新編全國(guó)通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題15 圓錐曲線含解析

【走向高考】（全國(guó)通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題15 圓錐曲線 一、選擇題 1．(20xx·四川文，7)過(guò)雙曲線x2－＝1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝(　　) A. B．2 C．6 D．4 [答案]　D [解析]　由題意，a＝1，b＝，故c＝2， 漸近線方程為y＝±x， 將x＝2代入漸近線方程，得y1,2＝±2，故|AB|＝4，選D. 2．設(shè)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：(x＋2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值，最大值分別為(　　) A．4,8　　　 B．2,6　　　 C．6,8　　　 D．8,12 [答案]　A [解析]　如圖，由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓定義知|PA|＋|PB|＝2a＝6，連接PA，PB，分別與兩圓相交于M、N兩點(diǎn)，此時(shí)|PM|＋|PN|最小，最小值為|PA|＋|PB|－2R＝4；連接PA，PB并延長(zhǎng)，分別與兩圓相交于M′、N′兩點(diǎn)，此時(shí)|PM′|＋|PN′|最大，最大值為|PA|＋|PB|＋2R＝8，即最小值和最大值分別為4、8. [方法點(diǎn)撥]　涉及橢圓(或雙曲線)兩焦點(diǎn)距離的問(wèn)題或焦點(diǎn)弦問(wèn)題，及到拋物線焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)距離的問(wèn)題，可優(yōu)先考慮圓錐曲線的定義． 3．(文)(20xx·唐山一模)已知拋物線的焦點(diǎn)F(a,0)(a<0)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．y2＝2ax B．y2＝4ax C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax [答案]　B [解析]　設(shè)拋物線方程為y2＝mx，由焦點(diǎn)為F(a,0)，a<0知m<0，∴＝a，∴m＝4a，故選B. (理)(20xx·河北衡水中學(xué)一模)已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過(guò)F的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，如果·＝－12，，那么拋物線C的方程為(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x [答案]　C [解析]　由題意，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，直線方程為x＝my＋，代入拋物線方程得y2－2pmy－p2＝0，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，得·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12?p＝4，即拋物線C的方程為y2＝8x. [方法點(diǎn)撥]　求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)“先定型，后計(jì)算”，即先確定是何種曲線，焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，然后利用條件求a、b、p的值． 4．(文)(20xx·南昌市一模)以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線C的離心率為(　　) A．2或 B．2或 C. D．2 [答案]　B [解析]　(1)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由題意知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，所以＝tan＝，所以b＝a，c＝＝2a，故雙曲線C的離心率e＝＝＝2； (2)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由題意知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，所以＝tan＝，所以a＝b，c＝＝2b，故雙曲線C的離心率e＝＝＝. 綜上所述，雙曲線C的離心率為2或. (理)(20xx·東北三省三校二模)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以F1F2為直徑的圓被直線＋＝1截得的弦長(zhǎng)為a，則雙曲線的離心率為(　　) A．3 B．2 C. D. [答案]　D [解析]　由已知得：O(0,0)到直線＋＝1的距離為：d＝，由題意得：2＋d2＝r2即2＋2＝c2 整理得：c4－a2c2＋a4＝0，即e4－e2＋1＝0，解得：e2＝2或e2＝(舍)，∴e＝. [方法點(diǎn)撥]　1.求橢圓、雙曲線的離心率問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a、b、c的關(guān)系，然后將b用a、c代換，求e＝的值；另外要注意雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系． 2．注意圓錐曲線的對(duì)稱性在解題中的應(yīng)用． 5．(文)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，則|AB|的長(zhǎng)為(　　) A. B．1 C. D. [答案]　C [解析]　由條件知，|AF2|＋|BF2|＝2|AB|， |AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2， ∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4，∴|AB|＝. (理)(20xx·河北名師名校俱樂(lè)部模擬)設(shè)拋物線x2＝8y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的傾斜角等于60°，那么|PF|等于(　　) A．2 B．4 C. D．