2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 4.1 導(dǎo)數(shù)概念 4.1.3 導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義分層訓(xùn)練 湘教版選修2-2.doc

4．1.3　導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線 (　　) A．不存在 B．與x軸平行或重合 C．與x軸垂直 D．與x軸斜交 答案　B 2．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是 (　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能確定 答案　B 解析　分別作出A、B兩點(diǎn)的切線，由題圖可知kB>kA，即f′(xB)>f′(xA)． 3．已知曲線y＝2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則在點(diǎn)A處的切線斜率為 (　　) A．4 B．16 C．8 D．2 解析　在點(diǎn)A處的切線的斜率即為曲線y＝2x2在x＝2時的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)定義可求y′＝4x，∴f′(2)＝8. 答案　C 4．已知函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為3，則f(x)的解析式可能為 (　　) A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1) C．f(x)＝2(x－1)2 D．f(x)＝x－1 答案　A 解析　分別求四個選項(xiàng)的導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2； f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1. 5．拋物線y＝x2＋x＋2上點(diǎn)(1,4)處的切線的斜率是________，該切線方程為____________． 答案　3　3x－y＋1＝0 解析　Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝ ＝ (3＋d)＝3. ∴切線的方程為y－4＝3(x－1)， 即3x－y＋1＝0. 6．若曲線y＝x2－1的一條切線平行于直線y＝4x－3，則這條切線方程為____________． 答案　4x－y－5＝0 解析　∵f′(x)＝＝ ＝＝ (2x＋d)＝2x. 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則由題意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲線方程得y0＝3，故該切線過點(diǎn)(2,3)且斜率為4.所以這條切線方程為 y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0. 7．求曲線y＝x3在點(diǎn)(3,27)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積． 解　∵f′(3)＝ ＝ ＝ (d2＋9d＋27)＝27， ∴曲線在點(diǎn)(3,27)處的切線方程為y－27＝27(x－3)， 即27x－y－54＝0. 此切線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0)，(0，－54)． ∴切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝254＝54. 二、能力提升 8．曲線y＝－x3＋3x2在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為 (　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x 答案　A 解析　 ＝－Δx2＋3. Δx→0時，－Δx2＋3→3. ∴f′(1)＝3.即曲線在(1,2)處的切線斜率為3. 所以切線方程為y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1. 9．函數(shù)y＝f(x)圖象在M(1，f(1))處的切線方程為y＝x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________. 答案　3 解析　由已知切點(diǎn)在切線上． ∴f(1)＝1＋2＝. 切線的斜率f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝3. 10．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程為x－y＋1＝0，則a，b的值分別為________，________. 答案　1　1 解析　∵點(diǎn)(0，b)在切線x－y＋1＝0上， ∴－b＋1＝0，b＝1. 又＝＝a＋Δx， ∴f′(0)＝a＝1. 11．已知曲線y＝x3＋1，求過點(diǎn)P(1,2)的曲線的切線方程． 解　設(shè)切點(diǎn)為A(x0，y0)，則y0＝x＋1. ＝＝ Δx2＋3x0Δx＋3x. ∴f′(x0)＝3x，切線的斜率為k＝3x. 點(diǎn)(1,2)在切線上，∴2－(x＋1)＝3x(1－x0)．∴x0＝1或x0＝－. 當(dāng)x0＝1時，切線方程為3x－y－1＝0， 當(dāng)x0＝－時，切線方程為3x－4y＋5＝0. 所以，所求切線方程為3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0. 12．求拋物線y＝x2的過點(diǎn)P(，6)的切線方程． 解　由已知得，＝2x＋d， ∴當(dāng)d→0時，2x＋d→2x， 即y′＝2x， 設(shè)此切線過拋物線上的點(diǎn)(x0，x)， 又因?yàn)榇饲芯€過點(diǎn)(，6)和點(diǎn)(x0，x)， 其斜率應(yīng)滿足＝2x0， 由此x0應(yīng)滿足x－5x0＋6＝0. 解得x0＝2或3. 即切線過拋物線y＝x2上的點(diǎn)(2,4)，(3,9)． 所以切線方程分別為y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)． 化簡得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0， 此即是所求的切線方程． 三、探究與創(chuàng)新 13．求垂直于直線2x－6y＋1＝0并且與曲線y＝x3＋3x2－5相切的直線方程． 解　設(shè)切點(diǎn)為P(a，b)，函數(shù)y＝x3＋3x2－5的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2＋6x.故切線的斜率 k＝y(tǒng)′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即 P(－1，－3)．故所求直線方程為y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.