（浙江專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 課時19 4.4 簡單的三角恒等變換夯基提能作業(yè).docx

4.4　簡單的三角恒等變換 A組　基礎(chǔ)題組 1.1-tan275tan75的值為(　　) A.23 B.233 C.-23 D.-233 答案　C　原式=2tan150=-23. 2.若cos 2θ=13,則sin4θ+cos4θ的值為(　　) A.1318 B.1118 C.59 D.1 答案　C　 ∵cos 2θ=13,∴sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ=1-12(1-cos22θ)=1-121-19=59. 3.已知tanθ2=23,則1-cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ的值為(　　) A.23 B.-23 C.32 D.-32 答案　A　∵tanθ2=23, ∴1-cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ=2sin2θ2+2sinθ2cosθ22cos2θ2+2sinθ2cosθ2=tanθ2=23. 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 4.函數(shù)f(x)=2cos xsinx-π3的最大值為(　　) A.1-32 B.1+32 C.12 D.2 答案　A　∵f(x)=2cos x12sinx-32cosx=12sin 2x-32(1+cos 2x)=sin2x-π3-32,∴f(x)max=1-32. 5.(2019溫州中學月考)若cos(α+β)cos(α-β)=13,則cos2α-sin2β=(　　) A.-23 B.-13 C.13 D.23 答案　C　∵cos(α+β)cos(α-β)=13, ∴cos2αcos2β-sin2αsin2β=13, ∴cos2α(1-sin2β)-(1-cos2α)sin2β=cos2α-cos2αsin2β-sin2β+cos2αsin2β=cos2α-sin2β=13. 6.4sin 80-cos10sin10等于(　　) A.3 B.-3 C.2 D.22-3 答案　B　4sin 80-cos10sin10=4sin80sin10-cos10sin10 =2sin20-cos10sin10=2sin(30-10)-cos10sin10 =2sin30cos10-2cos30sin10-cos10sin10 =-3sin10sin10=-3.故選B. 7.(2018溫州中學高三模擬)已知向量a=(sin α+cos α,1),b=(1,-2cos α),ab=15,α∈0,π2,則sin α=　　　　,cos α=　　　　. 答案　45;35 解析　由題意得sin α+cos α-2cos α=15,即sin α-cos α=15,結(jié)合sin2α+cos2α=1,可得sin α=45,cos α=35. 8.(2018浙江重點中學高三月考)請利用圖1、圖2中大矩形內(nèi)部陰影部分的面積關(guān)系,寫出該圖所驗證的一個三角恒等變換公式:　　　　　　　　　　　　　　　. 　　　圖1　　　　　　　　　　　　圖2　　 答案　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 解析　題圖1中大矩形面積S=(cos α+cos β)(sin α+sin β)=sin(α+β)+sin αcos α+sin βcos β,減去四個小直角三角形的面積得S1=S-sin αcos α-sin βcos β=sin(α+β),題圖2中陰影部分面積S2=sin αcos β+cos αsin β.兩個圖的陰影部分面積相等,即S1=S2,故sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. 9.(2016課標全國Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sinθ+π4=35,則tanθ-π4=　　　　. 答案　-43 解析　∵θ+π4+π4-θ=π2, ∴sinθ+π4=cosπ4-θ=35, 又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z, ∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z, ∴cosθ+π4=45,∴sinπ4-θ=45, ∴tanπ4-θ=sinπ4-θcosπ4-θ=43, ∴tanθ-π4=-tanπ4-θ=-43. 10.已知函數(shù)f(x)=2cosx-π12,x∈R. (1)求f-π6的值; (2)若cos θ=35,θ∈3π2,2π,求f2θ+π3. 解析　(1)f-π6=2cos-π6-π12=2cos-π4 =2cosπ4=1. (2)f2θ+π3=2cos2θ+π3-π12=2cos2θ+π4 =cos 2θ-sin 2θ. 