新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 大題沖關(guān)集訓(xùn)四理

大題沖關(guān)集訓(xùn)(四)1.(20xx福州模擬)如圖,正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直,ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,AEF=45°.(1)求證:EF平面BCE;(2)設(shè)線段CD的中點(diǎn)為P,在直線AE上是否存在一點(diǎn)M,使得PM平面BCE?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:法一(1)取BE的中點(diǎn)G,連接AG,由題意知EFBE.由EA=AB知AGBE,所以EFAG.平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,BCAB,BC平面ABEF,BCAG.又BCBE=B,AG平面BCE,EF平面BCE.(2)當(dāng)M為AE中點(diǎn)時(shí)有PM平面BCE.取AB的中點(diǎn)N,連接PN、MN,則MNBE,NPBC,所以MN平面BCE,NP平面BCE.又MNNP=N,所以平面PMN平面BCE,又PM平面PMN且PM平面BCE,PM平面BCE.法二(1)因?yàn)锳BE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)AB=1,則AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因?yàn)镕A=FE,AEF=45°,所以AFE=90°,從而,F(0,-12,12).所以EF=(0,-12,-12),BE=(0,-1,1),BC=(1,0,0).EF·BE=0+12-12=0,EF·BC=0.所以EFBE,EFBC.又BCBE=B,所以EF平面BCE.(2)存在點(diǎn)M,當(dāng)M為AE中點(diǎn)時(shí),PM平面BCE.M(0,0,12),P(1,12,0).從而PM=(-1,-12,12),于是PM·EF=(-1,-12,12)·(0,-12,-12)=0,所以PMFE,又EF平面BCE,直線PM不在平面BCE內(nèi),故PM平面BCE.2.(20xx臨沂?？?如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,BCC1=90°,AB側(cè)面BB1C1C.(1)求直線C1B與底面ABC所成角的正弦值;(2)在棱CC1(不包含端點(diǎn)C,C1)上確定一點(diǎn)E的位置,使得EAEB1(要求說明理由).解:法一(1)AB側(cè)面BB1C1C,CC1面BB1C1C,ABC1C,又CC1CB且CBAB=B,CC1平面ABC,C1BC為直線C1B與底面ABC所成角.RtCC1B中,BC1=1,CC1=2,則BC1=5.sin C1BC=25=255.直線C1B與底面ABC所成角的正弦值為255.(2)取CC1的中點(diǎn)F,連接B1F,BF.矩形BCC1B1中,BF=B1F=2,BB1=2,BFB1F,又ABB1F,B1F平面ABF,B1FAF.故當(dāng)E與F重合,即E為CC1的中點(diǎn)時(shí)有EAEB1.法二如圖,以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C1(1,2,0),B1(0,2,0)(1)直三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC的法向量BB1=(0,2,0),又BC1=(1,2,0),設(shè)BC1與平面ABC所成角為,則sin =|cos<BB1,BC1>|=|BB1·BC1|BB1|BC1|=255.直線C1B與底面ABC所成角的正弦值為255.(2)設(shè)E(1,y,0),A(0,0,z),則EB1=(-1,2-y,0),EA=(-1,-y,z).EAEB1,EA·EB1=1-y(2-y)=0.y=1,即E(1,1,0).E為CC1的中點(diǎn).3.如圖,在直角梯形ABCP中,AB=BC=3,AP=7,CDAP于D,現(xiàn)將梯形ABCD沿線段CD折成60°的二面角PCDA,設(shè)E,F,G分別是PD,PC,BC的中點(diǎn).(1)求證:PA平面EFG;(2)若M為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),問點(diǎn)M在什么位置時(shí),直線MF與平面EFG所成的角最大?并求此最大角的余弦值.(1)證明:ADCD,PDCD,CD平面PAD,平面PAD平面ABCD.過P作AD的垂線,垂足為O,則PO平面ABCD.過O作BC的垂線,交BC于H,分別以O(shè)H,OD,OP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,PDO是二面角PDCA的平面角,PDO=60°,又PD=4,OP=23,OD=2,AO=1,得A(0,-1,0),B(3,-1,0),C(3,2,0),P(0,0,23),D(0,2,0),E(0,1,3),F(32,1,3),G(3,12,0),故EF=(32,0,0),EG=(3,-12,-3),設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n·EF=0,n·EG=0.