2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第九章 平面解析幾何學(xué)案.doc

第九章　平面解析幾何 第1課時(shí)　直線的傾斜角與斜率 了解確定直線位置的幾何要素（兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)定點(diǎn)和斜率）.對直線的傾斜角、斜率的概念要理解，能牢記過兩點(diǎn)的斜率公式并掌握斜率公式的推導(dǎo)，了解直線的傾斜角的范圍.理解直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系，能根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率. ① 在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.② 理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.
1. （原創(chuàng)）設(shè)m為常數(shù)，則過點(diǎn)A（2，－1），B（2，m）的直線的傾斜角是　　　?。? 答案：90 解析：因?yàn)檫^點(diǎn)A（2，－1），B（2，m）的直線x＝2垂直于x軸，故其傾斜角為90. 2. （必修2P80練習(xí)1改編）若過點(diǎn)M（－2，m），N（m，4）的直線的斜率等于1，則m的值為　　　　Ｗ. 答案：1 解析：由1＝，得m＋2＝4－m，解得m＝1. 3. （原創(chuàng)）若直線l的斜率k的變化范圍是[－1，]，則它的傾斜角的變化范圍是　　　?。? 答案：∪ 解析：由－1≤k≤，即－1≤tan α≤， ∴ α∈∪. 4. （必修2P80練習(xí)6改編）已知兩點(diǎn)A（4，0），B（0，3），點(diǎn)C（8，a）在直線AB上，則a＝　　　?。? 答案：－3 解析：由kAB＝kBC得＝，解得a＝－3. 5. （必修2P80練習(xí)4改編）若直線l沿x軸的負(fù)方向平移2個(gè)單位，再沿y軸的正方向平移3個(gè)單位后，又回到原來的位置，則直線l的斜率為　　　?。? 答案：－ 解析：設(shè)直線上任一點(diǎn)為（x，y），平移后的點(diǎn)為（x－2，y＋3），利用斜率公式得直線l的斜率為－.
1. 直線傾斜角的定義 在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為α，那么α就叫做直線的傾斜角，并規(guī)定：與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0；直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π）Ｗ. 2. 直線斜率的定義 傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示，即k＝tan α.由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，傾斜角不同的直線其斜率也不同. 3. 過兩點(diǎn)的斜率公式 過兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線，當(dāng)x1≠x2時(shí)，斜率公式為k＝tan α＝，該公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)；當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90Ｗ.[備課札記]


,　　　　　　　　　1　直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系)
,　　　　　1)　如果三條直線l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，其中l(wèi)1：x－y＝0，l2：x＋2y＝0，l3：x＋3y＝0，則α1，α2，α3從小到大的排列順序?yàn)椤　　　　　。? 答案：α1＜α2＜α3 解析：由tan α1＝k1＝1>0，所以α1∈.tan α2＝k2＝－<0，所以α2∈，α2>α1.tan α3＝k3＝－<0， 所以α3∈，α3>α1，而－<－，正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以α3>α2. 綜上，α1<α2<α3.

變式訓(xùn)練 已知經(jīng)過兩點(diǎn)A（4，2y＋1），B（2，－3）的直線的傾斜角為，則y的值為　　　?。? 答案：－3 解析：由＝＝y(tǒng)＋2＝tan ，得y＋2＝－1，所以y＝－3.
,　　　　　　　　　2　求直線的傾斜角和斜率)
,　　　　　2)　已知兩點(diǎn)A（－1，－5），B（3，－2），直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求直線l的斜率. 解：設(shè)直線l的傾斜角為α，則直線AB的傾斜角為2α， 由題意可知tan 2α＝，∴ ＝. 整理得3tan2α＋8tan α－3＝0， 解得tan α＝或tan α＝－3. ∵ tan 2α＝>0， ∴ 0<2α<90，∴ 0<α<45，∴ tan α>0， 故直線l的斜率為.
變式訓(xùn)練
如圖，已知直線l1的傾斜角α1＝30，直線l1⊥l2，求直線l1，l2的斜率. 解：直線l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30＝. ∵ 直線l2的傾斜角α2＝90＋30＝120， ∴ 直線l2的斜率k2＝tan 120＝tan（180－60）＝－tan 60＝－.
,　　　　　　　　　3　求直線的傾斜角和斜率的取值范圍)
,　　　　　3)　已知兩點(diǎn)A（－3，4），B（3，2），過點(diǎn)P（1，0）的直線l與線段AB有公共點(diǎn). （1） 求直線l的斜率k的取值范圍； （2） 求直線l的傾斜角α的取值范圍. 解：如圖，
由題意可知，kPA＝＝－1，kPB＝＝1. （1） 要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是（－∞，－1]∪[1，＋∞）. （2） 由題意可知，直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間. 又PB的傾斜角是45，PA的傾斜角是135， 所以α的取值范圍是[45，135].
變式訓(xùn)練 若直線mx＋y＋1＝0與連結(jié)點(diǎn)A （－3，2），B （2，3）的線段相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解：直線的斜率為k＝－m，且直線經(jīng)過定點(diǎn)P（0，－1），因?yàn)橹本€PA，PB的斜率分別為－1，2，所以斜率k的取值范圍是（－∞，－1]∪[2，＋∞），即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－∞，－2]∪[1，＋∞）.
