新版高考數(shù)學(xué)三輪講練測核心熱點(diǎn)總動(dòng)員新課標(biāo)版 專題16 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) Word版含解析

1 1 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標(biāo)全國】設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，則cosθ=______ 【答案】； 【解析】. 2.【20xx新課標(biāo)全國】函數(shù)在的圖像大致為（ ） 【答案】C； 3.【20xx全國1高考理】如圖，圖O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)，則的圖像大致為（ ） A B C D 【答案】C 4.【20xx高考全國1卷文】在函數(shù)①，② ，③,④中，最小正周期為的所有函數(shù)為（ ） A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】A 【解析】①中函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，其周期與相同，;②中函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半，即; ③; ④，則選A． 5.【20xx全國1理問】函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【熱點(diǎn)深度剖析】 從近幾年的高考試題來看，三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，三角函數(shù)圖像變換等是高考的熱點(diǎn)，每年文理均涉及到一道三角函數(shù)性質(zhì)與圖像的題目，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度屬于中、低檔；常與三角恒等變換交匯命題，在考查三角函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)，又考查三角恒等變換的方法與技巧，注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法． 20xx年文理試題一樣考查了三角最值問題，文科又與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，考查三角函數(shù)的奇偶性，20xx年理科高考考查了三角函數(shù)的圖像，文科考查了三角函數(shù)的周期性，難度中等.20xx年全國卷1文理試題相同，考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).都從近幾年的高考試題來看，三角函數(shù)的周期性,單調(diào)性,對(duì)稱性,最值,圖像變換等是高考的熱點(diǎn)，常與三角恒等變換交匯命題，在考查三角函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)，又考查三角恒等變換的方法與技巧，注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．其特點(diǎn)如下：(1)考小題，重基礎(chǔ)：小題其考查重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：解析式；圖象與圖象變換；兩域(定義域、值域)；四性(單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性)．(2)考大題，難度明顯降低：有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過公式變形轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)很少，而著重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能與方法的題目卻在增加．在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.預(yù)測20xx年高考很有可能出一道三角變換與三角函數(shù)性質(zhì)的交匯題，重點(diǎn)考查運(yùn)算與恒等變換能力，文理科都也可能出一個(gè)大題． 【重點(diǎn)知識(shí)整合】 1三角函數(shù)的定義域: (1) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是R； (2) 正切函數(shù)定義域. 2三角函數(shù)的值域： （1）正弦、余弦函數(shù)值域都是. 對(duì)，當(dāng)時(shí)，取最大值1；當(dāng)時(shí)，取最小值－1； 對(duì)，當(dāng)時(shí)，取最大值1，當(dāng) 時(shí)，取最小值－1. （2）正切函數(shù)值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值. 3.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： （1）上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； （2）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； （3） 在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù).注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性. 4.型單調(diào)區(qū)間的確定 （A、＞0）的單調(diào)性，把看作一個(gè)整體，放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間內(nèi)解出，為上增函數(shù)；放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間內(nèi)解出為上減函數(shù)（） 對(duì)與的單調(diào)區(qū)間的求解和上述類似. 5.三角函數(shù)的周期性 （1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期都是2；正切函數(shù)的最小正周期是，它與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期.　　 （2）函數(shù)圖象在其對(duì)稱軸處取得最大值或最小值，且相鄰的最大值與最小值間的距離為其函數(shù)的半個(gè)周期；函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對(duì)稱中心，相鄰兩對(duì)稱中心間的距離也是其函數(shù)的半個(gè)周期；函數(shù)取最值的點(diǎn)與相鄰的與x軸的交點(diǎn)間的距離為其函數(shù)的個(gè)周期. 6．型周期 和的最小正周期都是； 最小正周期. 7.三角函數(shù)的對(duì)稱性 （1）正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線； （2）余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線. 注意:正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與軸的交點(diǎn). （3）正切函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是. 注意：正(余)切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點(diǎn)，另一類是漸近線與軸的交點(diǎn)，但無對(duì)稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處. 8.