2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

2.1.1　數(shù)　列 學(xué)習(xí)目標　1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項.3.對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的一個通項公式． 知識點一　數(shù)列及其有關(guān)概念 1．按照一定次序排列起來的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，各項依次叫做這個數(shù)列的第1項(或首項)，第2項，…，第n項，…. 2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}． 思考　數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個數(shù)列嗎？ 答案　不是．順序不一樣． 知識點二　通項公式 如果數(shù)列的第n項an與序號n之間的關(guān)系可以用一個函數(shù)式an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．不是所有數(shù)列都能寫出通項公式，若數(shù)列有通項公式，通項公式表達式不一定唯一． 知識點三　數(shù)列的分類 1．按項數(shù)分類：項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列． 2．按項的大小變化分類：從第二項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第二項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列． 1．1,1,1,1是一個數(shù)列．(　√　) 2．數(shù)列1,3,5,7，…的第10項是21.(　　) 3．每一個數(shù)列都有通項公式．(　　) 4．如果一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列．(　　) 題型一　數(shù)列的分類 例1　下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是(　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， 答案　C 解析　A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意． 反思感悟　判斷數(shù)列的單調(diào)性時一定要確保每一項均大于(或均小于)后一項，不能有例外． 跟蹤訓(xùn)練1　下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是擺動數(shù)列？哪些是常數(shù)列？ (1)2010,2012,2014,2016,2018； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1,0，－1，…，sin，…； (6)9,9,9,9,9,9. 解　(1)(6)是有窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(4)(5)是擺動數(shù)列；(6)是常數(shù)列． 題型二　由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式 例2　寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)： (1)1，－，，－； (2)，2，，8； (3)9,99,999,9999. 解　(1)這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為an＝，n∈N＋. (2)數(shù)列中的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察：，，，，…，所以它的一個通項公式為an＝，n∈N＋. (3)各項加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000，…，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的一個通項公式為an＝10n－1，n∈N＋. 反思感悟　要由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，只需觀察分析數(shù)列中項的構(gòu)成規(guī)律，看哪些部分不隨序號的變化而變化，哪些部分隨序號的變化而變化，確定變化部分隨序號變化的規(guī)律，繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練2　寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)： (1)－，，－，； (2)，，，； (3)7,77,777,7777. 解　(1)這個數(shù)列前4項的分母都是序號數(shù)乘以比序號數(shù)大1的數(shù)，并且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式為an＝，n∈N＋. (2)這個數(shù)列的前4項的分母都是比序號大1的數(shù)，分子都是比序號大1的數(shù)的平方減1，所以它的一個通項公式為an＝，n∈N＋. (3)這個數(shù)列的前4項可以變?yōu)?，99，999，9999， 即(10－1)，(100－1)，(1000－1)，(10000－1)， 即(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)， 所以它的一個通項公式為an＝(10n－1)，n∈N＋. 題型三　數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用 例3　(1)已知數(shù)列，，，，…，那么0.94,0.96，0.98，0.99中是該數(shù)列中某一項值的數(shù)應(yīng)當有(　　) A．1個B．2個C．3個D．4個 答案　C 解析　數(shù)列，，，，…的通項公式為an＝， 0.94＝＝，0.96＝＝，0.98＝＝，0.99＝， ，，都在數(shù)列中，故有3個． (2)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n2－10n＋4. 問當n為何值時，an取得最小值？并求出最小值． 解　∵an＝2n2－10n＋4＝22－， ∴當n＝2或3時，an取得最小值，其最小值為a2＝a3＝－8. 反思感悟　(1)判斷某數(shù)是不是該數(shù)列的項，相當于已知y求x，若求出的x是正整數(shù)，則y是該數(shù)列的項，否則不是． (2)利用函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性與最值． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n∈N＋)，那么是這個數(shù)列的第______項． 答案　10 解析　∵＝，∴n(n＋2)＝1012，∴n＝10. (2)已知數(shù)列{an}中，an＝－n2＋25n(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的最大項是第________項． 答案　12或13 解析　∵an＝－2＋2是關(guān)于n的二次函數(shù)，又n∈N＋， ∴當n＝12或n＝13時，an最大． 歸納法求數(shù)列的通項公式 典例　觀察圖中5個圖形的相應(yīng)小圓圈的個數(shù)的變化規(guī)律，猜想第n個圖中有_______小圓圈． 答案　n2－n＋1 解析　觀察圖中5個圖形小圓圈的個數(shù)分別為1,12＋1,23＋1,34＋1,45＋1.故第n個圖中小圓圈的個數(shù)為(n－1)n＋1＝n2－n＋1. [素養(yǎng)評析]　歸納是邏輯推理的一類，可以發(fā)現(xiàn)新命題．本例完美詮釋了“觀察現(xiàn)象，歸納規(guī)律，大膽猜想，小心求證”這一認識發(fā)展規(guī)律． 1．下列敘述正確的是(　　) A．數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列 B．數(shù)列0,1,2,3，…可以表示為{n} C．數(shù)列0,1,0,1，…是常數(shù)列 D．數(shù)列是遞增數(shù)列 答案　D 解析　由數(shù)列的通項an＝知， an＋1－an＝－＝>0， 即數(shù)列是遞增數(shù)列，故選D. 2．