法等；如果是解不等式問(wèn)題，要使用解不等式的各種解法，如列表法、因式分解法、穿根法等，總之解決這類問(wèn)題把數(shù)列和不等式的知識(shí)巧妙結(jié)合起來(lái)綜合處理就行了. [變式訓(xùn)練4]　(20xx·臺(tái)州市高三年級(jí)調(diào)考)已知數(shù)列{an}滿足：an＞0，an＋1＋＜2(n∈N*)． (1)求證：an＋2＜an＋1＜2(n∈N*)； (2)求證：an＞1(n∈N*)． [證明]　(1)由an＞0，an＋1＋＜2， 得an＋1＜2－＜2. 2分 因?yàn)?＞an＋2＋＞2(由題知an＋1≠an＋2)， 所以an＋2＜an＋1＜2. 4分 (2)法一：假設(shè)存在aN≤1(N≥1，N∈N*)， 由(1)可得當(dāng)n＞N時(shí)，an≤aN＋1＜1. 6分 根據(jù)an＋1－1＜1－＝＜0，而an＜1， 所以＞＝1＋， 于是＞1＋， …… ＞1＋. 10分 累加可得＞n－1＋.(*) 由假設(shè)可得aN＋n－1＜0， 12分 而當(dāng)n＞－＋1時(shí)，顯然有n－1＋＞0， 因此有＜n－1＋， 這顯然與(*)矛盾． 所以an＞1(n∈N*). 15分 法二：假設(shè)存在aN≤1(N≥1，N∈N*)， 由(1)可得當(dāng)n＞N時(shí)，0＜an≤aN＋1＜1. 6分 根據(jù)an＋1－1＜1－＝＜0，而an＜1， 所以＜， 所以＞≥＞1. 于是1－an＞(1－an－1)， 1－an－1＞(1－an－2)， …… 1－aN＋2＞(1－aN＋1). 10分 累乘可得1－an＞(1－aN＋1)n－N－1，(*) 由(1)可得1－an＜1， 12分 而當(dāng)n＞ ＋N＋1時(shí)， 則有(1－aN＋1)n－N－1＞1， 這顯然與(*)矛盾． 所以an＞1(n∈N*). 15分 精品數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料 精品數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料