2020版高考數學一輪復習 第12章 選修4系列 第2講 參數方程講義 理（含解析）.doc

第2講參數方程考綱解讀了解參數方程及參數的意義，掌握直線、圓及橢圓的參數方程，并能利用參數方程解決問題(重點、難點)考向預測從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個必考點. 預測2020年將會考查：參數方程與普通方程的互化及直線與橢圓參數方程的應用.1曲線的參數方程一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數t的函數，并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數x，y的變數t叫做參變數，簡稱參數2常見曲線的參數方程和普通方程提醒：直線的參數方程中，參數t的系數的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離1概念辨析(1)直線(t為參數)的傾斜角為30.()(2)過點M0(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數方程為(t為參數)參數t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段的數量()(3)方程表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓()(4)已知橢圓的參數方程(t為參數)，點M在橢圓上，對應參數t，點O為原點，則直線OM的斜率為.()答案(1)(2)(3)(4) 2小題熱身(1)若直線的參數方程為(t為參數)，則直線的斜率為_答案解析因為所以3x2y7，此直線的斜率為.(2)橢圓(為參數)的離心率為_答案解析將消去參數，得橢圓1.所以a225，b29，c2a2b216，所以a5，b3，c4，所以離心率e.(3)曲線C的參數方程為(為參數)，則曲線C的普通方程為_答案y22x2(1x1)解析由(為參數)消去參數，得y22x2(1x1)題型 參數方程與普通方程的互化1求直線(t為參數)與曲線(為參數)的交點個數解將消去參數t得直線xy10；將消去參數，得圓x2y29.又圓心(0,0)到直線xy10的距離d<3.因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個交點2如圖，以過原點的直線的傾斜角為參數，求圓x2y2x0的參數方程解如圖，圓的半徑為，記圓心為C，連接CP，則PCx2，故xPcos2cos2，yPsin2sincos(為參數)所以圓的參數方程為(為參數)條件探究把舉例說明1中“曲線(為參數)”改為“”其他條件不變，求兩條曲線交點的坐標解由(sincos)21sin22(1sin2)，得y22x.又因為x1sin20,2，所以所求普通方程為y22x，x0,2解方程組得或又因為x0,2，所以交點坐標為.1參數方程化為普通方程基本思路是消去參數，常用的消參方法有：代入消元法；加減消元法；恒等式(三角的或代數的)消元法；平方后再加減消元法等其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程組的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2cos21等2普通方程化為參數方程(1)選擇參數的一般原則曲線上任意一點的坐標與參數的關系比較明顯且關系相對簡單；當參數取某一值時，可以唯一確定x，y的值(2)解題的一般步驟第一步，引入參數，但要選定合適的參數t；第二步，確定參數t與變量x或y的一個關系式xf(t)(或y(t)；第三步，把確定的參數與一個變量的關系式代入普通方程F(x，y)0，求得另一關系yg(t)(或x(t)，問題得解 在平面直角坐標系xOy中，直線l：(t為參數)，與曲線C：(k為參數)交于A，B兩點，求線段AB的長解將直線l的參數方程化為普通方程，得4x3y4，將曲線C的參數方程化為普通方程，得y24x，聯立方程解得或所以A(4,4)，B或A，B(4,4)所以AB.題型 參數方程的應用角度1利用參數方程解最值問題1在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(0,2)，曲線C2的參數方程為(t為參數)(1)求曲線C1，C2的普通方程；(2)求曲線C1上一點P到曲線C2的距離的最大值解(1)由題意知，曲線C1的普通方程為x21，曲線C2的普通方程為xy20.(2)設點P的坐標為(cos，3sin)，則點P到直線C2的距離d，所以當sin1，即時，dmax2，即點P到曲線C2的距離的最大值為2.角度2參數幾何意義的應用2(2018全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)(1)求C和l的直角坐標方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率解(1)曲線C的直角坐標方程為1.當cos0時，l的直角坐標方程為ytanx2tan，當cos0時，l的直角坐標方程為x1.(2)將l的參數方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內，所以有兩個解，設為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，于是直線l的斜率ktan2.1設直線l的參數方程為(t為參數)，直線的參數方程在交點問題中的應用(1)若M1，M2是直線l上的兩個點，對應的參數分別為t1，t2，則|t1t2|，|t2t1|.(2)若線段M1M2的中點為M3，點M1，M2，M3對應的參數分別為t1，t2，t3，則t3.(3)若直線l上的線段M1M2的中點為M0(x0，y0)，則t1t20，t1t2<0.2圓和圓錐曲線參數方程的應用有關圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用它們的參數方程轉化為三角函數的最大值、最小值求解提醒：對于形如(t為參數)，當a2b21時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題 1已知曲線C的極坐標方程為2，在以極點為直角坐標系的原點O，極軸為x軸的正半軸建立的平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)(1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；(2)已知曲線W：(為參數)，若M為曲線W上任意一點，求點M到直線l的最小距離解(1)由(t為參數)消去參數t，得yx3.即直線l的普通方程為xy30.因為2x2y2，所以曲線C的直角坐標方程為x2y24.(2)由已知可設M(cos，2sin)(為參數)，則點M到直線l的距離d(其中tan2)，所以點M到直線l的距離的最小值為.2(2018河北“五個一名校聯盟”二模)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a,1)，其參數方程為(t為參數，aR)以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為cos24cos0.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；(2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，且|AB|8，求實數a的值解(1)曲線C1的參數方程為(t為參數，aR)，曲線C1的普通方程為xya10.曲線C2的極坐標方程為cos24cos0，2cos24cos20，x24xx2y20，即曲線C2的直角坐標方程為y24x.(2)設A，B兩點所對應的參數分別為t1，t2，由得t22t28a0.(2)24(28a)>0，即a>0，根據參數方程中參數的幾何意義可知|AB|t1t2|8，a2.題型 極坐標方程和參數方程的綜合應用(2019貴州聯考)已知在一個極坐標系中，點C的極坐標為.(1)求出以C為圓心，半徑長為2的圓的極坐標方程(寫出解題過程)；(2)在直角坐標系中，以圓C所在極坐標系的極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，點P是圓C上任意一點，Q(5，)，M是線段PQ的中點，當點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通方程解(1)如圖，設圓C上任意一點A(，)，則AOC或.由余弦定理得，424cos4，所以圓C的極坐標方程為4cos.(2)在直角坐標系中，點C的坐標為(1，)，可設圓C上任意一點P(12cos，2sin)，又令M(x，y)，由Q(5，)，M是線段PQ的中點，得點M的軌跡的參數方程為(為參數)，即(為參數)，點M的軌跡的普通方程為(x3)2y21.極坐標方程與參數方程綜合問題的解題策略(1)求交點坐標、距離、線段長可先求出直角坐標方程，然后求解(2)判斷位置關系先轉化為平面直角坐標方程，然后再作出判斷(3)求參數方程與極坐標方程綜合的問題一般是先將方程化為直角坐標方程，利用直角坐標方程來研究問題 (2017全國卷)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為(t為參數)，直線l2的參數方程為(m為參數)設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：(cossin)0，M為l3與C的交點，求M的極徑解(1)消去參數t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去參數m得l2的普通方程l2：y(x2)設P(x，y)，由題設得消去k得x2y24(y0)，所以C的普通方程為x2y24(y0)(2)C的極坐標方程為2(cos2sin2)4(02，)，聯立得cossin2(cossin)故tan，從而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交點M的極徑為.