因為cos θ=35,θ∈3π2,2π,所以sin θ=-45, 所以sin 2θ=2sin θcos θ=-2425, cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-725, 所以f2θ+π3=cos 2θ-sin 2θ=-725--2425=1725. 11.已知0<α<π4,0<β<π4且3sin β=sin(2α+β),4tanα2=1-tan2α2,求α+β的值. 解析　由4tanα2=1-tan2α2,得4tanα21-tan2α2=2tan α=1, 得tan α=12. 由3sin β=sin(2α+β),得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α], 進而得3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α, ∴2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α, ∴2sin(α+β)4cos(α+β)=sinαcosα,∴tan(α+β)=2tan α=1, 又∵0<α<π4,0<β<π4,∴0<α+β<π2, ∴α+β=π4. B組　提升題組 1.(2019臺州中學月考)已知直線l1∥l2,點A是l1,l2之間的一個定點,并且A點到l1,l2的距離分別為h1,h2,點B是直線l2上一個動點,作AC⊥AB,且使AC與直線l1交于點C,則△ABC面積的最小值為　　　　. 答案　h1h2 解析　如圖,設(shè)∠ABD=α, 則∠CAE=α,AB=h2sinα, AC=h1cosα, 所以S△ABC=12ABAC=h1h2sin2α0<α<π2. 易得當2α=π2,即α=π4時,S△ABC取最小值,且最小值為h1h2. 2.(1)已知tanα+π4=12,且-π2<α<0,求2sin2α+sin2αcosα-π4的值; (2)若π<α<3π2,化簡1+sinα1+cosα-1-cosα+1-sinα1+cosα+1-cosα. 解析　(1)由tanα+π4=tanα+11-tanα=12,得tan α=-13. 又-π2<α<0,所以sin α=-1010. 故2sin2α+sin2αcosα-π4=2sinα(sinα+cosα)22(sinα+cosα)=22sin α=-255. (2)∵π<α<3π2,∴π2<α2<3π4, ∴cos α2<0,sin α2>0. ∴原式=sinα2+cosα222cosα2-2sinα2+sinα2-cosα222cosα2+2sinα2 =sinα2+cosα22-2sinα2+cosα2+sinα2-cosα222sinα2-cosα2 =- sinα2+cosα22+sinα2-cosα22=-2cos α2. 3.(2019臺州中學月考)已知函數(shù)f(x)=Asinx+π4,x∈R,且f5π12=32. (1)求A的值; (2)若f(θ)+f(-θ)=32,θ∈0,π2,求f3π4-θ. 解析　(1)∵f5π12=Asin5π12+π4=32, ∴A32=32,A=3. (2)∵f(θ)+f(-θ)=3sinθ+π4+3sin-θ+π4=32, ∴322(sinθ+cosθ)+22(-sinθ+cosθ)=32, ∴6cos θ=32,cos θ=64, 又 θ∈0,π2,∴sin θ=1-cos2θ=104, ∴f34π-θ=3sin(π-θ)=3sin θ=304. 4.廣告公司為某游樂場設(shè)計某項設(shè)施的宣傳畫,根據(jù)該設(shè)施的外觀,設(shè)計成的平面圖由半徑為2 m的扇形AOB和三角形BCO構(gòu)成,其中C,O,A在同一條直線上,∠ACB=π4,記該設(shè)施平面圖的面積為S m2,∠AOB= x rad,其中π2<x<π. (1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)如何設(shè)計∠AOB,使得S有最大值? 解析　(1)因為扇形AOB的半徑為2 m,∠AOB=x rad, 所以S扇形=12x22=2x. 過點B作邊AC的垂線,垂足為點D,如圖所示. 則∠BOD=π-x, 所以BD=2sin(π-x)=2sin x,OD=2cos(π-x)=-2cos x. 因為∠ACB=π4,所以CD=BD=2sin x, 所以S△BOC=12COBD=12(2sin x-2cos x)2sin x=2sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x, 所以S(x)=1-cos 2x-sin 2x+2x. (2)由(1)可知S(x)=1-cos 2x-sin 2x+2x, 所以S(x)=2sin 2x-2cos 2x+2. 令S(x)=0,得22sin2x-π4=-2, 所以sin2x-π4=-22, 因為π2<x<π,所以3π4<2x-π4<7π4, 所以2x-π4=5π4,所以x=3π4, 根據(jù)實際意義知,當x=3π4時,該函數(shù)取得最大值, 故設(shè)計∠AOB=3π4,此時S有最大值.