即32x=0,3x-12y-3z=0,取z=1,得n=(0,-23,1),而PA=(0,-1,-23),n·PA=0+23-23=0,nPA,又PA平面EFG,故PA平面EFG.(2)解:設(shè)M(x,2,0),則MF=(32-x,-1,3),設(shè)MF與平面EFG所成角為,則sin =|cos<n,MF>|=|n·MF|n|MF|=3313·(32-x)2+4,故當(dāng)x=32時(shí),sin 取到最大值,則取到最大值,此時(shí)點(diǎn)M為線段CD的中點(diǎn),MF與平面EFG所成角的余弦值cos =51326.4.(20xx福建師大附中模擬)一個(gè)幾何體是由圓柱和三棱錐EABC組合而成,點(diǎn)A,B,C在圓O的圓周上,其正視圖、側(cè)視圖的面積分別為10和12,如圖所示,其中EA平面ABC,ABAC,AB=AC,AE=2.(1)求證:ACBD;(2)求二面角ABDC的大小.解:法一(1)因?yàn)镋A平面ABC,AC平面ABC,所以EAAC,即EDAC.又因?yàn)锳CAB,ABED=A,所以AC平面EBD.因?yàn)锽D平面EBD,所以ACBD.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C在圓O的圓周上,且ABAC,所以BC為圓O的直徑.設(shè)圓O的半徑為r,圓柱高為h,根據(jù)正視圖、側(cè)視圖的面積可得2rh+12r×2=10,2rh+12×2r×2=12.解得r=2,h=2.所以BC=4,AB=AC=22.過點(diǎn)C作CHBD于點(diǎn)H,連接AH,由(1)知,ACBD,ACCH=C,所以BD平面ACH.因?yàn)锳H平面ACH,所以BDAH.所以AHC為二面角ABDC的平面角.由(1)知,AC平面ABD,AH平面ABD,所以ACAH,即CAH為直角三角形.在RtBAD中,AB=22,AD=2,則BD=AB2+AD2=23.由AB·AD=BD·AH,解得AH=263.因?yàn)閠an AHC=ACAH=3.所以AHC=60°.所以二面角ABDC的平面角大小為60°.法二(1)因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C在圓O的圓周上,且ABAC,所以BC為圓O的直徑.設(shè)圓O的半徑為r,圓柱高為h,根據(jù)正視圖、側(cè)視圖的面積可得2rh+12r×2=10,2rh+12×2r×2=12.解得r=2,h=2.所以BC=4,AB=AC=22.以點(diǎn)D為原點(diǎn),DD1,DE所在的直線分別為x軸、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),D1(4,0,0),A(0,0,2),B(2,2,2),C(2,-2,2),AC=(2,-2,0),DB=(2,2,2).因?yàn)锳C·DB=(2,-2,0)·(2,2,2)=0,所以ACDB.所以ACBD.(2)設(shè)n=(x,y,z)是平面BCD的法向量,BC=(0,-4,0),n·BC=0,n·DB=0.即-4y=0,2x+2y+2z=0.取z=-1,則n=(1,0,-1)是平面BCD的一個(gè)法向量.由(1)知,ACBD,又ACAB,ABBD=B,所以AC平面ABD.所以AC=(2,-2,0)是平面ABD的一個(gè)法向量.因?yàn)閏os<n,AC>=n·AC|n|·|AC|=22×22=12,所以<n,AC>=60°.而<n,AC>等于二面角ABDC的平面角,所以二面角ABDC的平面角大小為60°.5.(20xx高考浙江卷)如圖,在四棱錐ABCDE中,平面ABC平面BCDE,CDE=BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=2.(1)證明:DE平面ACD;(2)求二面角BADE的大小.(1)證明:在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=2,由AC=2,AB=2得AB2=AC2+BC2,即ACBC.又平面ABC平面BCDE,從而AC平面BCDE.所以ACDE.又DEDC,從而DE平面ACD.(2)解:法一作BFAD,與AD交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FGDE,與AE交于點(diǎn)G,連接BG,由(1)知DEAD,則FGAD.所以BFG是二面角BADE的平面角.在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BDBC.又平面ABC平面BCDE,得BD平面ABC,從而BDAB.由于AC平面BCDE,得ACCD.在RtACD中,由DC=2,AC=2,得AD=6.在RtAED中,由ED=1,AD=6,得AE=7.在RtABD中,由BD=2,AB=2,AD=6,得BF=233,AF=23AD.從而GF=23.在ABE,ABG中,利用余弦定理分別可得cos BAE=5714,BG=23.在BFG中,cos BFG=GF2+BF2-BG22BF·GF=32.所以,BFG=6,即二面角BADE的大小是6.法二以D為原點(diǎn),分別以射線DE,DC為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖所示.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2,2),B(1,1,0).