2018-2019版高中數學 第二章 證明不等式的基本方法 2.2 綜合法與分析法試題 新人教A版選修4-5.doc

二綜合法與分析法課后篇鞏固探究1.求證2+3>5.證明:因為2+3和5都是正數,所以要證2+3>5,只需證(2+3)2>(5)2,展開得5+26>5,即26>0,顯然成立,所以不等式2+3>5.上述證明過程應用了()A.綜合法B.分析法C.綜合法、分析法混合D.間接證法解析分析法是“執(zhí)果索因”,基本步驟:要證只需證,只需證,結合證明過程,證明過程應用了分析法.故選B.答案B2.下面對命題“函數f(x)=x+1x是奇函數”的證明不是運用綜合法的是()A.xR,且x0有f(-x)=(-x)+1-x=-x+1x=-f(x),則f(x)是奇函數B.xR,且x0有f(x)+f(-x)=x+1x+(-x)+-1x=0,f(x)=-f(-x),則f(x)是奇函數C.xR,且x0,f(x)0,f(-x)f(x)=-x-1xx+1x=-1,f(-x)=-f(x),則f(x)是奇函數D.取x=-1,f(-1)=-1+1-1=-2,又f(1)=1+11=2.f(-1)=-f(1),則f(x)是奇函數解析D項中,選取特殊值進行證明,不是綜合法.答案D3.若1<x<10,下面不等式正確的是()A.(lg x)2<lg x2<lg(lg x)B.lg x2<(lg x)2<lg(lg x)C.(lg x)2<lg(lg x)<lg x2D.lg(lg x)<(lg x)2<lg x2解析因為1<x<10,所以0<lg x<1,于是0<(lg x)2<lg x,lg x2=2lg x>lg x>0.又lg(lg x)<0,所以lg(lg x)<(lg x)2<lg x2.答案D4.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設a>b>c,且a+b+c=0,求證b2-ac<3a”,索的“因”應是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0解析由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要證b2-ac<3a,只要證(-a-c)2-ac<3a2,即證a2-ac+a2-c2>0,即證a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即證a(a-c)-b(a-c)>0,即證(a-c)(a-b)>0.故求證b2-ac<3a,索的“因”應是(a-b)(a-c)>0.答案C5.設a,bR+,A=a+b,B=a+b,則A,B的大小關系是()A.ABB.ABC.A>BD.A<B解析(a+b)2=a+2ab+b,A2-B2>0.又A>0,B>0,A>B.答案C6.導學號26394035設x1,x2是方程x2+px+4=0的兩個不相等的實數根,則()A.|x1|>2,且|x2|>2B.|x1+x2|<4C.|x1+x2|>4D.|x1|=4,且|x2|=16解析由方程有兩個不等實根知=p2-16>0,所以|p|>4.又x1+x2=-p,所以|x1+x2|=|p|>4.答案C7.等式“sinx1+cosx=1-cosxsinx”的證明過程:“等式兩邊同時乘sinx1-cosx得,左邊=sinx1+cosxsinx1-cosx=sin2x1-cos2x=sin2xsin2x=1,右邊=1,左邊=右邊,故原不等式成立”,應用的證明方法是.(填“綜合法”或“分析法”)答案綜合法8.若a>c>b>0,則a-bc+b-ca+c-ab的符號是.解析a-bc+b-ca+c-ab=a-bc+b2-bc+ac-a2ab=a-bc+(a-b)(c-a-b)ab=(a-b)(ab+c2-ac-bc)abc=(a-b)(a-c)(b-c)abc,因為a>c>b>0,所以a-b>0,a-c>0,b-c<0,abc>0.因此(a-b)(a-c)(b-c)abc<0.答案負9.導學號26394036已知a,b是不相等的正數,且a3-b3=a2-b2.求證1<a+b<43.證明a,b是不相等的正數,且a3-b3=a2-b2,a2+ab+b2=a+b.(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b.a+b>1.要證a+b<43,只需證3(a+b)<4,只需證3(a+b)2<4(a+b),即3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2),只需證a2-2ab+b2>0,只需證(a-b)2>0,而a,b為不相等的正數,(a-b)2>0顯然成立.故而a+b<43成立.綜上,1<a+b<43.10.導學號26394037在ABC中,已知ABC的面積為14,外接圓的半徑為1,三邊長分別為a,b,c,求證1a+1b+1c>a+b+c.證明設外接圓的半徑為R,ABC的面積為S.S=abc4R,R=1,S=14,abc=1,且a,b,c不全相等,否則a=1與a=2Rsin 60=3矛盾,1a+1b+1c=bc+ac+ab.又bc+ac2abc2=2c,ca+ab2a2bc=2a,bc+ab2ab2c=2b,a,b,c不全相等,上述三式中“=”不能同時成立.2(bc+ac+ab)>2(c+a+b),即bc+ac+ab>a+b+c.因此1a+1b+1c>a+b+c.