4 [答案]　C [解析]　在△APF中，|PA|＝|PF|，|AF|sin60°＝4，∴|AF|＝，又∠PAF＝∠PFA＝30°，過(guò)P作PB⊥AF于B，則|PF|＝＝＝. [方法點(diǎn)撥]　圓錐曲線的性質(zhì)常與等差、等比數(shù)列、三角函數(shù)、不等式等問(wèn)題聯(lián)系在一起，一般先利用條件轉(zhuǎn)化為單一知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題求解． 6．(文)從拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則△PFM的面積為(　　) A．5 B．6 C．10 D．5 [答案]　A [解析]　拋物線的焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2.設(shè)P(m，n)，則|PM|＝m＋2＝5，解得m＝3.代入拋物線方程得n2＝24，故|n|＝2，則S△PFM＝|PM|·|n|＝×5×2＝5. (理)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)和橢圓＋＝1(m>n>0)有共同的焦點(diǎn)F1、F2，P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2| (　　) A．m2－a2 B.－ C.(m－a) D. m－a [答案]　D [解析]　不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，P在雙曲線的右支上，由題意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，故|PF1|·|PF2|＝m－a. 7．(文)(20xx·湖南文，6)若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)，則此雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　考查雙曲線的幾何性質(zhì)． 由題設(shè)利用雙曲線的漸近線方程經(jīng)過(guò)的點(diǎn)(3，－4)，得到a、b關(guān)系式，然后求出雙曲線的離心率即可．因?yàn)殡p曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)，∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝＝，故選D. (理)(20xx·重慶文，9)設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過(guò)F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為(　　) A．± B．± C．±1 D．± [答案]　C [解析]　考查雙曲線的幾何性質(zhì)． 由已知得右焦點(diǎn)F(c,0)(其中c2＝a2＋b2，c>0)，A1(－a,0)，A2(a,0)；B(c，－)，C(c，)；從而A1B―→＝(c＋a，－)，＝(c－a，)，又因?yàn)锳1B⊥A2C，所以A1B―→·A2C―→＝0，即(c－a)·(c＋a)＋(－)·()＝0；化簡(jiǎn)得到＝1?＝±1，即雙曲線的漸近線的斜率為±1；故選C. 8．(20xx·新課標(biāo)Ⅰ理，5)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)．若·<0，則y0的取值范圍是(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　考查向量數(shù)量積；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 由題知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，－y＝1，所以MF1―→·MF2―→＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3＝3y－1＜0，解得－＜y0＜，故選A. 二、填空題 9．(文)已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A、B兩點(diǎn)，若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為_(kāi)_______． [答案]　a≥1 [解析]　顯然a>0，不妨設(shè)A(，a)，B(－，a)，C(x0，x)，則＝(－－x0，a－x)， ＝(－x0，a－x)，∵∠ACB＝90°. ∴·＝(－x0，a－x)·(－－x0，a－x)＝0. ∴x－a＋(a－x)2＝0，且x－a≠0. ∴(a－x)(a－x－1)＝0，∴a－x－1＝0. ∴x＝a－1，又x≥0.∴a≥1. (理)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a、b(a<b)，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y2＝2px(p>0)經(jīng)過(guò)C、F兩點(diǎn)，則＝________. [答案]　＋1 [解析]　由題可得C(，－a)，F(xiàn)(＋b，b)， ∵C、F在拋物線y2＝2px上，∴ ∴＝＋1，故填＋1. 10．(文)(20xx·湖南理，13)設(shè)F是雙曲線C：－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)P，使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則C的離心率為_(kāi)_______． [答案]　 [解析]　考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)． 根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)F(c,0)，短軸端點(diǎn)為(0，b)，從而可知點(diǎn)(－c,2b)在雙曲線上，∴－＝1?e＝＝. (理)(20xx·南昌市二模)過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左右兩支分別相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)(－，0)是雙曲線C的左焦點(diǎn)，若|FA|＋|FB|＝4，·＝0，則雙曲線C的方程是________． [答案]　－y2＝1 [解析]　由已知得：c＝，F(xiàn)A⊥FB，設(shè)右焦點(diǎn)為F1，則四邊形FAF1B為矩形，∴|AB|＝2c＝2且|FA|2＋|FB|2＝(|FA|＋|FB|)2－2|FA|·|FB|＝16－2|FA|·|FB|， |AB|2＝|FA|2＋|FB|2， ∴|FA|·|FB|＝2，∴(|FA|－|FB|)2＝(|FA|＋|FB|)2－4|FA|·|FB|＝8，∴||FA|－|FB||＝2， 即||AF|－|AF1||＝2，∴a＝， ∴b2＝1，∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 三、解答題 11．