2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)（第2課時(shí)）拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

第2課時(shí)　拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握拋物線的幾何特性.2.學(xué)會(huì)解決直線與拋物線相關(guān)的綜合問題． 知識(shí)點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 1．直線與拋物線的位置關(guān)系與公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 位置關(guān)系 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 相交 有兩個(gè)或一個(gè)公共點(diǎn) 相切 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 相離 無公共點(diǎn) 2.直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的個(gè)數(shù)．當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時(shí)，直線與 拋物線的對(duì)稱軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)． 1．若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線必相切．(　　) 2．直線與拋物線相交弦的弦長(zhǎng)公式是|AB|＝|x1－x2|＝x1＋x2＋p.(　　) 3．過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長(zhǎng)為2a.(　√　) 題型一　直線與拋物線的位置關(guān)系 例1　已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線C：y2＝4x，問：k為何值時(shí)，直線l與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，無交點(diǎn)？ 解　由方程組 消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)． (1)若直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)， 則k2≠0且Δ>0， 即k2≠0且16(1－k2)>0， 解得k∈(－1,0)∪(0,1)． 所以當(dāng)k∈(－1,0)∪(0,1)時(shí)， 直線l和拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)． (2)若直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)， 則k2＝0或當(dāng)k2≠0時(shí)，Δ＝0， 解得k＝0或k＝1. 所以當(dāng)k＝0或k＝1時(shí)，直線l和拋物線C有一個(gè)交點(diǎn)． (3)若直線與拋物線無交點(diǎn)， 則k2≠0且Δ<0. 解得k>1或k<－1. 所以當(dāng)k>1或k<－1時(shí)， 直線l和拋物線C無交點(diǎn)． 反思感悟　直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，等價(jià)于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個(gè)數(shù)．注意直線斜率不存在和得到的方程二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況． 跟蹤訓(xùn)練1　平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到定點(diǎn)F(0,1)和到定直線y＝－1的距離相等，設(shè)M的軌跡是曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)在曲線C上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線y＝x－2的距離最短，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)設(shè)直線l：y＝x＋m，問當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，直線l與曲線C有交點(diǎn)？ 解　(1)x2＝4y. (2)設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)P到直線y＝x－2的距離為 ＝＝， 當(dāng)x0＝2時(shí)，取得最小值，此時(shí)P(2,1)． (3)由得x2－4x－4m＝0， Δ＝42－4(－4m)≥0，m≥－1. 所以當(dāng)m≥－1時(shí)，直線l和曲線C有交點(diǎn)． 題型二　與弦長(zhǎng)中點(diǎn)弦有關(guān)的問題 例2　已知A，B為拋物線E上不同的兩點(diǎn)，若拋物線E的焦點(diǎn)為(1,0)，線段AB恰被M(2,1)所平分． (1)求拋物線E的方程； (2)求直線AB的方程． 解　(1)由于拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，所以＝1，p＝2， 所以拋物線的方程為y2＝4x. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y＝4x1，① y＝4x2，② 且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)， 所以＝2. 所以所求直線AB的方程為y－1＝2(x－2)， 即2x－y－3＝0. 反思感悟　中點(diǎn)弦問題有兩種解法： (1)點(diǎn)差法：將兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，作差，由k＝求斜率，再由點(diǎn)斜式求解． (2)傳統(tǒng)法：設(shè)直線方程，并與拋物線的方程聯(lián)立，消去x(或y)得關(guān)于y(或x)的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，得兩根之和即為中點(diǎn)縱(或橫)坐標(biāo)的2倍，從而求斜率． 跟蹤訓(xùn)練2　已知拋物線y2＝6x，過點(diǎn)P(4,1)引一條弦P1P2使它恰好被點(diǎn)P平分，求這條弦所在的直線方程及|P1P2|. 解　方法一　由題意易知直線方程的斜率存在，設(shè)所求方程為y－1＝k(x－4)．由 得ky2－6y－24k＋6＝0. 當(dāng)k＝0時(shí)，y＝1，顯然不成立． 當(dāng)k≠0時(shí)，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.① 設(shè)弦的兩端點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， ∴y1＋y2＝，y1y2＝. ∵P1P2的中點(diǎn)為(4,1)， ∴＝2，∴k＝3，適合①式． ∴所求直線方程為y－1＝3(x－4)， 即3x－y－11＝0， ∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22， ∴|P1P2|＝ ＝＝. 方法二　設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． 則y＝6x1，y＝6x2， ∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2， ∴＝＝3， ∴所求直線的斜率k＝3， 所求直線方程為y－1＝3(x－4)， 即3x－y－11＝0. 