1. 已知A（－1，2），B（0，a），C（a，0）三點(diǎn)共線，則此三點(diǎn)所在直線的傾斜角α的大小是　　　?。? 答案：120 解析：若a＝0，則點(diǎn)B，C重合，不合題意.由A，B，C三點(diǎn)共線得kAB＝kBC，即＝，解得a＝1，所以B（0，）.此三點(diǎn)所在直線的斜率kAB＝＝－，即tan α＝－.又0≤α＜180，所以α＝120. 2. 直線xcos α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是　　　　　.　 答案：∪ 解析：由直線的方程可知其斜率k＝－∈.設(shè)直線的傾斜角為θ，則tan θ∈，且θ∈[0，π），所以θ∈∪. 3. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值. 解：如圖，
由于點(diǎn)（x，y）滿足關(guān)系式2x＋y＝8，且2≤x≤3可知，點(diǎn)P（x，y）在線段AB上移動(dòng)，并且A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可分別為A（2，4），B（3，2）. 由于的幾何意義是直線OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝， 所以的最大值為2，最小值為. 4. 已知直線kx＋y－k＝0與射線3x－4y＋5＝0（x≥－1）有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解：kx＋y－k＝0?k（x－1）＋y＝0，直線過定點(diǎn)（1，0）?由題意作圖可得：
由題意可看出： k∈∪.（或者由兩直線方程聯(lián)立，消去y得x＝≥－1，即≥0?k≥或k＜－）
1. 已知x軸上的點(diǎn)P與點(diǎn)Q（－，1）連線所成直線的傾斜角為30，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　Ｗ. 答案：（－2，0） 解析：設(shè)P（x，0），由題意得kPQ＝tan 30＝，即＝，解得x＝－2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，0）. 2. 如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則它們的大小關(guān)系為　　　?。?
答案：k1＜k3＜k2 解析：直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0，直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2. 3. 已知函數(shù)f（x）＝asin x－bcos x.若f＝f，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為　　　?。? 答案： 解析：由f＝f知，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對稱，所以f（0）＝f，所以－b＝a，所以直線ax－by＋c＝0的斜率為＝－1.設(shè)直線ax－by＋c＝0的傾斜角為α，則tan α＝－1，因?yàn)棣痢蔥0，π），所以α＝，即直線ax－by＋c＝0的傾斜角為. 4. 若直線l：y＝kx－與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是　　　　?。? 答案： 解析：如圖，直線l：y＝kx－過定點(diǎn)P（0，－）.又A（3，0），所以kPA＝＝，所以直線l的斜率范圍為，由于直線的傾斜角的取值范圍為[0，π），所以滿足條件的直線l的傾斜角的范圍是.

1. 求斜率要熟記斜率公式：k＝，該公式與兩點(diǎn)順序無關(guān)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)（x1≠x2）時(shí)，根據(jù)該公式可求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率.當(dāng)x1＝x2，y1≠y2時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90. 2. 要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，傾斜角與斜率的關(guān)系是k＝tan α（α≠90），其中α為傾斜角，因此求傾斜角的取值范圍通常需從斜率的范圍入手，而求斜率的范圍則常需考慮傾斜角的取值范圍，但都需要利用正切函數(shù)的性質(zhì)，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，注意直線傾斜角的范圍是[0，π），而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論.由正切函數(shù)圖象可以看出當(dāng)α∈時(shí)，斜率k∈[0，＋∞）；當(dāng)α＝時(shí)，斜率不存在；當(dāng)α∈時(shí)，斜率k∈（－∞，0）.  第2課時(shí)　直線的方程（對應(yīng)學(xué)生用書（文）123～124頁、（理）128～129頁）

掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式）的特點(diǎn)與適用范圍；能根據(jù)問題的具體條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角笾本€的方程；了解直線方程的斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系. ① 在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.② 掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.
1. （必修2P82練習(xí)1（1）～（4）改編）過點(diǎn)P（－2，0），且斜率為3的直線的方程是　　　　　?。? 答案：y＝3x＋6 解析：設(shè)所求直線方程為y＝3x＋b，由題意可知3（－2）＋b＝0，∴ b＝6，故y＝3x＋6. 2. （必修2P87練習(xí)4改編）如果ax＋by＋c＝0表示的直線是y軸，則系數(shù)a，b，c滿足條件　　　　　　　Ｗ. 答案：a≠0且b＝c＝0 解析：ax＋by＋c＝0表示的直線是y軸，即x＝0，∴ b＝c＝0，a≠0. 3. （必修2P87練習(xí)1改編）直線－＝1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為　　　?。? 答案：－1 解析：令x＝0，得y＝－4；令y＝0，得x＝3. 故直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為－4＋3＝－1. 4. （必修2P85練習(xí)4改編）下列說法中正確的是　　?。?（填序號） ① 經(jīng)過定點(diǎn)P0（x0，y0）的直線都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示； ② 經(jīng)過定點(diǎn)A（0，b）的直線都可以用方程y＝kx＋b表示； ③ 不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程＋＝1表示；
④ 經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示. 答案：④ 解析：對于①②，斜率有可能不存在，對于③，截距也有可能為0. 5. （必修2P85練習(xí)2（2）（3）改編）若一直線經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），且在y軸上的截距與直線2x＋y＋1＝0在y軸上的截距相等，則該直線的方程是　　　　　　Ｗ. 答案：3x－y－1＝0 解析：直線2x＋y＋1＝0在y軸上的截距為－1，由題意，所求直線過點(diǎn)（0，－1），又所求直線過點(diǎn)P（1，2），故由兩點(diǎn)式得直線方程為＝，即3x－y－1＝0.
1. 直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y－y1＝k（x－x1） 不含直線x＝x1 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 ＝ 不含直線x＝x1（x1＝x2）和直線y＝y(tǒng)1（y1＝y(tǒng)2） 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0（A，B不全為0） 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用 2. 過P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線方程 （1） 當(dāng)x1＝x2，且y1≠y2時(shí)，直線垂直于x軸，方程為x＝x1Ｗ.　 （2） 當(dāng)x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2時(shí)，直線垂直于y軸，方程為y＝y(tǒng)1Ｗ.　 （3） 當(dāng)x1＝x2＝0，且y1≠y2時(shí)，直線即為y軸，方程為x＝0Ｗ.　 （4） 當(dāng)x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2＝0時(shí)，直線即為x軸，方程為y＝0Ｗ.　 （5） 直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系如下表： α 0 （0，90） 90 （90，180） k 0 （0，＋∞） 不存在 （－∞，0） 3. 線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則 此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.