(文)(20xx·湖南文，20)已知拋物線C1：x2＝4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2.過(guò)點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn)，且與同向． (1)求C2的方程； (2)若|AC|＝|BD|，求直線l的斜率． [分析]　考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；橢圓的性質(zhì)和轉(zhuǎn)化思想，設(shè)而不求、整體代換思想及運(yùn)算求解能力等． (1)由F也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)及C1與C2的公共弦長(zhǎng)列方程組求解； (2) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，根據(jù)＝，可得，(x3＋x4)2－4x3x4＝(x1＋x2)2－4x1x2， 設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1，聯(lián)立直線與拋物線方程、直線與橢圓方程、利用韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果． [解析]　(1)由C1：x2＝4y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)，因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，所以a2－b2＝1 ?、?； 又C1與C2的公共弦長(zhǎng)為2，C1與C2都關(guān)于y軸對(duì)稱，且C1的方程為：x2＝4y，由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(±，)， ∴＋＝1②， 聯(lián)立①②得a2＝9，b2＝8，故C2的方程為 ＋＝1. (2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，D(x4，y4)， 因與同向，且|AC|＝|BD|， 所以＝，從而x3－x1＝x4－x2，即x3－x4＝x1－x2，于是 (x3＋x4)2－4x3x4＝(x1＋x2)2－4x1x2?、? 設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1，由得x2－4kx－4＝0， 由x1，x2是這個(gè)方程的兩根， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4?、? 由 得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0， 而x3，x4是這個(gè)方程的兩根， x3＋x4＝－，x3x4＝－ 　⑤ 將④、⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋. 即16(k2＋1)＝， 所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±， 即直線l的斜率為±. (理)(20xx·洛陽(yáng)市期末)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，kOA·kOB＝－，判斷△AOB的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，說(shuō)明理由． [解析]　(1)由題意得c＝1，又e＝＝， 所以a＝2，從而b2＝a2－c2＝3， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， 由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)>0得m2<3＋4k2. ∵x1＋x2＝－，x1·x2＝， ∴y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝. 由kOA·kOB＝－＝－得y1y2＝－x1x2， 即＝－·，化簡(jiǎn)得2m2－4k2＝3，滿足Δ>0. 由弦長(zhǎng)公式得|AB|＝|x1－x2| ＝·＝. 又點(diǎn)O到直線l：y＝kx＋m的距離d＝， 所以S△AOB＝·d·|AB|＝· ＝＝ ＝＝， 故△AOB的面積為定值. 12．(文)(20xx·東北三校二模)已知圓M：x2＋(y－2)2＝1，直線l：y＝－1，動(dòng)圓P與圓M相外切，且與直線l相切．設(shè)動(dòng)圓圓心P的軌跡為E. (1)求E的方程； (2)若點(diǎn)A，B是E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且·＝－16，求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)． [解析]　(1)⊙O的圓心M(0,2)，半徑r＝1，設(shè)動(dòng)圓圓心P(x，y)，由條件知|PM|－1等于P到l的距離， ∴|PM|等于P到直線y＝－2的距離，∴P點(diǎn)軌跡是以M(0,2)為焦點(diǎn)，y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線． 方程為x2＝8y. (2)設(shè)直線AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2) 將直線AB的方程代入到x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b， 又因?yàn)?#183;＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16?b＝4 所以直線BC恒過(guò)定點(diǎn)(0,4)． (理)(20xx·山東理，21)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|＝|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形． (1)求C的方程； (2)若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E， (ⅰ)證明：直線AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)； (ⅱ)△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． [解析]　(1)由題意知F(，0)， 設(shè)D(t,0)(t>0)，則FD的中點(diǎn)為(，0)． 