2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)（第2課時）拋物線的幾何性質(zhì)的應用學案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

第2課時拋物線的幾何性質(zhì)的應用學習目標1.掌握拋物線的幾何特性.2.學會解決直線與拋物線相關的綜合問題知識點直線與拋物線的位置關系1直線與拋物線的位置關系與公共點個數(shù)位置關系公共點個數(shù)相交有兩個或一個公共點相切有且只有一個公共點相離無公共點2.直線ykxb與拋物線y22px(p>0)的交點個數(shù)決定于關于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的個數(shù)當k0時，若>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；當0時，直線與拋物線有一個公共點；當<0時，直線與拋物線沒有公共點當k0時，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，此時直線與拋物線有一個公共點1若直線與拋物線有且只有一個公共點，則直線與拋物線必相切()2直線與拋物線相交弦的弦長公式是|AB|x1x2|x1x2p.()3過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x22ay(a>0)的通徑長為2a.()題型一直線與拋物線的位置關系例1已知直線l：yk(x1)與拋物線C：y24x，問：k為何值時，直線l與拋物線C有兩個交點，一個交點，無交點？解由方程組消去y，得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k416(1k2)(1)若直線與拋物線有兩個交點，則k20且>0，即k20且16(1k2)>0，解得k(1,0)(0,1)所以當k(1,0)(0,1)時，直線l和拋物線C有兩個交點(2)若直線與拋物線有一個交點，則k20或當k20時，0，解得k0或k1.所以當k0或k1時，直線l和拋物線C有一個交點(3)若直線與拋物線無交點，則k20且<0.解得k>1或k<1.所以當k>1或k<1時，直線l和拋物線C無交點反思感悟直線與拋物線交點的個數(shù)，等價于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個數(shù)注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數(shù)為0的情況跟蹤訓練1平面內(nèi)一動點M(x，y)到定點F(0,1)和到定直線y1的距離相等，設M的軌跡是曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)在曲線C上找一點P，使得點P到直線yx2的距離最短，求出P點的坐標；(3)設直線l：yxm，問當實數(shù)m為何值時，直線l與曲線C有交點？解(1)x24y.(2)設點P，點P到直線yx2的距離為，當x02時，取得最小值，此時P(2,1)(3)由得x24x4m0，424(4m)0，m1.所以當m1時，直線l和曲線C有交點題型二與弦長中點弦有關的問題例2已知A，B為拋物線E上不同的兩點，若拋物線E的焦點為(1,0)，線段AB恰被M(2,1)所平分(1)求拋物線E的方程；(2)求直線AB的方程解(1)由于拋物線的焦點為(1,0)，所以1，p2，所以拋物線的方程為y24x.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y4x1，y4x2，且x1x24，y1y22.由得，(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，所以2.所以所求直線AB的方程為y12(x2)，即2xy30.反思感悟中點弦問題有兩種解法：(1)點差法：將兩個交點的坐標代入拋物線的方程，作差，由k求斜率，再由點斜式求解(2)傳統(tǒng)法：設直線方程，并與拋物線的方程聯(lián)立，消去x(或y)得關于y(或x)的一元二次方程，由根與系數(shù)的關系，得兩根之和即為中點縱(或橫)坐標的2倍，從而求斜率跟蹤訓練2已知拋物線y26x，過點P(4,1)引一條弦P1P2使它恰好被點P平分，求這條弦所在的直線方程及|P1P2|.解方法一由題意易知直線方程的斜率存在，設所求方程為y1k(x4)由得ky26y24k60.當k0時，y1，顯然不成立當k0時，624k(24k6)>0.設弦的兩端點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2.P1P2的中點為(4,1)，2，k3，適合式所求直線方程為y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，|P1P2|.方法二設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)則y6x1，y6x2，yy6(x1x2)，又y1y22，3，所求直線的斜率k3，所求直線方程為y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，|P1P2|.