2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.3 反證法與放縮法導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

2.3 反證法與放縮法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解反證法在證明不等式中的應(yīng)用2掌握反證法證明不等式的方法3掌握放縮法證明不等式的原理，并會(huì)用其證明不等式.一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。二、合作探究探究1用反證法證明不等式應(yīng)注意哪些問題？探究2運(yùn)用放縮法證明不等式的關(guān)鍵是什么？1.反證法對(duì)于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明用反證法證明數(shù)學(xué)命題，實(shí)際上是證明逆否命題成立，來代替證明原命題成立，用反證法證明步驟可概括為“否定結(jié)論，推出矛盾”(1)否定結(jié)論：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即肯定結(jié)論的反面成立(2)推出矛盾：從假設(shè)及已知出發(fā)，應(yīng)用正確的推理，最后得出與定理、性質(zhì)、已知及事實(shí)相矛盾的結(jié)論，從而說明假設(shè)不成立，故原命題成立 2用反證法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證；否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法3放縮法放縮法是證明不等式的一種特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函數(shù)的有界性、單調(diào)性等適當(dāng)?shù)姆趴s以達(dá)到證明的目的放縮是一種重要手段，放縮時(shí)應(yīng)目標(biāo)明確、放縮適當(dāng)，目的是化繁為簡，應(yīng)靈活掌握常見放縮有以下幾種類型：第一，直接放縮；第二，裂項(xiàng)放縮(有時(shí)添加項(xiàng))；第三，利用函數(shù)的有界性、單調(diào)性放縮；第四，利用基本不等式放縮例如：<，>；>2()，<2()以上nN，且n>1.【例1】若a3b32，求證：ab2.【變式訓(xùn)練1】若假設(shè)a，b，c，d都是小于1的正數(shù)，求證：4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)這四個(gè)數(shù)不可能都大于1.【例2】設(shè)x，y，z滿足xyza(a>0)，x2y2z2a2.求證：x，y，z都不能是負(fù)數(shù)或大于a的數(shù)【變式訓(xùn)練2】證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，那么方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)根【例3】求證：2(1)<1<2(nN) 【變式訓(xùn)練3】設(shè)nN，求證：<1.【例4】已知實(shí)數(shù)x，y，z不全為零，求證：>(xyz)【變式訓(xùn)練4】 設(shè)x>0，y>0，x>0，求證：>xyz. 參考答案探究1提示：用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證；否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法(3)推導(dǎo)出來的矛盾可以是多種多樣的，有的與已知條件相矛盾，有的與假設(shè)相矛盾，有的與定理、公理相違背，有的與已知的事實(shí)相矛盾等，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的探究2 提示：運(yùn)用放縮法證明不等式的關(guān)鍵是放大(或縮小)要適當(dāng)如果所要證明的不等式中含有分式，那么我們把分母放大時(shí)相應(yīng)分式的值就會(huì)縮??；反之，如果把分母縮小，則相應(yīng)分式的值就會(huì)放大有時(shí)也會(huì)把分子、分母同時(shí)放大，這時(shí)應(yīng)該注意不等式的變化情況，可以與相應(yīng)的函數(shù)相聯(lián)系，以達(dá)到判斷大小的目的，這些都是我們?cè)谧C明中的常用方法與技巧，也是放縮法中的主要形式【例1】證法一假設(shè)ab>2，則a>2b，2a3b3>(2b)3b3，即2>812b6b2，即(b1)2<0，這是不可能的ab2.證法二假設(shè)ab>2，而a2abb2(ab)2b20，但取等號(hào)的條件是ab0，顯然不可能a2abb2>0.則a3b3(ab)(a2abb2)>2(a2abb2)又a3b32，a2abb2<1.1ab>a2b22ab.ab1.(ab)2a2b22ab(a2abb2)3ab<4.ab<2，這與假設(shè)相矛盾，故ab2.【變式訓(xùn)練1】證明假設(shè)4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)都大于1，則a(1b)>，b(1c)>，c(1d)>，d(1a)>.>，>，>，>.又，>，>，>，>.以上四個(gè)式子相加，得2>2，矛盾原命題結(jié)論成立【例2】【證明】(1)假設(shè)x，y，z中有負(fù)數(shù)，若x，y，z中有一個(gè)負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x<0，則y2z2(yz)2(ax)2，又y2z2a2x2，a2x2(ax)2.即x2ax0，這與a>0，x<0矛盾若x，y，z中有兩個(gè)是負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x<0，y<0，則z>a.z2>a2.這與x2y2z2a2相矛盾若x，y，z全為負(fù)數(shù)，則與xyza>0矛盾綜上所述，x，y，z都不為負(fù)數(shù)(2)假設(shè)x，y，z有大于a的數(shù)若x，y，z中有一個(gè)大于a，不妨設(shè)x>a.由a2x2y2z2(yz)2(ax)2得x2ax0，即x0，這與x>a相矛盾若x，y，z中有兩個(gè)或三個(gè)大于a，這與xyza相矛盾綜上所述，x，y，z都不能大于a.由(1)、(2)知，原命題成立【變式訓(xùn)練2】證明假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)，為其中的兩個(gè)實(shí)根，不妨設(shè)>.函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，f()>f()這與f()f()0矛盾所以方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根【例3】【證明】對(duì)kN，1kn，有>2()1>2(1)2()2()2(1)又<2()(2kn)，1<12(1)2()2()2.綜上分析可知，原不等式成立【變式訓(xùn)練3】證明nN，.又<1，<1.【例4】【證明】|x|x.同理y，z.由于x，y，z不全為零，故上面三個(gè)式子中至少有一個(gè)式子等號(hào)不成立，所以三式相加，得>(xyz)【變式訓(xùn)練4】證明x>0，y>0，z>0，|x|x.同理>z.二式相加，得> xyz.