由得y2－2y－22＝0， ∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22， ∴|P1P2|＝ ＝＝. 題型三　拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用 命題角度1　拋物線中的定點(diǎn)(定值)問題 例3　已知點(diǎn)A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB. (1)求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積； (2)求證：直線AB過定點(diǎn)． (1)解　設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則有kOA＝，kOB＝. 因?yàn)镺A⊥OB，所以kOAkOB＝－1， 所以x1x2＋y1y2＝0. 因?yàn)閥＝2px1，y＝2px2， 所以＋y1y2＝0. 因?yàn)閥1≠0，y2≠0， 所以y1y2＝－4p2， 所以x1x2＝4p2. (2)證明　因?yàn)閥＝2px1，y＝2px2， 所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)， 所以＝， 所以kAB＝， 故直線AB的方程為y－y1＝(x－x1)， 所以y＝＋y1－， 即y＝＋. 因?yàn)閥＝2px1，y1y2＝－4p2， 所以y＝＋， 所以y＝(x－2p)， 即直線AB過定點(diǎn)(2p,0)． 反思感悟　在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點(diǎn)問題，解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等，解決這類問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，過拋物線y2＝x上一點(diǎn)A(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率是定值． 證明　方法一　設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為－k. 把直線AB的方程y－2＝k(x－4)與y2＝x聯(lián)立得 y－2＝k(y2－4)，即ky2－y－4k＋2＝0. ∵y＝2是此方程的一個(gè)解， ∴2yB＝，∴yB＝， ∴xB＝y(tǒng)＝， ∴B. ∵kAC＝－k， ∴以－k代替k代入B點(diǎn)坐標(biāo)得C. ∴kBC＝＝－，為定值． 方法二　設(shè)B(y，y1)，C(y，y2)，則kBC＝＝. ∵kAB＝＝，kAC＝＝， 由題意得kAB＝－kAC， ∴＝－，則y1＋y2＝－4， 則kBC＝－，為定值． 命題角度2　對(duì)稱問題 例4　在拋物線y2＝4x上恒有兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝kx＋3對(duì)稱，求k的取值范圍． 解　因?yàn)锳，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋3對(duì)稱， 所以可設(shè)直線AB的方程為x＝－ky＋m. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把直線AB的方程代入拋物線方程，得y2＋4ky－4m＝0， 設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0，y0)， 則y0＝＝－2k，x0＝2k2＋m. 因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在直線y＝kx＋3上， 所以－2k＝k(2k2＋m)＋3，即m＝－. 因?yàn)橹本€AB與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)， 所以Δ＝16k2＋16m>0， 把m＝－代入， 化簡(jiǎn)，得<0， 所以<0. 因?yàn)閗2－k＋3＝2＋>0，所以<0， 解得－1<k<0. 反思感悟　軸對(duì)稱問題，一是抓住對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對(duì)稱軸所在直線斜率的關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練4　已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A，B，求A，B兩點(diǎn)間的距離． 解　由題意可設(shè)l：y＝x＋b，把直線方程代入y＝－x2＋3中，得x2＋x＋b－3＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝(x1＋x2)＋2b＝2b－1. 所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 因?yàn)樵擖c(diǎn)在直線x＋y＝0上． 所以－＋＝0，得b＝1. 所以|AB|＝|x1－x2|＝＝＝3. 所以A，B兩點(diǎn)間的距離為3. 與拋物線有關(guān)的最值問題 典例　求拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0的最小距離． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線的綜合問題 解　方法一　設(shè)A(t，－t2)為拋物線上的點(diǎn)， 則點(diǎn)A到直線4x＋3y－8＝0的距離 d＝＝ ＝ ＝ ＝2＋. 所以當(dāng)t＝時(shí)，d有最小值. 方法二　如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行的拋物線的切線方程為4x＋3y＋m＝0， 由 消去y得3x2－4x－m＝0， ∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－. 故最小距離為＝＝. [素養(yǎng)評(píng)析]　(1)求拋物線上一點(diǎn)到定直線的距離的最值，最常見的解題思路： 一是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行消元代換，得到有關(guān)距離的含變量的代數(shù)式，以計(jì)算函數(shù)最值來解決． 二是轉(zhuǎn)化兩平行線間距離代入兩平行線間距離公式可求得． (2)探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，能提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，同時(shí)促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)． 1．過點(diǎn)P(0,1)與拋物線y2＝x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有(　　) A．4條B．3條C．2條D．1條 答案　B 解析　當(dāng)斜率不存在時(shí)，過P(0,1)的直線是y軸，與拋物線y2＝x只有一個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為y＝kx＋1. 由 消去y，得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0， 當(dāng)k＝0時(shí)，符合題意； 當(dāng)k≠0時(shí)，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0， 得k＝. ∴與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線共有3條． 2．