題型三拋物線性質(zhì)的綜合應用命題角度1拋物線中的定點(定值)問題例3已知點A，B是拋物線y22px(p>0)上的兩點，且OAOB.(1)求兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；(2)求證：直線AB過定點(1)解設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有kOA，kOB.因為OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因為y2px1，y2px2，所以y1y20.因為y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)證明因為y2px1，y2px2，所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以kAB，故直線AB的方程為yy1(xx1)，所以yy1，即y.因為y2px1，y1y24p2，所以y，所以y(x2p)，即直線AB過定點(2p,0)反思感悟在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點問題，解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等，解決這類問題的關鍵是代換和轉(zhuǎn)化跟蹤訓練3如圖，過拋物線y2x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值證明方法一設AB的斜率為k，則AC的斜率為k.把直線AB的方程y2k(x4)與y2x聯(lián)立得y2k(y24)，即ky2y4k20.y2是此方程的一個解，2yB，yB，xBy，B.kACk，以k代替k代入B點坐標得C.kBC，為定值方法二設B(y，y1)，C(y，y2)，則kBC.kAB，kAC，由題意得kABkAC，則y1y24，則kBC，為定值命題角度2對稱問題例4在拋物線y24x上恒有兩點A，B關于直線ykx3對稱，求k的取值范圍解因為A，B兩點關于直線ykx3對稱，所以可設直線AB的方程為xkym.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直線AB的方程代入拋物線方程，得y24ky4m0，設AB的中點坐標為M(x0，y0)，則y02k，x02k2m.因為點M(x0，y0)在直線ykx3上，所以2kk(2k2m)3，即m.因為直線AB與拋物線y24x交于A，B兩點，所以16k216m>0，把m代入，化簡，得<0，所以<0.因為k2k32>0，所以<0，解得1<k<0.反思感悟軸對稱問題，一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上，二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關系跟蹤訓練4已知拋物線yx23上存在關于直線xy0對稱的相異兩點A，B，求A，B兩點間的距離解由題意可設l：yxb，把直線方程代入yx23中，得x2xb30.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，y1y2x1bx2b(x1x2)2b2b1.所以AB的中點坐標為，因為該點在直線xy0上所以0，得b1.所以|AB|x1x2|3.所以A，B兩點間的距離為3.與拋物線有關的最值問題典例求拋物線yx2上的點到直線4x3y80的最小距離考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線的綜合問題解方法一設A(t，t2)為拋物線上的點，則點A到直線4x3y80的距離d2.所以當t時，d有最小值.方法二如圖，設與直線4x3y80平行的拋物線的切線方程為4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.故最小距離為.素養(yǎng)評析(1)求拋物線上一點到定直線的距離的最值，最常見的解題思路：一是利用拋物線的標準方程進行消元代換，得到有關距離的含變量的代數(shù)式，以計算函數(shù)最值來解決二是轉(zhuǎn)化兩平行線間距離代入兩平行線間距離公式可求得(2)探究運算思路，選擇運算方法，能提升數(shù)學運算能力，同時促進數(shù)學思維發(fā)展，形成良好的數(shù)學運算素養(yǎng)1過點P(0,1)與拋物線y2x有且只有一個交點的直線有()A4條B3條C2條D1條答案B解析當斜率不存在時，過P(0,1)的直線是y軸，與拋物線y2x只有一個公共點當斜率存在時，設直線為ykx1.由消去y，得k2x2(2k1)x10，當k0時，符合題意；當k0時，令(2k1)24k20，得k.