2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 專題2.4 等比數(shù)列試題 新人教A版必修5.doc

2.4 等比數(shù)列1等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于_，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示定義也可敘述為：在數(shù)列中，若為常數(shù)且，則是等比數(shù)列2等比中項如果在與中間插入一個數(shù)，使，成等比數(shù)列，那么_叫做與的等比中項3等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則這個等比數(shù)列的通項公式是4等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)（1）等比數(shù)列的圖象等比數(shù)列的通項公式還可以改寫為，當且時，是指數(shù)函數(shù)，是指數(shù)型函數(shù)，因此數(shù)列的圖象是函數(shù)的圖象上一些孤立的點例如，教材第50頁【探究】（2），的圖象如下圖所示 （2）等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列的首項為，公比為，則當或時，是_數(shù)列；當或時，是_數(shù)列；當時，為常數(shù)列；當時，為擺動數(shù)列，所有的奇數(shù)項（偶數(shù)項）同號，奇數(shù)項與偶數(shù)項異號K知識參考答案：1同一常數(shù)234遞增 遞減K重點等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的理解與簡單應用K難點靈活應用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題K易錯對等比數(shù)列的定義理解不深刻、忽略等比數(shù)列問題中的隱含條件等比數(shù)列的判定與證明判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法：（1）定義法：判斷是否為常數(shù)；（2）等比中項法：判斷是否成立；（3）通項公式法：若數(shù)列的通項公式形如，則數(shù)列是等比數(shù)列（1）若的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列（2）若成等比數(shù)列，均不為零，求證：成等比數(shù)列【答案】（1）是等比數(shù)列，證明見解析；（2）成等比數(shù)列，證明見解析【解析】（1），4為非零常數(shù)，由定義可知是等比數(shù)列（2）由成等比數(shù)列，可設(shè)，因為均不為零，所以，所以成等比數(shù)列【名師點睛】不能僅由數(shù)列的前有限項成等比數(shù)列得出數(shù)列是等比數(shù)列，而要否定一個數(shù)列是等比數(shù)列，只需得到其連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可等比數(shù)列的通項公式及應用（1）在等比數(shù)列中，若則_；（2）在等比數(shù)列中，已知若，則_【答案】（1）；（2）【解析】（1）方法1：因為，所以，兩式相除得，即，于是，所以方法2：因為，所以，即，所以（2）方法1：因為，兩式相除得，所以，由，可得，解得方法2：因為，所以，由可得，由，可得，解得【名師點睛】（1）已知數(shù)列為等比數(shù)列時，可利用條件構(gòu)建方程（組）求出基本量與，即可寫出數(shù)列的通項公式；（2）當已知等比數(shù)列中的某項，求出公比后，可繞過求而直接寫出其通項公式，即等比數(shù)列的性質(zhì)的應用若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的定義可得等比數(shù)列具有如下性質(zhì)：（1）若，則；若，則推廣：若，則（2）若成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列（3）數(shù)列仍是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列（4）成等比數(shù)列，公比為（5）連續(xù)相鄰項的和（或積）構(gòu)成公比為或的等比數(shù)列已知等比數(shù)列滿足（1）若則_；（2）若，則當時，_【答案】（1）6；（2）【解析】（1）方法1：因為由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以方法2：由等比數(shù)列的性質(zhì)知成等比數(shù)列，所以，所以（2）方法1：由得又所以故方法2：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得由于所以所以【名師點睛】在等比數(shù)列的有關(guān)運算中，常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運算，往往是建立關(guān)于的方程組，但這樣解起來很麻煩，若能避開求，直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解，則比較簡捷，同時在應用等比數(shù)列的性質(zhì)時，需注意等比數(shù)列性質(zhì)成立的前提條件由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式（1）形如的遞推關(guān)系式利用待定系數(shù)法可化為，當時，數(shù)列是等比數(shù)列；由，兩式相減，得當時，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列（2）形如的遞推關(guān)系式除利用待定系數(shù)法直接化歸為等比數(shù)列外，也可以兩邊同時除以，進而化歸為等比數(shù)列（1）在數(shù)列中，則數(shù)列的通項公式為_；（2）在數(shù)列中，則數(shù)列的通項公式為_【答案】（1）；（2）【解析】（1）方法1：令即與比較得，又，故數(shù)列是以4為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以方法2：因為所以所以所以是等比數(shù)列，首項公比，所以即，即（2）方法1：令即與比較可得，又，所以是以4為首項，6為公比的等比數(shù)列，所以，即方法2：由，兩邊同時除以得由待定系數(shù)法易得故數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以即【名師點睛】當已知數(shù)列不是等比數(shù)列時，往往需要利用待定系數(shù)法構(gòu)造與之相關(guān)的等比數(shù)列利用等比數(shù)列的通項公式，求出包含的關(guān)系式，進而求得忽略等比數(shù)列中所有項不為零導致錯誤已知等比數(shù)列的前三項分別為，則_【錯解】因為為與的等比中項，所以，解得或【錯因分析】若，則這三項為，不符合等比數(shù)列的定義【正解】因為為與的等比中項，所以，解得或由于時，所以應舍去，故【名師點睛】因為等比數(shù)列中各項均不為零，所以解題時一定要注意將所求結(jié)果代入題中驗證，若所求結(jié)果使等比數(shù)列中的某些項為零，則一定要舍去忽略等比數(shù)列中項的符號導致錯誤在等比數(shù)列中，則_【錯解】因為為等比數(shù)列，所以，由可得，故【錯因分析】錯解中忽略了在等比數(shù)列中，奇數(shù)項或偶數(shù)項的符號相同這一隱含條件【正解】因為為等比數(shù)列，所以，由可得，故又在等比數(shù)列中，所有的奇數(shù)項的符號相同，所以，所以【名師點睛】在等比數(shù)列中，奇數(shù)項或者偶數(shù)項的符號相同因此，在求等比數(shù)列的某一項或者某些項時要注意這些項的正負問題，要充分挖掘題目中的隱含條件1已知五個數(shù)成等比數(shù)列，則的值為ABCD2在等比數(shù)列中