設(shè)平面ADE的法向量m=(x1,y1,z1),平面ABD的法向量為n=(x2,y2,z2),可算得AD=(0,-2,-2),AE=(1,-2,-2),DB=(1,1,0).由m·AD=0,m·AE=0得-2y1-2z1=0,x1-2y1-2z1=0,可取m=(0,1,-2),由n·AD=0,n·BD=0得-2y2-2z2=0,x2+y2=0,可取n=(1,-1,2).于是|cos<m,n>|=|m·n|m|·|n|=33·4=32.由題意可知,所求二面角是銳角,故二面角BADE的大小是6.6.如圖1,O的直徑AB=4,點(diǎn)C、D為O上兩點(diǎn),且CAB=45°,DAB=60°,F為BC的中點(diǎn).沿直徑AB折起,使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖2).(1)求證:OF平面ACD;(2)求二面角CADB的余弦值;(3)在BD上是否存在點(diǎn)G,使得FG平面ACD?若存在,試指出點(diǎn)G的位置,并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值;若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)證明:如圖,以AB所在的直線為y軸,以O(shè)C所在的直線為z軸,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則A(0,-2,0),C(0,0,2).AC=(0,0,2)-(0,-2,0)=(0,2,2),點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2,2),OF=(0,2,2).OF=22AC,即OFAC.OF平面ACD,AC平面ACD,OF平面ACD.(2)解:DAB=60°,點(diǎn)D的坐標(biāo)是(3,-1,0),AD=(3,1,0).設(shè)二面角CADB的大小為,n1=(x,y,z)為平面ACD的一個(gè)法向量.由n1·AC=0,n1·AD=0,即2y'+2z'=0,3x'+y'=0.取x=1,解得y=-3,z=3.n1=(1,-3,3).取平面ADB的一個(gè)法向量n2=(0,0,1),cos =|n1·n2|n1|n2|=|1×0+(-3)×0+3×1|7×1=217.(3)解:設(shè)在BD上存在點(diǎn)G,使得FG平面ACD,OF平面ACD,平面OFG平面ACD,則有OGAD.設(shè)OG=AD(>0),AD=(3,1,0),OG=(3,0).又|OG|=2,(3)2+2+02=2,解得=±1(舍去-1).OG=(3,1,0),則G為BD的中點(diǎn).因此,在BD上存在點(diǎn)G,使得FG平面ACD,且點(diǎn)G為BD的中點(diǎn).設(shè)直線AG與平面ACD所成角為,AG=(3,1,0)-(0,-2,0)=(3,3,0),根據(jù)(2)的計(jì)算n1=(1,-3,3)為平面ACD的一個(gè)法向量,sin =cos(90°-)=|AG·n1|AG|n1|=|3×1+3×(-3)+0×3|23×7=77.因此,直線AG與平面ACD所成角的正弦值為77.7.(20xx高考福建卷)如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,側(cè)棱AA1底面ABCD,ABDC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0).(1)求證:CD平面ADD1A1;(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為67,求k的值;(3)現(xiàn)將與四棱柱ABCDA1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼接成一個(gè)新的四棱柱.規(guī)定:若拼接成的新四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案.問:共有幾種不同的拼接方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為f(k),寫出f(k)的解析式.(直接寫出答案,不必說明理由)(1)證明:取CD的中點(diǎn)E,連接BE.ABDE,AB=DE=3k,四邊形ABED為平行四邊形,BEAD且BE=AD=4k.在BCE中,BE=4k,CE=3k,BC=5k,BE2+CE2=BC2,BEC=90°,即BECD.又BEAD,CDAD.AA1平面ABCD,CD平面ABCD,AA1CD.又AA1AD=A,CD平面ADD1A1.(2)解:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1),所以AC=(-4k,6k,0),AB1=(0,3k,1),AA1=(0,0,1).設(shè)平面AB1C的法向量n=(x,y,z),則由AC·n=0,AB1·n=0,得-4kx+6ky=0,3ky+z=0.取y=2,得n=(3,2,-6k).設(shè)AA1與平面AB1C所成角為,則sin =|cos<AA1,n>|=|AA1·n|AA1|·|n|=6k36k2+13=67,解得k=1,故所求k的值為1.(3)解:共有4種不同的方案.f(k)=72k2+26k,0<k518,35k2+36k,k>518.