與拋物線只有一個交點的直線共有3條2已知點A(2,0)，拋物線C：x24y的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則|FM|MN|等于()A2B12C1D13答案C解析如圖所示，由拋物線定義知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由MHNFOA，則，故，則|MH|MN|1，即|MF|MN|1.3已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，設C的焦點為F，則直線BF的斜率為()A.B.C.D.答案D解析點A(2,3)在拋物線C：y22px的準線x上，2，p4，拋物線C：y28x.設直線AB的方程為xk(y3)2，將與y28x聯(lián)立，得y28ky24k160，令(8k)24(24k16)0，解得k2或k.當k時，切點在第四象限，與題意不符，舍去將k2代入，得即B(8,8)又F(2,0)，kBF.故選D.4過拋物線y24x的頂點O作互相垂直的兩弦OM，ON，則M的橫坐標x1與N的橫坐標x2之積為_答案16解析由已知設OM的斜率為k，則ON的斜率為.從而OM的方程為ykx，聯(lián)立方程解得M的橫坐標x1.同理可得N的橫坐標x24k2，可得x1x216.5已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線y2x4所得的弦長|AB|3，求此拋物線的方程解設所求拋物線方程為y2ax(a0)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得4x2(a16)x160，由(a16)2256>0，得a>0或a<32.又x1x2，x1x24，|AB|3，即545，a4或a36.所求拋物線的方程為y24x或y236x.求拋物線的方程常用待定系數(shù)法和定義法；直線和拋物線的弦長問題、中點弦問題及垂直、對稱等可利用判別式、根與系數(shù)的關系解決；拋物線的綜合問題要深刻分析條件和結(jié)論，靈活選擇解題策略，對題目進行轉(zhuǎn)化一、選擇題1與直線2xy40平行的拋物線yx2的切線方程為()A2xy30B2xy30C2xy10D2xy10答案D解析設直線方程為2xym0，由得x22xm0，44m0，m1，直線方程為2xy10.2已知圓C：(x2)2y2r2與拋物線D：y220x的準線交于A，B兩點，且|AB|8，則圓C的面積是()A5B9C16D25答案D解析拋物線D：y220x的準線方程為x5.圓C的圓心(2,0)到準線的距離d3.又由|AB|8，r2d2225，故圓C的面積S25，故選D.3已知拋物線y4x2上一點到直線y4x5的距離最短，則該點坐標為()A(1,2) B(0,0)C.D(1,4)答案C解析因為y4x2與y4x5不相交，設與y4x5平行的直線方程為y4xm.則即4x24xm0.設此直線與拋物線相切有0，即1616m0，m1.將m1代入式，得x，y1，所求點的坐標為.4已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|等于()A2B2C4D2答案B解析由題意設拋物線方程為y22px(p>0)，則點M到焦點的距離為xM23，p2，y24x.y428，|OM|2.5已知拋物線C：y28x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在拋物線C上，且|AK|AF|，則AFK的面積為()A4B8C16D32考點拋物線的定義題點拋物線定義的其他應用答案B解析易知F(2,0)，K(2,0)，過點A作AM垂直準線于點M，則|AM|AF|.|AK|AM|，AMK為等腰直角三角形設A(m2,2m)(m>0)，則AFK的面積S2m44m.又由|AK|AM|，得(m22)28m22(m22)2，解得m.AFK的面積S4m8.6直線ykx2交拋物線y28x于A，B兩點，若AB的中點的橫坐標為2，則k等于()A2或2B1C2D3答案C解析由題意知得k2x2(4k8)x40.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則2，即x1x24，x1x24，k2或1，經(jīng)判別式檢驗知k2符合題意7已知直線l：yk(x2)(k0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點，且A，B兩點在拋物線C準線上的射影分別是M，N，若|AM|2|BN|，則k的值是()A.B.C2D.答案D解析設拋物線C：y28x的準線為m：x2.直線yk(x2)(k>0)恒過定點P(2,0)，如圖，過點A，B分別作AMm于點M，BNm于點N.由|AM|2|BN|，得點B為AP的中點，連接OB，則|OB|AF|，|OB|BF|，點B的橫坐標為1，點B的坐標為(1,2)把B(1,2)代入直線l：yk(x2)(k>0)，解得k，故選D.二、填空題8平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x1的距離相等若機器人接觸不到過點P(1,0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是_答案(，1)(1，)解析由題意知機器人進行的軌跡為以F(1,0)為焦點，x1為準線的拋物線，其方程為y24x.