2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.2 證明不等式的基本方法導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

2.2 證明不等式的基本方法學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解綜合法與分析法證明不等式的思考過程與特點(diǎn)2會用綜合法、分析法證明簡單的不等式一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。二、合作探究探究1如何理解分析法尋找的是充分條件？探究2綜合法與分析法有何異同點(diǎn)？1.綜合法證明不等式(1)用綜合法證明不等式需要把“從已知出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證不等式得證”的全過程寫出來，其特點(diǎn)可描述為“由因?qū)Ч笨蓤D示為.圖中P表示已知或已有的定義、定理、性質(zhì)等，Q為要證的結(jié)論(2)綜合法證明時(shí)常用的不等式：a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取等號)，(a，bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取等號)，a20，|a|0，(ab)20，2(ab>0)2分析法證明不等式(1)當(dāng)證明題不知從何入手時(shí)，可以用分析法而獲得解決它從待證的結(jié)論入手，步步尋求結(jié)論成立的充分條件，直至這個(gè)充分條件是顯然成立的(2)用分析法證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：欲證B成立，只需證B1成立，只需證B2成立，只需證A成立，而A已知成立，從而知“若A則B”為真(3)用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：BB1B2BnA.3分析綜合法證明不等式一般來說，對于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易下手，因而常用分析法尋求解題途徑，然后用綜合法進(jìn)行證明還有些不等式的證明，需一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法(或兩頭湊法)分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提，相互滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn).【例1】已知a，b，c均為正數(shù)，且abc1，求證：8.【變式訓(xùn)練1】已知a>0，b>0，c>0，求證：.【例2】已知a>b>0，求證：<<.(2)不等式兩邊需平方或開方時(shí)，不等式兩邊必須是非負(fù)數(shù)【變式訓(xùn)練2】已知a，bR，2c>ab，求證：(1)c2>ab；(2)c<a<c.【例3】ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其角A，B，C的對邊分別為a，b，c，求證：(ab)1(bc)13(abc)1. 【變式訓(xùn)練3】已知a>0，b>0，且ab1.求證： 2. 參考答案探究1 【提示】用分析法證明，其敘述格式是：要證明A，只需證明B.即說明只要有B成立，就一定有A成立因此分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件分析法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“正難則反”的原則，也是思維中的逆向思維，逆求(不是逆推)結(jié)論成立的充分條件探究2【提示】綜合法與分析法的異同點(diǎn)方法證明的起始步驟證法過程前后邏輯關(guān)系證題方向綜合法已知條件或已學(xué)過的定義、定理、性質(zhì)等格式：AB1B2BnB由已知條件開始推導(dǎo)其成立的必要條件(結(jié)論)由因?qū)Ч治龇ㄒC明的結(jié)論格式：BB1B2BnA由結(jié)論開始探索其成立的充分條件(已知)執(zhí)果索因【例1】用綜合法證明如下【證明】a，b，c均為正數(shù)，abc1，12.同理12，12.由于上面三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得8當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號【變式訓(xùn)練1】證明a>0，b>0，c>0，2 .同理，.以上三個(gè)不等式相加，得2.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號【例2】【證明】a>b>0，要證<<，只需證<ab2<，即證<()2<，即證<<，即證<2<，即證1<2<1，即證 <1< .a>b>0，>1,0<<1. >1, <1成立<<成立【變式訓(xùn)練2】證明(1)2c>ab，a>0，b>0，4c2>(ab)2a2b22ab2ab2ab4ab.c2>ab.(2)要證c<a<c，只需證<ac<，只需證|ac|<，只需證|ac|2<()2，即證a22acc2<c2ab，即證a2ab<2ac.a>0，只需證ab<2c.這是題設(shè)條件，顯然成立，故原不等式成立【例3】【證明】要證(ab)1(bc)13(abc)1成立，即證成立，即證3，即3，即證1，又需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即c2a2b2ac.又ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B，由余弦定理cosB，所以a2c2b2ac，所以原命題成立 【變式訓(xùn)練3】證明要證 2，只需證ab24，即證 1，只需證ab(ab)1，只需證ab.a>0，b>0，ab1，ab2.原不等式成立