已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|∶|MN|等于(　　) A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3 答案　C 解析　如圖所示，由拋物線定義知|MF|＝|MH|， 所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|. 由△MHN∽△FOA， 則＝＝，故＝， 則|MH|∶|MN|＝1∶，即|MF|∶|MN|＝1∶. 3．已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，設(shè)C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　∵點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線x＝－上，∴－＝－2，p＝4，∴拋物線C：y2＝8x. 設(shè)直線AB的方程為x＝k(y－3)－2，① 將①與y2＝8x聯(lián)立，得y2－8ky＋24k＋16＝0，② 令Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0， 解得k＝2或k＝－. 當(dāng)k＝－時(shí)，切點(diǎn)在第四象限，與題意不符，舍去． 將k＝2代入①②，得即B(8,8)． 又F(2,0)，∴kBF＝.故選D. 4．過拋物線y2＝4x的頂點(diǎn)O作互相垂直的兩弦OM，ON，則M的橫坐標(biāo)x1與N的橫坐標(biāo)x2之積為________． 答案　16 解析　由已知設(shè)OM的斜率為k，則ON的斜率為－.從而OM的方程為y＝kx，聯(lián)立方程 解得M的橫坐標(biāo)x1＝. 同理可得N的橫坐標(biāo)x2＝4k2，可得x1x2＝16. 5．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線截直線y＝2x－4所得的弦長(zhǎng)|AB|＝3，求此拋物線的方程． 解　設(shè)所求拋物線方程為y2＝ax(a≠0)． A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 消去y，得4x2－(a＋16)x＋16＝0， 由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32. 又∵x1＋x2＝，x1x2＝4， ∴|AB|＝＝3， 即5＝45， ∴a＝4或a＝－36. ∴所求拋物線的方程為y2＝4x或y2＝－36x. 求拋物線的方程常用待定系數(shù)法和定義法；直線和拋物線的弦長(zhǎng)問題、中點(diǎn)弦問題及垂直、對(duì)稱等可利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系解決；拋物線的綜合問題要深刻分析條件和結(jié)論，靈活選擇解題策略，對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 一、選擇題 1．與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程為(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 答案　D 解析　設(shè)直線方程為2x－y＋m＝0， 由 得x2－2x－m＝0， Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1， ∴直線方程為2x－y－1＝0. 2．已知圓C：(x＋2)2＋y2＝r2與拋物線D：y2＝20x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8，則圓C的面積是(　　) A．5πB．9πC．16πD．25π 答案　D 解析　拋物線D：y2＝20x的準(zhǔn)線方程為x＝－5. 圓C的圓心(－2,0)到準(zhǔn)線的距離d＝3. 又由|AB|＝8， ∴r2＝d2＋2＝25， 故圓C的面積S＝25π，故選D. 3．已知拋物線y＝4x2上一點(diǎn)到直線y＝4x－5的距離最短，則該點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(1,2) B．(0,0) C. D．(1,4) 答案　C 解析　因?yàn)閥＝4x2與y＝4x－5不相交， 設(shè)與y＝4x－5平行的直線方程為y＝4x＋m. 則即4x2－4x－m＝0.① 設(shè)此直線與拋物線相切有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1. 將m＝－1代入①式，得x＝，y＝1， 所求點(diǎn)的坐標(biāo)為. 4．已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|等于(　　) A．2B．2C．4D．2 答案　B 解析　由題意設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為xM＋＝2＋＝3， ∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝42＝8， ∴|OM|＝＝＝2. 5．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線C上，且|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為(　　) A．4B．8C．16D．32 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　拋物線定義的其他應(yīng)用 答案　B 解析　易知F(2,0)，K(－2,0)，過點(diǎn)A作AM垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M，則|AM|＝|AF|. ∴|AK|＝|AM|， ∴△AMK為等腰直角三角形． 設(shè)A(m2,2m)(m>0)， 則△AFK的面積S＝2m4＝4m. 又由|AK|＝|AM|，得(m2＋2)2＋8m2＝2(m2＋2)2， 解得m＝. ∴△AFK的面積S＝4m＝8. 6．直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k等于(　　) A．2或－2 B．－1 C．2 D．3 答案　C 解析　由題意知 得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝2， 即x1＋x2＝4，∴x1＋x2＝＝4， ∴k＝2或－1， 經(jīng)判別式檢驗(yàn)知k＝2符合題意． 7．已知直線l：y＝k(x＋2)(k＞0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線上的射影分別是M，N，若|AM|＝2|BN|，則k的值是(　　) A.B.C．2D. 答案　D 解析　設(shè)拋物線C：y2＝8x的準(zhǔn)線為m：x＝－2. 直線y＝k(x＋2)(k>0)恒過定點(diǎn)P(－2,0)，如圖， 過點(diǎn)A，B分別作AM⊥m于點(diǎn)M，BN⊥m于點(diǎn)N. 由|AM|＝2|BN|， 得點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，連接OB， 則|OB|＝|AF|， ∴|OB|＝|BF|，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)． 把B(1,2)代入直線l：y＝k(x＋2)(k>0)， 解得k＝，故選D. 二、填空題 8．平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x＝－1的距離相等．若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(－1,0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是______________． 