設過點P(1,0)且斜率為k的直線方程為yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20.機器人接觸不到該直線，(2k24)24k4<0，k2>1，k>1或k<1.9拋物線焦點在y軸上，截得直線yx1的弦長為5，則拋物線的標準方程為_答案x220y或x24y解析設拋物線方程為x2ay(a0)，由得x2xa0.設直線與拋物線的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2a，|AB|5，得a20或4，經(jīng)檢驗，a20或4都符合題意拋物線方程為x220y或x24y.10已知拋物線y2x2上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關于直線yxm對稱若2x1x21，則2m的值是_答案3解析由題意，得k2(x2x1)1，x2x1.m，y1y2x1x22m，2x2x2m，即2(x1x2)24x1x22m，2m3.11拋物線x22py(p0)的焦點為F，其準線與雙曲線1相交于A，B兩點，若ABF為等邊三角形，則p_.答案6解析拋物線的焦點坐標為F，準線方程為y.代入1，得|x|.若ABF為等邊三角形，則tan，解得p236，p6.三、解答題12已知拋物線y2x與直線yk(x1)相交于A，B兩點(1)求證：OAOB；(2)當OAB的面積等于時，求k的值(1)證明如圖所示，由消去x，得ky2yk0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關系，得y1y21，y1y2.因為A，B在拋物線y2x上，所以yx1，yx2，所以yyx1x2.因為kOAkOB1，所以OAOB.(2)解設直線與x軸交于點N，顯然k0，令y0，得x1，即N(1,0)，因為SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，所以SOAB1.因為SOAB，所以，解得k.13在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的A，B兩點(1)如果直線l過拋物線的焦點，求的值；(2)如果4，證明直線l必過一定點，并求出該定點解(1)由題意知，拋物線的焦點為(1,0)，設l：xty1，代入拋物線方程y24x，消去x，得y24ty40.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24.所以x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)設l：xtyb，代入拋物線y24x，消去x，得y24ty4b0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24b.因為x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，解得b2，故直線l過定點(2,0)14如圖，已知點F為拋物線C：y24x的焦點，點P是其準線l上的動點，直線PF交拋物線C于A，B兩點若點P的縱坐標為m(m0)，點D為準線l與x軸的交點，則DAB的面積S的取值范圍為_答案(4，)解析由拋物線C：y24x可得焦點F(1,0)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線PF的方程為yk(x1)(k0)聯(lián)立方程組消去y，得k2x2(2k24)xk20，則x1x22，x1x21，|AB|.點D(1,0)到直線AB的距離d，Sd|AB|44，DAB的面積S的取值范圍為(4，)15已知F是拋物線y22px(p0)的焦點，點A(4,2)為拋物線內(nèi)一定點，點P為拋物線上一動點，|PA|PF|的最小值為8.(1)求拋物線的方程；(2)是否存在定點M，使過點M的動直線與拋物線交于B，C兩點(異于坐標原點)，且以BC為直徑的圓恰好過坐標原點？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由解(1)設拋物線的準線為l，過點P作PDl于點D，過A作AEl于點E(圖略)由拋物線的定義，知|PF|PD|，所以|PA|PF|PA|PD|AE|，當且僅當A，P，E三點共線時取等號由題意知|AE|8，即48，得p8，所以拋物線的方程為y216x.(2)假設存在點M，當直線BC的斜率存在時，設過點M的直線方程為ykxb.顯然k0，b0，設B(x1，y1)，C(x2，y2)，由以BC為直徑的圓恰好過坐標原點，得0，即x1x2y1y20，把ykxb代入y216x，得k2x22(bk8)xb20，由根與系數(shù)的關系，得又y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2bk(x1x2)b2，所以y1y2，所以0，得b16k.所以過點M的直線方程為ykx16kk(x16)，必過定點(16,0)當直線BC的斜率不存在時，直線x16交拋物線于B(16，16)，C(16,16)或B(16,16)，C(16，16)，仍然有0.綜上，存在點M(16,0)滿足條件