（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 2.9 函數(shù)模型及其應用講義 理.doc

第九節(jié)函數(shù)模型及其應用1幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b為常數(shù)，a0)“對勾”函數(shù)模型f(x)x(a0)2三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當xx0時，有l(wèi)ogaxxnax對勾函數(shù)yx(a0)在(，和，)上單調(diào)遞增，在，0)和(0，上單調(diào)遞減.當x0時，x時取最小值2；當 x0時，x時取最大值2. (1)當描述增長速度變化很快時，選用指數(shù)函數(shù)模型(2)當要求不斷增長，但又不會增長過快，也不會增長到很大時，選用對數(shù)函數(shù)模型(3)冪函數(shù)模型yxn(n0)可以描述增長幅度不同的變化，當n值較小(n1)時，增長較慢；當n值較大(n1)時，增長較快.小題查驗基礎(chǔ)一、判斷題(對的打“”，錯的打“”)(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利()(2)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)在(0，)上，隨著x的增大，yax(a1)的增長速度會超過并遠遠大于yxa(a0)的增長速度()(5)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)yabxc(a0，b0，b1)增長速度越來越快的形象比喻()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、選填題1下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A一次函數(shù)模型B冪函數(shù)模型C指數(shù)函數(shù)模型 D對數(shù)函數(shù)模型解析：選A根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1，函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型2小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛與以上事件吻合得最好的圖象是()解析：選C小明勻速行駛時，圖象為一條直線，且距離學校越來越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.故選C.3某種細菌在培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂一次(由一個分裂成兩個)，這種細菌由1個繁殖成4 096個需經(jīng)過_小時解析：設需經(jīng)過t小時，由題意知24t4 096，即16t4 096，解得t3.答案：34某城市客運公司確定客票價格的方法是：如果行程不超過100 km，票價是0.5元/km；如果超過100 km，超過100 km的部分按0.4元/km定價，則客運票價y(元)與行程千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是_解析：由題意可得y答案：y5生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬元)一萬件售價是20萬元，為獲取最大利潤，該企業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為_萬件解析：設利潤為L(x)，則利潤L(x)20xC(x)(x18)2142，當x18時，L(x)有最大值答案：18典例精析加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為_分鐘解析根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡得解得所以p0.2t21.5t222，所以當t3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘答案3.75解題技法求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)(3)利用該模型求解實際問題過關(guān)訓練1某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)已知某家庭2018年前三個月的煤氣費如表：月份用氣量煤氣費一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費為()A11.5元B11元C10.5元 D10元解析：選A根據(jù)題意可知f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得A5，B，C4，所以f(x)所以f(20)4(205)11.5.2某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：Q8 300170pp2，則最大毛利潤為(毛利潤銷售收入進貨支出)()A30元B60元C28 000元 D23 000元解析：選D設毛利潤為L(p)元，則由題意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)當p(0,30)時，L(p)0，當p(30，)時，L(p)0，故L(p)在p30時取得極大值，即最大值，且最大值為L(30)23 000.分類例析類型(一)構(gòu)建一、二次函數(shù)模型例1某企業(yè)為打入國際市場，決定從A，B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表(單位：萬美元)：項目類別年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A產(chǎn)品20m10200B產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原料價格決定，預計m6,8，另外，年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅，假設生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當年銷售出去(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2與生產(chǎn)相應產(chǎn)品的件數(shù)x1，x2之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明定義域；(2)如何投資才可獲得最大年利潤？請你做出規(guī)劃解(1)由題意得y110x1(20mx1)(10m)x120(0x1200且x1N)，y218x2(408x2)0.05x0.05x10x2400.05(x2100)2460(0x2120且x2N)(2)6m8，10m0，y1(10m)x120為增函數(shù)又0x1200，x1N，當x1200時，生產(chǎn)A產(chǎn)品的最大利潤為(10m)200201 980200m(萬美元)y20.05(x2100)2460(0x2120，且x2N)，當x2100時，生產(chǎn)B產(chǎn)品的最大利潤為460萬美元(y1)max(y2)max(1 980200m)4601 520200m.易知當6m7.6時，(y1)max(y2)max.即當6m7.6時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤；當m7.6時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件或投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件，均可獲得最大年利潤；當7.6m8時，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤解決一、二次函數(shù)模型問題的3個注意點(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯；(2)確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法；(3)解決函數(shù)應用問題時，最后要還原到實際問題 類型(二)構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型例2(1)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年B2019年C2020年 D2021年(2)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是()A16小時 B20小時C24小時 D28小時解析(1)設第n(nN*)年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元根據(jù)題意得130(112%)n1200，則lg130(112%)n1lg 200，lg 130(n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.050.30，解得n，又nN*，n5，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2020年故選C.