三角函數(shù)的最值 求三角函數(shù)的最值，主要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型處理： （1），設(shè)化為一次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之； (2)，引入輔助角，化為求解方法同類型(1)； (3)，設(shè)，化為二次函數(shù)在上的最值求之； (4)，設(shè)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之； (5)，設(shè)化為用法求值；當(dāng)時(shí)，還可用平均值定理求最值； (6)根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，可轉(zhuǎn)換為解決； (7)的最值，可轉(zhuǎn)化為討論點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)連線的斜率，而動(dòng)點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，利用幾何方法易得所求三角函數(shù)的最值. 9.函數(shù)圖像的變換（平移變換和上下變換） 平移變換：左加右減，上加下減 把函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像. 伸縮變換: 把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長到原來的，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖像. 10.由的圖象變換出的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換.利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少. 途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得的圖象 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換：先將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?)，再沿軸向左()或向右()平移個(gè)單位，便得的圖象. 注意：函數(shù)的圖象，可以看作把曲線上所有點(diǎn)向左(當(dāng)時(shí))或向右(當(dāng)時(shí))平行移動(dòng)個(gè)單位長度而得到. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1．如何判斷函數(shù)的奇偶性 根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性，常見的結(jié)論如下： (1)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有； (2)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有； (3)若為奇函數(shù)則有. 2.如何確定函數(shù)當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性 對(duì)于函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，要特別注意的正負(fù)，若為負(fù)值，需要利用誘導(dǎo)公式把負(fù)號(hào)提出來，轉(zhuǎn)化為的形式，然后求其單調(diào)遞增區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi)；若求其遞減區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi). 3.求三角函數(shù)的周期的方法 （1）定義法：使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f (x+T)=f (x).利用定義我們可采用取值進(jìn)行驗(yàn)證的思路，非常適合選擇題； （2）公式法：和的最小正周期都是，的周期為.要特別注意兩個(gè)公式不要弄混； (3)圖象法：可以畫出函數(shù)的圖象，利用圖象的重復(fù)的特征進(jìn)行確定，一般適應(yīng)于不易直接判斷，但是能夠容易畫出函數(shù)草圖的函數(shù)； (4)絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定. 如的周期都是, 但的周期為，而，的周期不變. 4.掌握三種類型，順利求解三角最值 三角函數(shù)的最值既是高考中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，其類型豐富，解決的方法比較多.但是歸納起來常見的有下面三種類型： （1）可化為型函數(shù)值域： 利用三角公式對(duì)原函數(shù)進(jìn)行化簡、整理，最終得到的形式，然后借助題目中給定的的范圍，確定的范圍，最后利用的圖象確定函數(shù)的值域. 如：、 等. (2)可化為型求函數(shù)的值域： 首先借助三角公式，把函數(shù)化成型，然后采用換元法，即令，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，然后根據(jù)具體的結(jié)構(gòu)，采取相應(yīng)的方法求解.如：、可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；，可轉(zhuǎn)化為對(duì)號(hào)函數(shù)求值域. (3)利用數(shù)性結(jié)合思想求函數(shù)的值域： 此類題目需分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，看能否轉(zhuǎn)化為有幾何含義的式子結(jié)構(gòu)，有時(shí)也可以把函數(shù)圖象畫出來，直接觀察確定函數(shù)的值域.如，常轉(zhuǎn)化為直線的斜率的幾何含義求解. 【考場經(jīng)驗(yàn)分享】 1．閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響． 2．三角函數(shù)的性質(zhì)問題，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式再求解．要正確理解三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是記住三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可求三角函數(shù)的單調(diào)性，最值與周期． 3.　(1)在求三角函數(shù)的最值時(shí)，要注意自變量x的范圍對(duì)最值的影響，往往結(jié)合圖象求解．(2)求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，只有當(dāng)ω＞0時(shí)，才可整體代入并求其解，當(dāng)ω＜0時(shí)，需把ω的符號(hào)化為正值后求解． 【名題精選練兵篇】 1．【20xx屆湖北省龍泉中學(xué)等校高三9月聯(lián)考】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)在的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，所的函數(shù)解析式為，此函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，將解析式代入其中，利用三角恒等變換可求得，則在的最小值為，所以本題的正確選項(xiàng)為C. 2．【20xx屆陜西省西北工大附中高三第四次適應(yīng)性考試】要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像沿軸（ ） A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位 C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位 【答案】A 3．【20xx屆河南省洛陽市一中高三下學(xué)期第二次模擬】已知函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)椋瑒t的值不可能是（ ） A. B.π C. D.2π 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí)，，所以可令，又函數(shù)的最小值為，所以，所以，所以選項(xiàng)D不可能，故選D. 4．