,　　　　　　　　　1　求直線方程)
,　　　　　1)　已知直線l過點(diǎn)P（5，2），分別求滿足下列條件的直線方程. （1） 直線l在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍； （2） 直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為. 解：（1） 當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率為，∴ 直線方程為y＝x，即2x－5y＝0； 當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為＋＝1，將x＝5，y＝2代入得a＝，∴ 直線方程為x＋2y－9＝0. 綜上，直線l的方程為2x－5y＝0或x＋2y－9＝0. （2） 顯然直線與坐標(biāo)軸不垂直. ∵ 直線l經(jīng)過點(diǎn)P（5，2），且能與坐標(biāo)軸圍成三角形，∴ 可設(shè)直線l的方程為y－2＝k（x－5）（k≠0），則直線在x軸上的截距為5－，在y軸上的截距為2－5k， 由題意，得|5－||2－5k|＝，即（5k－2）2＝5|k|. 當(dāng)k>0時(shí)，原方程可化為（5k－2）2＝5k，解得k＝或k＝； 當(dāng)k<0時(shí)，原方程可化為（5k－2）2＝－5k，此方程無實(shí)數(shù)解； 故直線l的方程為y－2＝（x－5）或y－2＝（x－5），即x－5y＋5＝0或4x－5y－10＝0.
變式訓(xùn)練 求過點(diǎn)（－3，4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12的直線方程. 解：由題設(shè)知截距不為0，設(shè)直線方程為＋＝1，又直線過點(diǎn)（－3，4），從而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
,　　　　　　　　　2　含參直線方程問題)
,　　　　　2)　已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0 （k∈R）. （1） 求證：直線l過定點(diǎn)； （2） 若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； （3） 若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程. （1） 證明：直線l的方程是k（x＋2）＋（1－y）＝0， 令解得 ∴ 無論k取何值，直線l總經(jīng)過定點(diǎn)（－2，1）. （2） 解：由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有解得k>0；當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，符合題意，故k≥0. （3） 解：由l的方程，得A，B（0，1＋2k）. 依題意得解得k>0. ∵ S＝OAOB＝|1＋2k|＝ ＝≥（22＋4）＝4， “＝”成立的條件是k>0且4k＝，即k＝， ∴ Smin＝4，此時(shí)l：x－2y＋4＝0.
變式訓(xùn)練 已知直線l的方程為（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0. （1） 求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2） 若直線l的斜率不存在，求實(shí)數(shù)m的值； （3） 若直線l在x軸上的截距為－3，求實(shí)數(shù)m的值； （4） 若直線l的傾斜角是45，求實(shí)數(shù)m的值. 解：（1） 當(dāng)x，y的系數(shù)不同時(shí)為零時(shí)，方程表示一條直線， 令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0解得m＝－1或m＝. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）. （2） 由（1）易知，當(dāng)m＝時(shí)，方程表示的直線的斜率不存在. （3） 依題意，有＝－3，所以3m2－4m－15＝0， 所以m＝3或m＝－，由（1）知所求m＝－. （4） 因?yàn)橹本€l的傾斜角是45，所以斜率為1. 由－＝1，解得m＝或m＝－1（舍去）. 所以當(dāng)直線l的傾斜角為45時(shí)，m＝.
,　　　　　　　　　3　直線方程的綜合應(yīng)用)
,　　　　　3)　為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪（如圖），另外△EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？
解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則E（30，0），F(xiàn)（0，20），
∴ 線段EF的方程為＋＝1（0≤x≤30）. 在線段EF上取點(diǎn)P（m，n）， 作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥CD于點(diǎn)R， 設(shè)矩形PQCR的面積為S， 則S＝PQPR＝（100－m）（80－n）. 又＋＝1（0≤m≤30），∴ n＝20. ∴ S＝（100－m） ＝－（m－5）2＋（0≤m≤30）. ∴ 當(dāng)m＝5時(shí)，S有最大值， ∴ 當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC，CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)距AD邊5 m時(shí)，草坪面積最大. 如圖，互相垂直的兩條道路l1，l2相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P與l1，l2的距離分別為2千米、3千米，過點(diǎn)P建一條直線道路AB，與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn). （1） 當(dāng)∠BAO＝45時(shí)，試求OA的長； （2） 若使△AOB的面積最小，試求OA，OB的長.
解：以l1為x軸，l2為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則O（0，0），P（3，2）. （1） 由∠BAO＝45知，OA＝OB，可設(shè)A（a，0），B（0，a）（a＞0）， 直線l的方程為＋＝1.∵ 直線l過點(diǎn)P（3，2）， ∴ ＋＝1?a＝5，即OA＝5千米. （2） 設(shè)A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）， 則直線l的方程為＋＝1. ∵ 直線l過點(diǎn)P（3，2），∴ ＋＝1，b＝（a＞3）.從而 S△ABO＝ab＝a＝，令a－3＝t，t＞0，則a2＝（t＋3）2＝t2＋6t＋9， 故有S△ABO＝＝t＋＋6（t＞0）. 設(shè)f（t）＝t＋＋6，可證f（t）在（0，3）上單調(diào)遞減，在（3，＋∞）上單調(diào)遞增， ∴ 當(dāng)t＝3時(shí)，f（t）min＝f（3）＝12， 此時(shí)a＝6，b＝4，直線l的方程為＋＝1， 即OA＝6千米，OB＝4千米.