，則項數(shù)為A3B4C5D63已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，若，且，則數(shù)列的公比A2或BCD4已知數(shù)列是等比數(shù)列，是1和3的等差中項，則A16B8C2D45已知等比數(shù)列中，則的值為A2B4C8D166在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則的值是ABC或D7已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，則這三個數(shù)的和為A13B7C7或13D無法求解8已知，且是成等比數(shù)列的整數(shù)，n為大于1的整數(shù)，則下列關(guān)于，的說法正確的是A成等差數(shù)列B成等比數(shù)列C各項的倒數(shù)成等差數(shù)列D以上都不對9已知數(shù)列滿足，且，則_10在等比數(shù)列中，公比若成等差數(shù)列，則的值是_11在等比數(shù)列中，則_12已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項，則公比_，通項公式為_ 13已知等比數(shù)列中，求等比數(shù)列的通項公式14已知數(shù)列滿足遞推式，其中（1）求；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列15已知數(shù)列與等比數(shù)列滿足（1）試判斷是何種數(shù)列；（2）若，求16已知是等比數(shù)列，且，則ABCD17已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的首項都是1，公差和公比都是2，則A24B25C26D2718若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則ABCD19各項均為正的等比數(shù)列中，與的等比中項為，則的值為A4B3C2D120已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的首項都是1，公差和公比都是2，則A24B25C26D8421在等比數(shù)列中，公比若成等差數(shù)列，則_22已知數(shù)列滿足，且，則=_23已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則_24等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，為等比數(shù)列，且（1）求與；（2）求和：25已知數(shù)列的前項和為，在數(shù)列中，且（1）設(shè)，求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式26（2018北京文）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率，則第八個單音頻率為ABCD27（2016四川理）某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）A2018年B2019年C2020年D2021年28（2017北京理）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，則=_29（2017新課標全國理）設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a2=1,a1a3=3，則a4=_30（2018新課標全國文）已知數(shù)列滿足，設(shè)（1）求，；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項公式31（2016新課標全國文）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足，（1）求；（2）求的通項公式1【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q由題意得，又，所以，故選B2【答案】C【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式有，解得，故選C5【答案】B【解析】由題意得，所以，因為，所以，所以，所以，故選B6【答案】B【解析】由是方程的兩根有，故都為正數(shù)，而，所以，由于，所以，故選B 7【答案】C【解析】由題意，可設(shè)這三個數(shù)分別為，a，aq，則或，所以或，故這三個數(shù)為1，3，9或1，3，9或9，3，1或9，3，1故這三個數(shù)的和為13或7故選C9【答案】5【解析】因為，所以數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，10【答案】【解析】由題意得或（舍去），從而11【答案】或【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)知，又，所以，或，所以或12【答案】 【解析】由題意得，所以或（舍去），所以通項公式為13【答案】或【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，由題意得或所以或，即或，所以或故等比數(shù)列的通項公式為或14【答案】（1），；（2）見解析【解析】（1）由及知解得同理可得（2）由可得，是以為首項，2為公比的等比數(shù)列（2）因為，所以=10m，所以 16【答案】B【解析】由題意知，則，所以，故選B17【答案】B【解析】等比數(shù)列首項是，公比是，所以，等差數(shù)列的首項是，公差是，所以，故選B18【答案】C【解析】在等比數(shù)列中，所以，由對數(shù)的運算可知，故選C19【答案】B【解析】由與的等比中項為，得，所以，故選B20【答案】D【解析】等差數(shù)列首項是，公差是，所以，等比數(shù)列首項是，公比是，所以，故選D21【答案】【解析】由題意得或（舍去），從而22【答案】【解析】，即數(shù)列是以3為首項、3為公比的等比數(shù)列，則，即23【答案】【解析】因為成等差數(shù)列，設(shè)公差為，所以，因為成等比數(shù)列，所以，即，由于與同號，所以，所以，所以24【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，的公比為，則，依題意有解得或(舍去)，故，（2），所以25【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）因為 ，所以 ，得，所以，所以，所以，所以是等比數(shù)列因為首項，所以，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知，所以故當時，又代入上式也符合，所以26【答案】D【解析】因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則，故選D【名師點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若或， 數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且，則數(shù)列是等比數(shù)列 28【答案】1【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，求得，那么29【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組：，由可得：，代入可得，由等比數(shù)列的通項公式可得30【答案】（1），；（2）數(shù)列是等比數(shù)列，理由見解析；（3）【解析】（1）由條件可得，將代入得，而，所以將代入得，所以從而，31【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意得（2）由，得因為的各項都為正數(shù)，所以，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此