因?yàn)閨FA|＝|FD|， 由拋物線的定義知3＋＝|t－|， 解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)， 由＝3，解得p＝2. 所以拋物線C的方程為y2＝4x. (2)(ⅰ)由(1)知F(1,0)． 設(shè)A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)， 因?yàn)閨FA|＝|FD|，得|xD－1|＝x0＋1， 由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)． 故直線AB的斜率kAB＝－. 因?yàn)橹本€l1和直線AB平行， 設(shè)直線l1的方程為y＝－x＋b， 代入拋物線方程得y2＋y－＝0， 由題意Δ＝＋＝0， 得b＝－， 設(shè)E(xE，yE)，則yE＝－，xE＝. 當(dāng)y≠4時(shí)，kAE＝＝－＝， 可得直線AE的方程為y－y0＝(x－x0)， 由y＝4x0， 整理可得y＝(x－1)， 故直線AE恒過(guò)點(diǎn)F(1,0)． 當(dāng)y＝4時(shí)，直線AE的方程為x＝1，過(guò)點(diǎn)F(1,0)． 所以直線AE過(guò)定點(diǎn)F(1,0)． (ⅱ)由(ⅰ)知直線AE過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)， 所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋(＋1)＝x0＋＋2. 設(shè)直線AE的方程為x＝my＋1， 因?yàn)辄c(diǎn)A(x0，y0)在直線AE上， 故m＝. 設(shè)B(x1，y1)． 直線AB的方程為y－y0＝－(x－x0)， 由于y0≠0， 可得x＝－y＋2＋x0， 代入拋物線方程得y2＋y－8－4x0＝0. 所以y0＋y1＝－， 可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4. 所以點(diǎn)B到直線AE的距離為 d＝ ＝＝4(＋)． 則△ABE的面積S＝×4(＋)(x0＋＋2)≥16， 當(dāng)且僅當(dāng)＝x0，即x0＝1時(shí)等號(hào)成立． 所以△ABE的面積的最小值為16. [方法點(diǎn)撥]　定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略 把直線或曲線方程中的變量x、y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然直線或曲線過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x、y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)． 13．(文)(20xx·甘肅省三診)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x－y＋＝0相切． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且kOA·kOB＝－，試判斷△AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由． [解析]　(1)由題意知e＝＝， ∴e2＝＝＝，即a2＝b2， 又b＝＝，∴a2＝4，b2＝3， 故橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得 (3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， △＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0,3＋4k2－m2>0. x1＋x2＝－，x1·x2＝. y1·y1＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝. kOA·kOB＝－，＝－， y1y2＝－x1x2，＝－· 2m2－4k2＝3， |AB|＝ ＝＝. d＝＝≥＝， S＝|AB|d＝ ＝＝ ＝＝. [方法點(diǎn)撥]　定值問(wèn)題的求解策略 (1)在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就是“定值”問(wèn)題，解決這類問(wèn)題常通過(guò)取特殊值，先確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無(wú)關(guān)的常數(shù)，或者由該等式與變量無(wú)關(guān)，令其系數(shù)等于零即可得到定值． (2)求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟 ①由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值； ②證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值； ③得出結(jié)論． (理)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)如圖，A、B、D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明：2m－k為定值． [解析]　(1)因?yàn)閑＝＝， 所以a＝c，b＝c.代入a＋b＝3得， c＝，a＝2，b＝1. 故橢圓的方程為＋y2＝1. (2)方法一：因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為y＝k(x－2)(k≠0，k≠±)．① ①代入＋y2＝1，解得P(，－)． 直線AD的方程為：y＝x＋1.② ①與②聯(lián)立解得M(，)， 由D(0,1)，P(，－)，N(x,0)三點(diǎn)共線知 ＝，解得N(，0)． 所以MN的斜率為m＝ ＝＝， 則2m－k＝－k＝(定值)． (2)方法二：設(shè)P(x0，y0)(x0≠0，±2)，則k＝， 直線AD的方程為：y＝(x＋2)． 直線BP的方程為y＝(x－2)， 直線DP的方程為：y－1＝x，令y＝0，由于y0≠1可得N(，0)． 聯(lián)立 解得M(，)， 因此MN的斜率為 m＝＝ ＝＝， 所以2m－k＝－ ＝ ＝ ＝ ＝(定值)． 14．