1. 若直線（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y＝4m－1 在x軸上的截距為1，則實(shí)數(shù)m的值是　　　　Ｗ. 答案：2或－ 解析：令y＝0，則（2m2＋m－3）x＝4m－1， ∴ x＝＝1，∴ m＝2或－. 2. 若方程（a2－a－2）x＋（a2＋a－6）y＋a＋1＝0表示垂直于y軸的直線，則a為　　　?。? 答案：－1 解析：因?yàn)榉匠瘫硎敬怪庇趛軸的直線，所以a2－a－2＝0且a2＋a－6≠0，解得a＝－1. 3. 已知直線l過點(diǎn)M（1，1），且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)OA＋OB取得最小值時(shí)，直線l的方程是　　　　　?。? 答案：x＋y－2＝0 解析：設(shè)A（a，0），B（0，b）（a>0，b>0），直線l的方程為＋＝1，已知直線l過點(diǎn)M（1，1），則OA＋OB＝a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號，此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0. 4. 已知直線l過點(diǎn)（0，5），且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，則直線l的方程為　　　?。? 答案：5x－3y＋15＝0 解析：∵ 直線過點(diǎn)（0，5），∴ 直線在y軸上的截距為5. ∵ 在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2， ∴ 直線在x軸上的截距為－3. ∴ 直線l的方程為＋＝1，即5x－3y＋15＝0. 5. 已知在△ABC中，A（1，－4），B（6，6），C（－2，0）. 求（1） △ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程； （2） BC邊的中線所在直線的一般式方程和截距式方程. 解：（1） 平行于BC邊的中位線就是AB，AC中點(diǎn)的連線.因?yàn)榫€段AB，AC中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以這條直線的方程為＝，整理得6x－8y－13＝0， 化為截距式方程為－＝1. （2） 因?yàn)锽C邊上的中點(diǎn)為（2，3），所以BC邊上的中線所在直線的方程為＝，即7x－y－11＝0，化為截距式方程為－＝1.
1. 若方程（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y－4m＋1＝0表示一條直線，則實(shí)數(shù)m滿足條件　　　　Ｗ. 答案：m≠1 解析：2m2＋m－3，m2－m不能同時(shí)為0. 2. 若直線（2t－3）x＋2y＋t＝0不經(jīng)過第二象限，則t的取值范圍是　　　?。? 答案： 解析：直線方程可化為y＝x－，由題意得解得0≤t≤. 3. 不論m取何值，直線（m－1）x－y＋2m＋1＝0恒過定點(diǎn)　　　　. 答案：（－2，3） 解析：把直線方程（m－1）x－y＋2m＋1＝0， 整理得（x＋2）m－（x＋y－1）＝0， 則解得 4. 已知直線x＋2y＝2與x軸、y軸分別相交于A，B兩點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在線段AB上，則ab的最大值為　　　?。?　 答案： 解析：由題意知A（2，0），B（0，1），所以線段AB的方程可表示為＋y＝1，x∈[0，2].又動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在線段AB上，所以＋b＝1，a∈[0，2].又＋b≥2，所以1≥2，解得0≤ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)＝b＝，即P時(shí)，ab取得最大值. 5. 已知兩直線a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交點(diǎn)為P（2，3），求過兩點(diǎn)Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直線方程. 解：由題意，知P（2，3）在已知直線上， ∴ ∴ 2（a1－a2）＋3（b1－b2）＝0，即＝－， ∴ 所求直線方程為y－b1＝－（x－a1）， ∴ 2x＋3y－（2a1＋3b1）＝0，即2x＋3y＋1＝0.
1. 在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件.用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線.故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；而選用兩點(diǎn)式時(shí)不要忽視與坐標(biāo)軸垂直的情況. 2. 解決直線方程的綜合問題時(shí)，除靈活選擇方程的形式外，還要注意題目中的隱含條件，若與最值或范圍相關(guān)的問題可考慮構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值.[備課札記]  第3課時(shí)　直線與直線的位置關(guān)系（對應(yīng)學(xué)生用書（文）125～126頁、（理）130～131頁）

能熟練掌握兩條直線平行和垂直的條件并靈活運(yùn)用，把研究兩條直線的平行或垂直問題，轉(zhuǎn)化為研究兩條直線斜率的關(guān)系問題；能判斷兩條直線是否相交并求出交點(diǎn)坐標(biāo)，體會(huì)兩條直線相交與二元一次方程組的關(guān)系；理解兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)，并能應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式證明幾何問題；點(diǎn)到直線距離公式的理解與應(yīng)用. 1 能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直. ② 能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo). ③ 掌握兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.
1. （原創(chuàng)）“a＝3”是“直線ax＋3y＝1與直線x＋y＝1平行”的　　　　　條件. 答案：充要 解析：若a＝3，直線ax＋3y＝1與直線x＋y＝1顯然平行；若直線ax＋3y＝1與直線x＋y＝1平行，由＝ ≠ ，易得a＝3. 2. （必修2P93練習(xí)6改編）過點(diǎn)P（－1，3）且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為　　　　　　?。? 答案：2x＋y－1＝0 解析：設(shè)直線方程為2x＋y＋c＝0，又直線過點(diǎn)P（－1，3），則－2＋3＋c＝0，c＝－1，即所求直線方程為2x＋y－1＝0. 3. （必修2P95練習(xí)3改編）若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一點(diǎn)，則k＝　　　?。? 答案：－ 解析：由解得 ∴ 點(diǎn)（－1，－2）在x＋ky＝0上， 即－1－2k＝0，∴ k＝－. 4. （必修2P105練習(xí)1改編）已知點(diǎn)（a，2）（a＞0）到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝　　　?。? 答案：－1 解析：由題意知＝1，∴ |a＋1|＝.又∵ a＞0，∴ a＝－1. 5. （必修2P106習(xí)題10改編）與直線7x＋24y＝5平行，并且距離等于3的直線方程是　　　　　　　　　　Ｗ. 答案：7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0 解析：設(shè)直線方程為7x＋24y＋c＝0，則d＝＝3，∴ c＝70或－80.