答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　由題意知機(jī)器人進(jìn)行的軌跡為以F(1,0)為焦點(diǎn)， x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2＝4x. 設(shè)過點(diǎn)P(－1,0)且斜率為k的直線方程為y＝k(x＋1)． 代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0. ∵機(jī)器人接觸不到該直線， ∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0， ∴k2>1，∴k>1或k<－1. 9．拋物線焦點(diǎn)在y軸上，截得直線y＝x＋1的弦長(zhǎng)為5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________． 答案　x2＝－20y或x2＝4y 解析　設(shè)拋物線方程為x2＝ay(a≠0)， 由得x2－x－a＝0. 設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝－a， |AB|＝ ＝＝5， 得a＝－20或4，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝－20或4都符合題意． ∴拋物線方程為x2＝－20y或x2＝4y. 10．已知拋物線y＝2x2上的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋m對(duì)稱．若2x1x2＝－1，則2m的值是________． 答案　3 解析　由題意，得k＝＝＝2(x2＋x1)＝－1， ∴x2＋x1＝－. ∵＝＋m， ∴y1＋y2＝x1＋x2＋2m， ∴2x＋2x＝－＋2m， 即2(x1＋x2)2－4x1x2＝－＋2m，∴2m＝3. 11．拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝________. 答案　6 解析　拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，準(zhǔn)線方程為y＝－.代入－＝1，得|x|＝.若△ABF為等邊三角形，則tan＝＝＝， 解得p2＝36，p＝6. 三、解答題 12．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點(diǎn)． (1)求證：OA⊥OB； (2)當(dāng)△OAB的面積等于時(shí)，求k的值． (1)證明　如圖所示， 由 消去x，得ky2＋y－k＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 y1y2＝－1，y1＋y2＝－. 因?yàn)锳，B在拋物線y2＝－x上， 所以y＝－x1，y＝－x2， 所以yy＝x1x2. 因?yàn)閗OAkOB＝＝＝＝－1， 所以O(shè)A⊥OB. (2)解　設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)N，顯然k≠0， 令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)， 因?yàn)镾△OAB＝S△OAN＋S△OBN ＝|ON||y1|＋|ON||y2| ＝|ON||y1－y2|， 所以S△OAB＝1 ＝. 因?yàn)镾△OAB＝， 所以＝， 解得k＝. 13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點(diǎn)． (1)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求的值； (2)如果＝－4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)． 解　(1)由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)， 設(shè)l：x＝ty＋1，代入拋物線方程y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 所以＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)設(shè)l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4b＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b. 因?yàn)椋絰1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b， 又＝－4，∴b2－4b＝－4， 解得b＝2，故直線l過定點(diǎn)(2,0)． 14．如圖，已知點(diǎn)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m(m≠0)，點(diǎn)D為準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，則△DAB的面積S的取值范圍為________． 答案　(4，＋∞) 解析　由拋物線C：y2＝4x可得焦點(diǎn)F(1,0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線PF的方程為y＝k(x－1)(k≠0)．聯(lián)立方程組消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，則x1＋x2＝2＋，x1x2＝1， ∴|AB|＝ ＝＝. 點(diǎn)D(－1,0)到直線AB的距離d＝， ∴S＝d|AB|＝＝4＞4，∴△DAB的面積S的取值范圍為(4，＋∞)． 15．已知F是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(4,2)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，|PA|＋|PF|的最小值為8. (1)求拋物線的方程； (2)是否存在定點(diǎn)M，使過點(diǎn)M的動(dòng)直線與拋物線交于B，C兩點(diǎn)(異于坐標(biāo)原點(diǎn))，且以BC為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解　(1)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作PD⊥l于點(diǎn)D，過A作AE⊥l于點(diǎn)E(圖略)． 由拋物線的定義，知|PF|＝|PD|， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PD|≥|AE|，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，E三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)． 由題意知|AE|＝8，即4＋＝8，得p＝8， 所以拋物線的方程為y2＝16x. (2)假設(shè)存在點(diǎn)M，當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為y＝kx＋b. 顯然k≠0，b≠0，設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)， 由以BC為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)，得＝0， 即x1x2＋y1y2＝0， 把y＝kx＋b代入y2＝16x，得k2x2＋2(bk－8)x＋b2＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2， 所以y1y2＝， 所以＋＝0，得b＝－16k. 所以過點(diǎn)M的直線方程為y＝kx－16k＝k(x－16)，必過定點(diǎn)(16,0)． 當(dāng)直線BC的斜率不存在時(shí)，直線x＝16交拋物線于B(16，－16)，C(16,16)或B(16,16)，C(16，－16)，仍然有＝0. 綜上，存在點(diǎn)M(16,0)滿足條件．