新編浙江高考數(shù)學理二輪專題訓練：第1部分 專題二 第4講 高考中的三角函數(shù)解答題型

考 點考 情三角恒等變換1.三角恒等變換是高考的熱點內(nèi)容，在解答題中多作為一種化簡工具考查，其中升冪公式、降冪公式、輔助角公式是考查的重點，如湖南T17等2.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高考考查的另一個熱點，側(cè)重于對函數(shù)yAsin(x)的周期性、單調(diào)性、對稱性以及最值等的考查，常與其他知識交匯以解答題的形式考查，難度中等，如安徽T16等3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的問題是高考的必考內(nèi)容在解答題中主要考查：(1)邊和角的計算；(2)面積的計算；(3)有關(guān)范圍的問題由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強，解三角形的實際應(yīng)用問題也常出現(xiàn)在高考解答題中，如重慶T20等.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)解三角形向量與三角函數(shù)的綜合問題解三角形的實際應(yīng)用1(20xx·湖南高考)已知函數(shù)f(x)sincos，g(x)2sin2.(1)若是第一象限角，且f()，求g()的值；(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合解：f(x)sincossin xcos xcos xsin xsin x，g(x)2sin21cos x.(1)由f()得sin .又是第一象限角，所以cos >0.從而g()1cos 11.(2)f(x)g(x)等價于sin x1cos x，即sin xcos x1.于是sin.從而2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合為.2(20xx·重慶高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a2b2 abc2.(1)求C；(2)設(shè)cos Acos B，求tan 的值解：(1)因為a2b2abc2，由余弦定理有cos C，故C.(2)由題意得.因此(tan sin Acos A)(tan sin Bcos B)，tan2sin Asin Btan (sin Acos Bcos Asin B)cos Acos B，tan2sin Asin Btan sin(AB)cos Acos B.因為C，AB，所以sin(AB)，因為cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，即sin Asin B，解得sin Asin B.由得tan25tan 40，解得tan 1或tan 4.3(20xx·江蘇高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值解：(1)證明：由題意得|ab|22，即(ab)2a22a·bb22.又因為a2b2|a|2|b|21，所以22a·b2，即a·b0，故ab.(2)因為ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此，得cos cos ()，由0<<，得0<<.又0<<，故.代入sin sin 1得，sin sin ，而>，所以，.1輔助角公式asin xbcos xsin(x)，其中tan .可利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間和周期2三角形的面積公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分別是邊a，b，c上的高)；(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B； (3)SABC(海倫公式)3解三角形常見問題(1)已知一邊和兩角解三角形；(2)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形；(3)已知兩邊及其夾角解三角形；(4)已知三邊解三角形；(5)三角形形狀的判定；(6)三角形的面積問題；(7)正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用熱點一三角變換與求值例1(20xx·北京高考)已知函數(shù)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值自主解答(1)因為f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，所以f(x)的最小正周期為，最大值為.(2)因為f()，所以sin1.因為，所以4，即4.故.在本例中，若F(x)f(x)·f(x)f2(x)，求F(x)的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間解：f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x，F(xiàn)(x)f(x)·f(x)f2(x)(cos 4xsin 4x)(cos 4xsin 4x)(sin 4xcos 4x)2cos 8x(12sin 4xcos 4x)cos 8xsin 8xsin，F(xiàn)(x)max.由2k8x2k，kZ，得kxk，kZ.故函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.1條件求值的一般思路(1)先化簡所求式子或所給條件；(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)；(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值2三角恒等變換的“五遇六想”(1)遇正切，想化弦；(2)遇多元，想消元；(3)遇差異，想聯(lián)系；(4)遇高次，想降次；(5)遇特角，想求值；(6)想消元，引輔角1已知向量a，b，函數(shù)f(x)2a·b為偶函數(shù)，且0，(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設(shè)x(0，)，f(x)1，求x的值解：(1)f(x)2sincos2cos2sin(2x)cos(2x)2sin.由f(x)為偶函數(shù)得k，kZ，k，kZ.又0，故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)2sin2cos 2x.(2)由f(x)1得cos 2x.又x(0，)，所以2x(0,2)，所以2x或2x，即x或.2設(shè)函數(shù)f(x)2sin xcos2cos xsin sin x(0<<)在x處取最小值(1)求的值；(2)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知a1，b，f(B)，求的值解：(1)f(x)2sin xcos2cos xsin sin xsin xcos xsin sin xcos cos xsin sin(x)，依題意，sin()1，0<<，.(2)由(1)知f(x)sin(x)sincos x，f(B)，cos B.0<B<，B.a1，b，由正弦定理，故sin A.a<b，A<B，0<A<，A.CAB.熱點二三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)例2(20xx·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x(0)，且yf(x)圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求的值；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值自主解答(1)f(x)sin2xsin xcos x·sin 2xcos 2xsin 2xsin.因為圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，又>0，所以4×，因此1.(2)由(1)知f(x)sin.當x時，2x，所以sin1.因此1f(x).故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，1.研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的常用方法(1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是在定義域內(nèi)，先化簡三角函數(shù)式，盡量化為yAsin(x)的形式，然后再求解(2)對于形如yasin xbcos x型的三角函數(shù)，要通過引入輔助角化為ysin(x)的形式來求3函數(shù)yAsin(x)的一段圖像如圖所示(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)將函數(shù)yf(x)的圖像向右平移個單位，得到y(tǒng)g(x)的圖像求直線y與函數(shù)yf(x)g(x)的圖像在(0，)內(nèi)所有交點的坐標解：(1)由題意知A2，T，于是2，將y2sin 2x的圖像向左平移個單位長度，得f(x)2sin 22sin.(2)依題意得g(x)2sin2cos.故yf(x)g(x)2sin2cos2sin.由2sin，得sin.0<x<，<2x<.2x或2x，x或x，所有交點的坐標為或.4已知函數(shù)f(x)(sin xcos x)·sinx，且函數(shù)yf(x)的圖像的一個對稱中心為.(1)求a的值和函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足，求函數(shù)f(A)的取值范圍解：(1)f(x)(sin xcos x)cos xsin 2xcos 2xsin.據(jù)題意，2·k，kZ，kZ，0<<，當k1時，.從而f(x)sin，故a.2kx2k，kZ，單調(diào)遞減區(qū)間是，kZ.(2)2sin Acos Bcos Bsin Csin Bcos C,2sin Acos Bsin(BC)，cos B，B.f(A)sin，0<A<，故<A<，1<f(A)<，即f(A).熱點三正弦、余弦定理及解三角形例3在ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面積S5，b5，求sin Bsin C的值自主解答(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因為0<A<，所以A.(2)由Sbcsin Abc·bc5，得bc20.又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理得sin Bsin Csin A·sin Asin2A×.保持本例條件不變，若a6，bc8，求ABC的面積解：由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面積公式Sbcsin A，得ABC的面積為. 三角形的基本量的求法(1)先將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，若要把“邊”化為“角”，常利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，若要把“角”化為“邊”，常利用sin A，sin B，sin C，cos C等；(2)然后利用三角形的內(nèi)角和定理、大邊對大角等知識求出三角形的基本量5設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(abc)·(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C.解：(1)因為(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，因此B120°.(2)由(1)知AC60°，所以cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sin Asin C2×，故AC30°或AC30°，因此C15°或C45°.6設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9.解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理得sin A.因為ac，所以A為銳角，所以cos A .因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.