1. 兩條直線的位置關(guān)系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0（A＋B≠0） A2x＋B2y＋C2＝0（A＋B≠0） 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0（當(dāng)A2B2≠0時(shí)，≠） 垂直 k1＝－或k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0（當(dāng)B1B2≠0時(shí)，＝－1） 平行 k1＝k2且b1≠b2 或（當(dāng)A2B2C2≠0時(shí)，記為＝≠） 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2（λ≠0）（當(dāng)A2B2C2≠0時(shí)，記為＝＝） 2. 兩條直線的交點(diǎn) 設(shè)兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.若方程組有惟一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)坐標(biāo)Ｗ.若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；反之，亦成立.若方程組有無數(shù)組解，則兩條直線重合Ｗ. 3. 幾種距離 （1） 兩點(diǎn)間的距離： 平面上的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）間的距離公式： d（A，B）＝AB＝. （2） 點(diǎn)到直線的距離： 點(diǎn)P（x1，y1）到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝. （3） 兩條平行線間的距離： 兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝. 4. 常見的三大直線系方程 （1） 與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）. （2） 與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0（m∈R）. （3） 過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2. 5. 中心對稱 （1） 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱：若點(diǎn)M（x1，y1）與N（x，y）關(guān)于P（a，b）對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解. （2） 直線關(guān)于點(diǎn)對稱問題的主要解法：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對稱點(diǎn)，再利用l1∥l2，由點(diǎn)斜式得到所求的直線方程. 6. 軸對稱 （1） 點(diǎn)關(guān)于直線的對稱 若兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對稱軸l上，且連結(jié)P1P2的直線垂直于對稱軸l， 由方程組 可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)（x2，y2）（其中A≠0，x1≠x2）. 特別地，若直線l：Ax＋By＋C＝0滿足|A|＝|B|，則P1（x1，y1）與P2（x2，y2）坐標(biāo)關(guān)系為 （2） 直線關(guān)于直線的對稱 此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行. [備課札記]


,　　　　　　　　　1　兩直線的平行與垂直)
,　　　　　1)　已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：（a－1）x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值： （1） l1⊥l2，且直線l1過點(diǎn)（－3，－1）； （2） l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等. 解：（1） ∵ l1⊥l2，∴ a（a－1）－b＝0. ∵ 直線l1過點(diǎn)（－3，－1）， ∴ －3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2. （2） ∵ 直線l2的斜率存在，l1∥l2， ∴ 直線l1的斜率存在.∴ k1＝k2，即＝1－a. ∵ 坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等， ∴ l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b. 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
變式訓(xùn)練 已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（3，a），B（a－1，2），直線l2經(jīng)過點(diǎn)C（1，2），D（－2，a＋2），分別在下列條件下求a的值： （1） l1∥l2； （2） l1⊥l2. 解：設(shè)直線l2的斜率為k2，則k2＝＝－. （1） 若l1∥l2，則直線l1的斜率k1＝－. 又k1＝，則＝－，解得a＝1或a＝6. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝1或a＝6時(shí)，l1∥l2. （2） 若l1⊥l2. ① 當(dāng)k2＝0時(shí)，此時(shí)a＝0，k1＝－，不符合題意. ② 當(dāng)k2≠0時(shí)，直線l2的斜率存在，此時(shí)k1＝. 由k2k1＝－1，得－＝－1，解得a＝3或a＝－4. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝3或a＝－4時(shí)，l1⊥l2.
,　　　　　　　　　2　兩直線的交點(diǎn))
,　　　　　2)　已知△ABC的頂點(diǎn)B（3，4），AB邊上的高CE所在直線方程為2x＋3y－16＝0，BC邊上的中線AD所在直線方程為2x－3y＋1＝0，求AC的長. 解：∵ kCE＝ －，AB⊥CE， ∴ kAB＝， ∴ 直線AB的方程為3x－2y－1＝0. 由解得A（1，1）， 設(shè)C（a，b）， 則D， ∵ C點(diǎn)在CE上，BC的中點(diǎn)D在AD上， ∴ 得C（5，2）， 由兩點(diǎn)間距離公式得AC的長為.
變式訓(xùn)練 已知△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程. 解：依題意知：kAC＝－2，A（5，1），∴ lAC：2x＋y－11＝0. 聯(lián)立lAC，lCM得∴ C（4，3）. 設(shè)B（x0，y0），則AB的中點(diǎn)M為， 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0， ∴ ∴ B（－1，－3）， ∴ kBC＝， ∴ 直線BC的方程為y－3＝（x－4）， 即6x－5y－9＝0.