【20xx屆河南省洛陽市一中高三下學(xué)期第二次模擬】已知函數(shù)①②，③，④的部分圖象如下，但順序被打亂，則按照?qǐng)D象從左到右的順序，對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)正確的一組是（ ） ①④②③ ①④③② ④①②③ ③④②① 【答案】A 【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，所以對(duì)應(yīng)圖象應(yīng)為第一個(gè)圖象；函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)在區(qū)間函數(shù)值有正有負(fù)，對(duì)應(yīng)圖象為第3個(gè)函數(shù)圖象；函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)在區(qū)間函數(shù)值，所以對(duì)應(yīng)圖象為第4個(gè)圖象；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象為第2個(gè)，故選A. 5．【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)椋O(shè)的最小正周期為，則，所以的最小值為，故選C. 6．【20xx屆四川省成都市七中高三考試】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，下列敘述不正確的是（ ） A．的最小正周期為 B．是偶函數(shù) C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．在每一個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 【答案】A 7．【20xx屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一?？荚嚒咳艉瘮?shù)，函數(shù)，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)，則的幾何意義是兩曲線動(dòng)點(diǎn)之間的距離的平方，取函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直線的斜率為，由，即，解得，此時(shí)，即函數(shù)在處的切線與平行，則最短距離為，所以的最小值為，故選B. 8．【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬考試】已知函數(shù)的最小正周期為，且，則的一個(gè)對(duì)稱中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 9．【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬】已知的部分圖象如圖所示，則=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得，根據(jù)給定的圖象，可知，又，即，令，則，又，所以令，所以，故選C. 10．【20xx屆福建省廈門一中高三下學(xué)期測試】已知函數(shù)的部分圖象，如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得 則當(dāng)時(shí)，，選D 11. 【江西省九江市20xx年第一次高考模擬】已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】由題意得，又∵， ∴，即，，∵，∴，故選C. 12. 【湖北省黃岡市20xx屆高三上學(xué)期元月調(diào)研】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的取值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 13. 【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市20xx屆高三調(diào)研】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且滿足，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ． 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以由，由，因?yàn)?，所以，由，即函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為 14. 【江蘇省啟東中學(xué)20xx屆高三下學(xué)期期初調(diào)研】設(shè)常數(shù)使方程 在閉區(qū)間上恰有三個(gè)解，則 ▲ ． 【答案】； 【解析】，直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)，在上，當(dāng)時(shí)，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，令或，即或，此時(shí)，． 15．已知函數(shù)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。? A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)是偶函數(shù) C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) 【答案】C 16. 【遼寧省朝陽市三校協(xié)作體20xx屆高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考】設(shè)函數(shù)，且其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是 （ ） 【答案】C 【名師原創(chuàng)測試篇】 1. 若函數(shù)的最小正周期為，若對(duì)任意,都有，則的值為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知 ，此時(shí)，，因最小正周期為，故，又對(duì)任意,都有，所以應(yīng)為的最值，即，所以 2.已知函數(shù)的最小正周期是，若其圖像向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像 （ ） A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于直線對(duì)稱 C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱 【答案】C 【解析】根據(jù)最小正周期為，知：，將圖像向右平移個(gè)單位得到為奇函數(shù)，所以，解得：，因?yàn)?，只有?dāng)時(shí)，符合題意，所以，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，所以C正確. 3.已知函數(shù)（其中），其部分圖像如下圖所示，將的圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成原來的2倍，再向右平移1個(gè)單位得到的圖像，則函數(shù)的解析式為（） A. B. C. D. 【答案】B 4.函數(shù)的值域?yàn)椋? ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴為周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為，故只需考慮在上的值域即可， 當(dāng)時(shí)，，其中，， ∴，， 當(dāng)時(shí)，，，， ∴，，∴的值域?yàn)? 5. 已知函數(shù)y＝sinωx(ω＞0)在區(qū)間上為增函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)(3π，0)對(duì)稱，則ω的取值集合為　　　　． 【答案】 【解析】由題意知，即，其中，則ω的取值集合為 6. 設(shè)偶函數(shù)的部分圖象如圖所示，， ，，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 6.已知函數(shù)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ ） A．2 B. 3 C． 4 D.5 【解析】C