(文)(20xx·遼寧葫蘆島市一模)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. (1)求橢圓C的方程； (2)直線l：y＝kx＋t(t≠0)與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與y軸交點(diǎn)P，求△MON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值． [解析]　(1)∵e＝，∴a2＝3c2＝3a2－3b2，∴2a2＝3b2 將x＝－c代入橢圓方程得：y2＝，y＝±， 由題意：＝，∴2a＝b2 ， 解得：a2＝3，b2＝2 ∴橢圓C的方程為：＋＝1 (2)聯(lián)立方程組：消去y整理得：(3k2＋2)x2＋6ktx＋3t2－6＝0　?、? ∴Δ＝36k2t2－4(3k2＋2)·(3t2－6)＝24(3k2＋2－t2)>0，∴3k2＋2>t2　?、? 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1，x2是方程①的兩個(gè)解，由韋達(dá)定理得： x1＋x2＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝＋2t＝ 設(shè)MN的中點(diǎn)為G(x0，y0)，則 x0＝＝，y0＝＝ ∴線段MN的垂直平分線方程為： y－＝－ 將P代入得：＋＝ 化簡(jiǎn)得：3k2＋2＝4t 代入②式得：4t>t2，∴0<t<4 |MN|＝·＝·＝· ＝· 設(shè)O到直線MN的距離為d，則d＝ ∴S△NOM＝·|MN|·d＝···＝·＝·≤ (當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，k＝±時(shí)取“＝”號(hào)) ∴△MON面積的最大值為，此時(shí)直線l的方程為：y＝±x＋2. (理)(20xx·浙江理，19)已知橢圓＋y2＝1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝mx＋對(duì)稱． (1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))． [分析]　考查直線與橢圓的位置關(guān)系；點(diǎn)到直線的距離公式；求函數(shù)的最值及運(yùn)算求解能力、函數(shù)與方程的思想． (1)可設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立消元化為一元二次方程，由AB的中點(diǎn)在已知直線上知方程有兩個(gè)不同的解，由此可得到關(guān)于m的不等式，從而求解；(2)令t＝，可將△AOB表示為t的函數(shù)，從而將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為在給定范圍上求函數(shù)的最值，從而獲解． [解析]　(1)由題意知m≠0，可設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋b，由消去y，得(＋)x2－x＋b2－1＝0，∵直線y＝－x＋b與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴Δ＝－2b2＋2＋＞0，①，將AB中點(diǎn)M(，)代入直線方程y＝mx＋解得b＝－，②. 由①②得m＜－或m＞. (2)令t＝∈(－，0)∪(0，)， 則|AB|＝·， 且O到直線AB的距離為d＝，設(shè)△AOB的面積為S(t)，∴S(t)＝|AB|·d＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)t2＝時(shí)，等號(hào)成立，故△AOB面積的最大值為. 15．(20xx·福建理，19)已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別為l1：y＝2x，l2：y＝－2x. (1)求雙曲線E的離心率； (2)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線l1、l2于A，B兩點(diǎn)(A、B分別在第一、四象限)，且△OAB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說(shuō)明理由． [解析]　(1)∵雙曲線E的漸近線分別為y＝2x，y＝－2x，∴＝2， ∴＝2，故c＝a， 從而雙曲線E的離心率e＝＝. (2)由(1)知，雙曲線E的方程為－＝1. 設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C， 當(dāng)l⊥x軸時(shí)，若直線l與雙曲線E只有一個(gè)公共點(diǎn)， 則|OC|＝a，|AB|＝4a， 又∵△OAB的面積為8，∴|OC|·|AB|＝8， 因此a·4a＝8，解得a＝2，此時(shí)雙曲線E的方程為－＝1，若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能是－＝1. 以下證明：當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，雙曲線E：－＝1也滿足條件，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，依題意得k>2或k<－2， 則C(－，0)，記A(x1，y1)、B(x2，y2)． 由得y1＝，同理得y2＝. 由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|得|－|·|－|＝8， 即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)，由得， (4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0，∵4－k2<0 ∴Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)， 又∵m2＝4(k2－4)，∴Δ＝0，即直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為－＝1. [方法點(diǎn)撥]　1.求曲線的軌跡方程時(shí)，先看軌跡的形狀是否預(yù)知，若能依據(jù)條件確定其形狀，可用定義法或待定系數(shù)法求解；若動(dòng)點(diǎn)P與另一動(dòng)點(diǎn)Q有關(guān)，Q在已知曲線上運(yùn)動(dòng)，可用代入法求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；否則用直譯法求解． 2．存在性問(wèn)題主要體現(xiàn)在以下幾方面： (1)點(diǎn)是否存在； (2)曲線是否存在； (3)命題是否成立． 解決這類問(wèn)題的一般思路是先假設(shè)存在滿足題意的元素，經(jīng)過(guò)推理論證，如果可以得到成立的結(jié)果，就可以作出存在的結(jié)論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的結(jié)論，則說(shuō)明假設(shè)不存在，其一般步驟為：