,　　　　　　　　　3　點(diǎn)到直線及兩平行直線之間的距離)
,　　　　　3)　已知點(diǎn)P（2，－1）. （1） 求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程； （2） 求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？ （3） 是否存在過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由. 解：（1） 過P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－1）， 可見，過P（2，－1）且垂直于x軸的直線滿足條件. 此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2. 若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k（x－2）， 即kx－y－2k－1＝0. 由已知，得＝2，解得k＝. 此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0. 綜上，直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0. （2） 過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過P點(diǎn)且與OP垂直的直線， 由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2. 由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2（x－2）， 即2x－y－5＝0. 即直線2x－y－5＝0是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為＝. （3） 不存在.理由：由（2）可知，過P點(diǎn)不存在到原點(diǎn)距離大于的直線，因此不存在過P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線. 已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－2y＝0的交點(diǎn). （1） 若點(diǎn)A（5，0）到l的距離為3，求直線l的方程； （2） 求點(diǎn)A（5，0）到直線l的距離的最大值. 解：（1） 由直線l經(jīng)過直線l1與l2交點(diǎn)知，其直線系方程為（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0. ∵ 點(diǎn)A（5，0）到直線l的距離為3， ∴ ＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，∴ λ＝2或λ＝， ∴ 直線l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0. （2） 設(shè)直線l1與l2的交為P，由解得P（2，1），如圖，過點(diǎn)P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離， 則d≤PA（當(dāng)l⊥PA時(shí)等號成立）. ∴ dmax＝PA＝＝.

,　　　　　　　　　4　對稱問題)
,　　　　　4)　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A（－1，－2）.求： （1） 點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)； （2） 直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程； （3） 直線l關(guān)于點(diǎn)A（－1，－2）對稱的直線l′的方程. 解：（1） 設(shè)A′（x，y），由已知得 解得 ∴ A′. （2） 在直線m上任取一點(diǎn)，如M（2，0），則M（2，0）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)必在m′上.設(shè)對稱點(diǎn)為M′（a，b）， 則 解得M′. 設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由解得N（4，3）. ∵ m′經(jīng)過點(diǎn)N（4，3）， ∴ 由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0. （3） 設(shè)P（x，y）為l′上任意一點(diǎn)，則P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（－1，－2）的對稱點(diǎn)為P′（－2－x，－4－y）. ∵ P′在直線l上，∴ 2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0. 光線通過點(diǎn)A（2，3），在直線l：x＋y＋1＝0上反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)B（1，1），試求入射光線和反射光線所在直線的方程. 解：設(shè)點(diǎn)A（2，3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A′（x0，y0）， 則解得A′（－4，－3）. 由于反射光線經(jīng)過點(diǎn)A′（－4，－3）和B（1，1）， 所以反射光線所在直線的方程為＝，即4x－5y＋1＝0. 解方程組得反射點(diǎn)P. 所以入射光線所在直線的方程為＝，即5x－4y＋2＝0.
1. （2016上海卷文）已知平行直線l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，則l1，l2的距離為　　　　?。? 答案： 解析：利用兩平行線間距離公式得d＝＝. 2. 將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)（0，2）與點(diǎn)（4，0）重合，且點(diǎn)（7，3）與點(diǎn)（m，n）重合，則m＋n的值是　　　?。? 答案： 解析：點(diǎn)（0，2）與點(diǎn)（4，0）關(guān)于y－1＝2（x－2）對稱，則點(diǎn)（7，3）與點(diǎn)（m，n）也關(guān)于y－1＝2（x－2）對稱，則 解得∴ m＋n＝. 3. 已知l1，l2是分別經(jīng)過A（1，1），B（0，－1）兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是　　　　. 答案：x＋2y－3＝0 解析：當(dāng)直線AB與l1，l2垂直時(shí)，l1，l2間的距離最大.因?yàn)锳（1，1），B（0，－1），所以kAB＝＝2，所以兩平行直線的斜率為k＝－，所以直線l1的方程是y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0. 4. 在平面直角坐標(biāo)系中，到點(diǎn)A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，－1）的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是　　　?。? 答案：（2，4） 解析：設(shè)P為平面上一點(diǎn)，則由三角形兩邊之和大于第三邊知PA＋PC≥AC，PB＋PD≥BD，所以四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)到四點(diǎn)距離之和最小，直線AC的方程為y－2＝2（x－1），直線BD的方程為y－5＝－（x－1），由得交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）. 5. △ABC的兩條高所在直線的方程分別為2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），求BC邊所在直線的方程. 解：可以判斷A不在所給的兩條高所在的直線上，則可設(shè)AB，AC邊上的高所在直線的方程分別為2x－3y＋1＝0，x＋y＝0， 則可求得AB，AC邊所在直線的方程分別為 y－2＝－（x－1），y－2＝x－1， 即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0. 由得B（7，－7）， 由得C（－2，－1）， 所以BC邊所在直線的方程為2x＋3y＋7＝0.
1. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：（2k－1）x＋ky＋1＝0，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為　　　?。? 答案： 解析：直線l過定點(diǎn)P（1，－2），原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值即為OP＝＝. 2. 若過點(diǎn)P（1，2）作一直線l，使點(diǎn)M（2，3）和點(diǎn)N（4，－1）到直線l的距離相等，則直線l的方程為　　　　　　Ｗ. 答案：2x＋y－4＝0或x＋2y－5＝0 解析：當(dāng)直線l經(jīng)過MN的中點(diǎn)時(shí)，其方程為x＋2y－5＝0；當(dāng)過M，N兩點(diǎn)的直線平行于直線l時(shí)，直線l的方程為2x＋y－4＝0. 3. 已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－x＋2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　　　　　?。? 答案： 解析：由方程組解得 （若2k＋1＝0，即k＝－，則兩直線平行） ∴ 交點(diǎn)坐標(biāo)為. ∵ 交點(diǎn)位于第一象限， ∴ 解得－＜k＜. ∴ 實(shí)數(shù)k的取值范圍是. 4. 已知直線l1：2x－y－2＝0和直線l2：x＋2y－1＝0關(guān)于直線l對稱，則直線l的斜率為　　　　Ｗ. 答案：－3或 解析：（解法1）在直線l上任取一點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離相等.＝，整理得，直線l的方程為3x＋y－3＝0或x－3y－1＝0，所以直線l的斜率為－3或. （解法2）設(shè)l1的傾斜角為α.因?yàn)閘1⊥l2，所以l的傾斜角為α， 所以直線l的斜率為tan. 因?yàn)閠an α＝2，所以tan＝＝－3，tan＝＝， 所以直線l的斜率為－3或.