數(shù)列2,3,4,5，…的一個通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝n，n∈N＋ B．a(chǎn)n＝n＋1，n∈N＋ C．a(chǎn)n＝n＋2，n∈N＋ D．a(chǎn)n＝2n，n∈N＋ 答案　B 解析　這個數(shù)列的前4項都比序號大1，所以，它的一個通項公式為an＝n＋1，n∈N＋. 3．數(shù)列{an}中，an＝2n2－3，n∈N＋，則125是這個數(shù)列的第________項． 答案　8 解析　令2n2－3＝125，解得n＝8(n＝－8舍去)． 所以125是該數(shù)列的第8項． 4．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，n∈N＋，則a1＝________；an＋1＝________. 答案　1　 解析　a1＝＝1， an＋1＝＝. 5．寫出數(shù)列：1，－3,5，－7,9，…的一個通項公式． 解　該數(shù)列的通項公式為an＝(－1)n+1(2n－1)，n∈N＋. 1．與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項也有三個性質(zhì) (1)確定性：一個數(shù)在不在數(shù)列中，即一個數(shù)是不是數(shù)列中的項是確定的． (2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)． (3)有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且也與這些數(shù)的排列次序有關(guān)． 2．并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式．例如，π的不同近似值，依據(jù)精確的程度可形成一個數(shù)列3,3.1，3.14，3.141，…，它沒有通項公式．根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住其幾方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相鄰項的變化特征； (3)拆項后的特征； (4)各項的符號特征和絕對值特征．并對此進行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納． 3．如果一個數(shù)列有通項公式，則它的通項公式可以有多種形式． 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，n∈N＋，則該數(shù)列的前4項依次為(　　) A．1,0,1,0 B．0,1,0,1 C．,0,,0 D．2,0,2,0 答案　A 解析　當n分別等于1,2,3,4時，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0. 2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－n－50，n∈N＋，則－8是該數(shù)列的(　　) A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．非任何一項 答案　C 解析　解n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)． 3．數(shù)列1,3,6,10，…的一個通項公式是(　　) A．a(chǎn)n＝n2－n＋1 B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝n2＋1 答案　C 解析　令n＝1,2,3,4，代入A，B，C，D檢驗，即可排除A，B，D，故選C. 4．數(shù)列，，，，…的第10項是(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由數(shù)列的前4項可知，數(shù)列的一個通項公式為an＝，n∈N＋， 當n＝10時，a10＝＝. 5．已知an＋1－an－3＝0，n∈N＋，則數(shù)列{an}是(　　) A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不能確定 答案　A 解析　an＋1＝an＋3＞an，n∈N＋，即該數(shù)列每一項均小于后一項，故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列． 6．設(shè)an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么an＋1－an等于(　　) A. B. C.＋ D.－ 答案　D 解析　∵an＝＋＋＋…＋， ∴an＋1＝＋＋…＋＋＋， ∴an＋1－an＝＋－＝－. 7．數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一個通項公式an等于(　　) A.(10n－1) B.(10n－1) C. D.(10n－1) 答案　C 解析　代入n＝1檢驗，排除A，B，D，故選C. 8．如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME－7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝n，n∈N＋ B．a(chǎn)n＝，n∈N＋ C．a(chǎn)n＝，n∈N＋ D．a(chǎn)n＝n2，n∈N＋ 答案　C 解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，…. 二、填空題 9．觀察數(shù)列的特點，用一個適當?shù)臄?shù)填空：1，，，，________，，…. 答案　3 解析　由于數(shù)列的前幾項中根號下的數(shù)都是由小到大的奇數(shù)，所以需要填空的數(shù)為＝3. 10．數(shù)列3,5,9,17,33，…的一個通項公式是________________． 答案　an＝2n＋1，n∈N＋ 11．323是數(shù)列{n(n＋2)}的第________項． 答案　17 解析　由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(負值舍去)． ∴323是數(shù)列{n(n＋2)}的第17項． 三、解答題 12．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項公式an是n的一次函數(shù)． (1)求{an}的通項公式； (2)判斷88是不是數(shù)列{an}中的項？ 解　(1)設(shè)an＝kn＋b，k≠0. 則解得 ∴an＝4n－2，n∈N＋. (2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N＋. ∴88不是數(shù)列{an}中的項． 13．在數(shù)列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N＋，請回答下列問題： (1)這個數(shù)列共有幾項為負？ (2)這個數(shù)列從第幾項開始遞增？ (3)這個數(shù)列中有無最小值？若有，求出最小值；若無，請說明理由． 解　(1)因為an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)， 所以當0<n<10，n∈N＋時，an<0， 所以數(shù)列{an}共有9項為負． (2)因為an＋1－an＝2n－7， 所以當an＋1－an>0時，n>， 故數(shù)列{an}從第4項開始遞增． (3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36， 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，當n＝4時，an取得最小值－36， 即這個數(shù)列有最小值，最小值為－36. 14．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝(n∈N＋)，則a3＋＝________. 答案　 解析　a3＝2-3＝，a4＝＝， ∴＝，∴a3＋＝. 15．已知數(shù)列，n∈N＋. (1)求證：該數(shù)列是遞增數(shù)列； (2)在區(qū)間內(nèi)有無數(shù)列中的項？若有，有幾項；若沒有，請說明理由． (1)證明　∵an＝＝＝＝＝1－， ∴an＋1－an＝－ ＝＝＞0，n∈N＋， ∴{an}是遞增數(shù)列． (2)解　令<an＝<， ∴ ∴ ∴<n<， ∴當且僅當n＝2時，上式成立， 故區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項，且只有一項為a2＝.