高考數(shù)學(xué)三輪押題沖刺 基礎(chǔ)知識(shí)最后一輪拿分測(cè)驗(yàn) 空間中的垂直關(guān)系

空間中的垂直關(guān)系【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1掌握直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明和解決有關(guān)問(wèn)題。2線(xiàn)面垂直是線(xiàn)線(xiàn)垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)互相轉(zhuǎn)化，善于利用轉(zhuǎn)化思想。【基礎(chǔ)練習(xí)】1“直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)”是“”的 必要 條件。2如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是 平行或相交 。3已知是兩個(gè)平面，直線(xiàn)若以，中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是 2 個(gè)。4在正方體中，與正方體的一條對(duì)角線(xiàn)垂直的面對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是 6 。5兩個(gè)平面互相垂直，一條直線(xiàn)和其中一個(gè)平面平行，則這條直線(xiàn)和另一個(gè)平面的位置關(guān)系是 平行、相交或在另一個(gè)平面內(nèi) 。6在正方體中，寫(xiě)出過(guò)頂點(diǎn)A的一個(gè)平面_AB1D1_，使該平面與正方體的12條棱所在的直線(xiàn)所成的角均相等(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可，不必考慮所有可能的情況)?！痉独龑?dǎo)析】例1如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EFPB交PB于點(diǎn)F.（1）證明PA/平面EDB； （2）證明PB平面EFD；解析：本小題考查直線(xiàn)與平面平行,直線(xiàn)與平面垂直基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證能力. 證明：（1）連結(jié)AC,AC交BD于O,連結(jié)EO. 底面ABCD是正方形,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn) 在中,EO是中位線(xiàn),PA / EO 而平面EDB且平面EDB, 所以,PA / 平面EDB（2）PD底面ABCD且底面ABCD,PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線(xiàn),. 同樣由PD底面ABCD,得PDBC.底面ABCD是正方形,有DCBC,BC平面PDC.而平面PDC,. 由和推得平面PBC. 而平面PBC,又且,所以PB平面EFD.例2如圖，ABC 為正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中點(diǎn)，求證：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA。分析：（1）證明DE DA ，可以通過(guò)圖形分割，證明DEF DBA。（2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線(xiàn)垂直于另一平面。由（1）知DM EA ，取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM 平面ECA。證明：（1）如圖，取EC 中點(diǎn)F ，連結(jié)DF。 EC 平面ABC ，BD CE ，得DB 平面ABC 。 DB AB ，EC BC。 BD CE ，BD CE FC ，則四邊形FCBD 是矩形，DF EC。又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA。（2）取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ， M 是EA 的中點(diǎn)， MN EC。由BD EC ，且BD 平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM MN。 DE DA ，M 是EA 的中點(diǎn)， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA 平面BDM。（3） DM 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA。點(diǎn)評(píng)：面面垂直的問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直的問(wèn)題解決。例3如圖，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90°，AA1 ，D 是A1B1 中點(diǎn)（1） 求證C1D 平面A1B ；（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1 平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線(xiàn)A1B1 ，由直線(xiàn)與平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B。（2）由（1）得C1D AB1 ，只要過(guò)D 作AB1 的垂線(xiàn)，它與BB1 的交點(diǎn)即為所求的F 點(diǎn)位置。證明：（1）如圖， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90°。又 D 是A1B1 的中點(diǎn)， C1D A1B1 。 AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延長(zhǎng)DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，則AB1 平面C1DF ，點(diǎn)F 即為所求。 C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF 。點(diǎn)評(píng)：本題（1）的證明中，證得C1D A1B1 后，由ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 平面AA1B1B ，立得C1D 平面AA1B1B。（2）是開(kāi)放性探索問(wèn)題，注意采用逆向思維的方法分析問(wèn)題。備用題如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，求證：（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積變式題如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，以為折痕將向上折起，使為，且平面平面求證：；解：在中，在中，平面平面，且交線(xiàn)為，平面平面，【反饋演練】1下列命題中錯(cuò)誤的是（3） 。（1）若一直線(xiàn)垂直于一平面，則此直線(xiàn)必垂直于這一平面內(nèi)所有直線(xiàn)（2）若一平面經(jīng)過(guò)另一平面的垂線(xiàn)，則兩個(gè)平面互相垂直（3）若一條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，則此直線(xiàn)垂直于這一平面（4）若平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和這一平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，則它也和這條斜線(xiàn)垂直2設(shè)是空間的不同直線(xiàn)或不同平面，且直線(xiàn)不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若，且”為真命題的是 （填所有正確條件的代號(hào)）x為直線(xiàn)，y，z為平面x，y，z為平面x，y為直線(xiàn)，z為平面x，y為平面，z為直線(xiàn)x，y，z為直線(xiàn)3二面角a的平面角為120°，在面內(nèi)，ABa于B，AB=2在平面內(nèi)，CDa 于D，CD=3，BD=1，M是棱a上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+CM的最小值為 。 4已知三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的射影是三角形的內(nèi)心，關(guān)于這個(gè)三棱錐有三個(gè)命題：側(cè)棱；側(cè)棱兩兩垂直；各側(cè)面與底面所成的二面角相等。其中錯(cuò)誤的是 。 5在三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形最多可以有_4_個(gè)。6若的中點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面 的距離為_(kāi)2或14_。7三棱錐中，側(cè)棱兩兩垂直，底面內(nèi)一點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離分別是，那么_7_。8在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a， 那么這個(gè)球面的表面積是 . 9命題A：底面為正三角形，且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。命題A的等價(jià)命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等）10、是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同直線(xiàn).給出四個(gè)論斷：mn n m 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： 。答案：m，n，mn或mn，m，n11已知三棱錐PABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DEAP于E（1）求證：AP平面BDE； （2）求證：平面BDE平面BDF；（3）若AEEP=12，求截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分的體積比解: (1）PC底面ABC，BD平面ABC，PCBD由AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，得BDAC又PCAC=C，BD平面PAC 又PA平面、PAC，BDPA由已知DEPA，DEBD=D，AP平面BDE （2）由BD平面PAC，DE平面PAC，得BDDE由D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，得DF/AP由已知，DEAP，DEDF. BDDF=D，DE平面BDF又DE平面BDE，平面BDE平面BDF （3）設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A到平面PBC的距離分別為h1和h2則 h1h2=EPAP=23, 故截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分體積的比為12或21點(diǎn)評(píng)：值得注意的是, “截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分的體積比”并沒(méi)有說(shuō)明先后順序, 因而最終的比值答案一般應(yīng)為兩個(gè),不要犯這種“會(huì)而不全”的錯(cuò)誤.12在直角梯形ABCD中，A=D=90°，ABCD，SD平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在線(xiàn)段SA上取一點(diǎn)E（不含端點(diǎn)）使EC=AC，截面CDE與SB交于點(diǎn)F。（1）求證：四邊形EFCD為直角梯形；（2）設(shè)SB的中點(diǎn)為M，當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，能使DMC為直角三角形？請(qǐng)給出證明.解：（1）CDAB，AB平面SAB CD平面SAB面EFCD面SAB=EF，CDEF 又面 平面SAD，又 為直角梯形 (2)當(dāng)時(shí)，為直角三角形 . ,平面平面.在中，為SB中點(diǎn)，.平面平面 為直角三角形。