1. 在兩條直線的位置關(guān)系中，討論最多的還是平行與垂直，它們是兩條直線的特殊位置關(guān)系.解題時(shí)認(rèn)真畫出圖形，有助于快速準(zhǔn)確地解決問題.判斷兩直線平行與垂直時(shí)，不要忘記考慮斜率不存在的情形，利用一般式則可避免分類討論. 2. 運(yùn)用公式d＝求兩平行直線間的距離時(shí)，一定要把x，y項(xiàng)系數(shù)化為相等的系數(shù). 3. 對稱思想是高考熱點(diǎn)，主要分為中心對稱和軸對稱兩種，關(guān)鍵要把握對稱問題的本質(zhì)，必要情況下可與函數(shù)的對稱軸建立聯(lián)系.[備課札記]  第4課時(shí)　圓 的 方 程（對應(yīng)學(xué)生用書（文）127～128頁、（理）132～133頁）

了解確定圓的幾何要素（圓心、半徑、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)等）；掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程. 　　能根據(jù)問題的條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角髨A的方程；理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的關(guān)系并會(huì)進(jìn)行互化.
1. （必修2P111練習(xí)4改編）圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是　　　?。? 答案：（2，－3） 解析：由（x－2）2＋（y＋3）2＝13知，圓心坐標(biāo)為（2，－3）. 2. （必修2P111習(xí)題7改編）已知圓C經(jīng)過A（5，1），B（1，3）兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　Ｗ. 答案：（x－2）2＋y2＝10 解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0），易知＝，解得a＝2，∴ 圓心為（2，0），半徑為，∴ 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－2）2＋y2＝10. 3. （必修2P111練習(xí)6改編）經(jīng)過三點(diǎn)A（1，－1），B（1，4），C（4，－2）的圓的一般方程為　　　　　　Ｗ. 答案：x2＋y2－7x－3y＋2＝0 解析：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.將A，B，C三點(diǎn)代入，整理得方程組 解得 ∴ 所求圓的一般方程為x2＋y2－7x－3y＋2＝0. 4. 已知點(diǎn)P（1，1）在圓x2＋y2－ax＋2ay－4＝0的內(nèi)部，則a的取值范圍是　　　?。? 答案：（－∞，2） 解析：由圓的一般方程知a∈R，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓內(nèi)，所以1＋1－a＋2a－4<0，解得a<2. 5. （原創(chuàng)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋（y＋3）2＝4，則（x－3）2＋（y－1）2的最大值為　　　　Ｗ. 答案：49 解析：（x－3）2＋（y－1）2表示圓x2＋（y＋3）2＝4上一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（3，1）的距離d的平方，因?yàn)閳A心（0，－3）到點(diǎn)（3，1）的距離為5，所以d的最大值為5＋2＝7，所以d2的最大值為49.
1. 圓的定義 在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓.確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑Ｗ. 2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （1） 以（a，b）為圓心，r （r>0）為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2Ｗ. （2） 特殊的，x2＋y2＝r2（r>0）的圓心為（0，0），半徑為rＷ. 3. 圓的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0變形為 ＋＝. （1） 當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，該方程表示以為圓心，為半徑的圓； （2） 當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，該方程表示一個(gè)點(diǎn)； （3） 當(dāng)D2＋E2－4F＜0時(shí)，該方程不表示任何圖形. 4. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M（x0，y0）與圓（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置關(guān)系： （1） 若M（x0，y0）在圓外，則（x0－a）2＋（y0－b）2>r2Ｗ. （2） 若M（x0，y0）在圓上，則（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2Ｗ. （3） 若M（x0，y0）在圓內(nèi)，則（x0－a）2＋（y0－b）2<r2Ｗ. [備課札記]

　　　　　　　1　確定圓的方程)
　　　　1)　求經(jīng)過點(diǎn)A（－2，－4），且與直線l：x＋3y－26＝0相切于點(diǎn)B（8，6）的圓的方程. 解：（解法1）設(shè)圓心為C， 所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則圓心C，∴ kCB＝. ∵ 圓C與直線l相切，∴ kCBkl＝－1，即＝－1?、? 又有（－2）2＋（－4）2－2D－4E＋F＝0?、冢? 又82＋62＋8D＋6E＋F＝0?、? 聯(lián)立①②③，可得D＝－11，E＝3，F(xiàn)＝－30， ∴ 所求圓的方程為x2＋y2－11x＋3y－30＝0. （解法2）設(shè)圓的圓心為C，則CB⊥l， 可得CB所在直線的方程為y－6＝3（x－8），即3x－y－18＝0　①. 由A（－2，－4），B（8，6），得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）. 又kAB＝＝1， ∴ AB的垂直平分線的方程為y－1＝－（x－3）， 即x＋y－4＝0?、? 由①②聯(lián)立，解得 即圓心坐標(biāo)為. ∴ 所求圓的半徑r＝＝， ∴ 所求圓的方程為＋＝.
變式訓(xùn)練 圓經(jīng)過點(diǎn)A（2，－3）和B（－2，－5）. （1） 若圓的面積最小，求圓的方程； （2） 若圓心在直線x－2y－3＝0上，求圓的方程. 解：（1） 要使圓的面積最小，則AB為圓的直徑， 圓心C（0，－4），半徑r＝AB＝， 所以所求圓的方程為x2＋（y＋4）2＝5. （2） 因?yàn)閗AB＝，AB中點(diǎn)為（0，－4）， 所以AB中垂線方程為y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0， 解方程組得 所以圓心為（－1，－2）. 根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑r＝， 因此，所求的圓的方程為（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 已知一圓的圓心在原點(diǎn)，且圓周被直線3x＋4y＋15＝0分成1∶2兩部分，求圓的方程. 解：如圖，因?yàn)閳A周被直線3x＋4y＋15＝0分成1∶2兩部分，所以∠AOB＝120，
而圓心O（0，0）到直線3x＋4y＋15＝0的距離d＝＝3， 在△AOB中，可求得OA＝6， 所以所求圓的方程為x2＋y2＝36.
,　　　　　　　　　2　與參數(shù)有關(guān)的圓方程問題)
,　　　　　2)　已知圓C的方程x2＋y2－2ax＋2y＋a＋1＝0. （1） 若圓C上任意點(diǎn)A關(guān)于l：x＋2y－5＝0的對稱點(diǎn)也在圓上，求實(shí)數(shù)a的值； （2） 求圓心C到直線ax＋y－a2＝0的距離的取值范圍. 解：（1） 將圓C的方程配方得（x－a）2＋（y＋1）2＝a2－a. 由題意知圓心C（a，－1）在直線l：x＋2y－5＝0上，即a－2－5＝0，所以a＝7. （2） 由圓方程可知， a2－a＞0，解得a＞1或a＜0. 由方程得圓心C （a，－1）到直線ax＋y－a2＝0的距離 d＝＝. 因?yàn)閍＞1或a＜0，所以＞1，所以0＜d＜1，所以所求距離的取值范圍為（0，1）.
變式訓(xùn)練 已知圓C：（x－a）2＋（y－b）2＝1，設(shè)平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為　　　?。? 答案：37 解析：作出可行域，如圖，
由題意知，圓心為C（a，b），半徑r＝1，且圓C與x軸相切，所以b＝1.而直線y＝1與可行域邊界的交點(diǎn)為A（6，1），B（－2，1），目標(biāo)函數(shù)z＝a2＋b2表示點(diǎn)C到原點(diǎn)距離的平方，所以當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，z取到最大值，zmax＝37. 設(shè)△ABC頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，a），B（－，0），C（，0），其中a>0，圓M為△ABC的外接圓. （1） 求圓M的方程； （2） 當(dāng)a變化時(shí)，圓M是否過某一定點(diǎn)，請說明理由. 解：（1） 設(shè)圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵ 圓M過點(diǎn)A（0，a），B（－，0），C（，0） ∴ 解得 ∴ 圓M的方程為x2＋y2＋（3－a）y－3a＝0. （2） 圓M的方程可化為（3＋y）a－（x2＋y2＋3y）＝0. 由解得 ∴ 圓M過定點(diǎn)（0，－3）.
,　　　　　　　　　3　圓方程的應(yīng)用)
,　　　　　3)　如圖，某市有一條東西走向的公路l，現(xiàn)欲經(jīng)過公路l上的O處鋪設(shè)一條南北走向的公路m.在施工過程中發(fā)現(xiàn)在O處的正北1百米的A處有一漢代古跡.為了保護(hù)古跡，該市決定以A為圓心，1百米為半徑設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).為了連通公路l，m，欲再新建一條公路PQ，點(diǎn)P，Q分別在公路l，m上（點(diǎn)P，Q分別在點(diǎn)O的正東，正北方向上），且要求PQ與圓A相切. （1） 當(dāng)點(diǎn)P距O處2百米時(shí)，求OQ的長； （2） 當(dāng)公路PQ長最短時(shí)，求OQ的長.
解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，直線l，m分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)PQ與圓A相切于點(diǎn)B，連結(jié)AB，以1百米為單位長度，則圓A的方程為x2＋（y－1）2＝1.
（1） 由題意可設(shè)Q（0，q），則直線PQ的方程為＋＝1，即qx＋2y－2q＝0（q>2）. ∵ PQ與圓A相切， ∴ ＝1，解得q＝，故當(dāng)P距O處2百米時(shí)，OQ的長為百米. 答：當(dāng)P距O處2百米時(shí)，OQ的長為百米. （2） 設(shè)P（p，0），則直線PQ的方程為＋＝1，即qx＋py－pq＝0（p>1，q>2）. ∵ PQ與圓A相切，∴ ＝1，化簡得p2＝，則PQ2＝p2＋q2＝＋q2. 令f（q）＝＋q2（q>2）， ∴ f′（q）＝2q－＝（q>2）. 當(dāng)2<q<時(shí)，f′（q）<0，即f（q）在上單調(diào)遞減； 當(dāng)q>時(shí)，f′（q）>0，即f（q）在上單調(diào)遞增， ∴ f（q）在q＝時(shí)取得最小值，故當(dāng)公路PQ長最短時(shí)，OQ的長為百米. 答：當(dāng)公路PQ長最短時(shí)， OQ的長為百米.
變式訓(xùn)練 有一種大型商品，A，B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購得商品后，運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍.已知A，B兩地相距10 km，顧客選A或B地購買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低.求A，B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購貨地點(diǎn). 解：如圖，以A，B所確定的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（－5，0），B（5，0）.
設(shè)某地P的坐標(biāo)為（x，y），且P地居民選擇A地購買商品便宜， 并設(shè)A地運(yùn)費(fèi)為3a元/km，B地運(yùn)費(fèi)為a元/km， 價(jià)格＋QA地運(yùn)費(fèi)≤價(jià)格＋QB地運(yùn)費(fèi)， ∴ 3a≤a. ∵ a>0，∴ 3≤， 兩邊平方得9（x＋5）2＋9y2≤（x－5）2＋y2