(2)由已知得192eb，48e22kbe22keb，將代入得e22k，則e11k，當x33時，ye33kbe33keb319224，所以該食品在33 的保鮮時間是24小時故選C.答案(1)C(2)C指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型的應用技巧(1)要先學會合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題 類型(三)構(gòu)建yax的函數(shù)模型例3某養(yǎng)殖場需定期購買飼料，已知該場每天需要飼料200千克，每千克飼料的價格為1.8元，飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元求該場多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少解設該場x(xN*)天購買一次飼料可使平均每天支付的總費用最少，平均每天支付的總費用為y元因為飼料的保管費與其他費用每天比前一天少2000.036(元)，所以x天飼料的保管費與其他費用共是6(x1)6(x2)6(3x23x)(元)從而有y(3x23x300)2001.83x357417，當且僅當3x，即x10時，y有最小值故該場10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少應用函數(shù)f(x)ax模型的關(guān)鍵點(1)明確對勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)ax與反比例函數(shù)f(x)疊加而成的(2)解決實際問題時一般可以直接建立f(x)ax的模型，有時可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)ax的形式(3)利用模型f(x)ax求解最值時，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時等號成立的條件 類型(四)構(gòu)建分段函數(shù)模型例4某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？解(1)當x6時，y50x115，令50x1150，解得x2.3，x為整數(shù)，3x6，xZ.當x6時，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，結(jié)合x為整數(shù)得6x20，xZ.f(x)(2)對于y50x115(3x6，xZ)，顯然當x6時，ymax185；對于y3x268x11532(6x20，xZ)，當x11時，ymax270.270185，當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多解決分段函數(shù)模型問題的3個注意點(1)實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應構(gòu)建分段函數(shù)模型求解；(2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準確、簡捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者. 共性歸納建立函數(shù)模型解應用題的4步驟審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型建模將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型求模求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論還原將利用數(shù)學知識和方法得出的結(jié)論，還原到實際問題中過關(guān)訓練1.某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元一個月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時間t(分鐘)與打出電話費s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當通話150分鐘時，這兩種方式電話費相差()A10元 B20元C30元 D.元解析：選A設A種方式對應的函數(shù)解析式為sk1t20，B種方式對應的函數(shù)解析式為sk2t，當t100時，100k120100k2，化簡得k2k1.當t150時，150k2150k1201502010(元)2某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤y(百萬元)與年投資成本x(百萬元)變化的一組數(shù)據(jù)：年份2015201620172018投資成本x35917年利潤y1234給出以下3個函數(shù)模型：ykxb(k0)；yabx(a0，b0，且b1)；yloga(xb)(a0，且a1)(1)選擇一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系；(2)試判斷該企業(yè)年利潤超過6百萬元時，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型解：(1)將(3,1)，(5,2)代入ykxb(k0)，得解得yx.當x9時，y4，不符合題意；將(3,1)，(5,2)代入yabx(a0，b0，且b1)，得解得yx2.當x9時，y28，不符合題意；將(3,1)，(5,2)代入yloga(xb)(a0，且a1)，得解得ylog2(x1)當x9時，ylog283；當x17時，ylog2164.故可用來描述x，y之間的關(guān)系(2)令log2(x1)6，則x65.年利潤10%，該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型 1某品牌電視新品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷售y(單位：臺)與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()Ay100xBy50x250x100Cy502x Dy100log2x100解析：選C根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應為指數(shù)型函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)驗證即可，故選C.2某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對于進價)，則該家具的進價是()A118元 B105元C106元 D108元解析：選D設進價為a元，由題意知132(110%)a10%a，解得a108.故選D.3(2018北京石景山聯(lián)考)小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點A出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點B跑到點C，共用時30 s，他的教練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程，設小明跑步的時間為t(s)，他與教練間的距離為y(m)，表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的()A點M B點NC點P D點Q解析：選D假設這個位置在點M，則從A至B這段時間，y不隨時間的變化改變，與函數(shù)圖象不符，故A選項錯誤；假設這個位置在點N，則從A至C這段時間，A點與C點對應y的大小應該相同，與函數(shù)圖象不符，故B選項錯誤；假設這個位置在點P，則由函數(shù)圖象可得，從A到C的過程中，會有一個時刻，教練到小明的距離等于經(jīng)過30 s時教練到小明的距離，而點P不符合這個條件，故C選項錯誤；經(jīng)判斷點Q符合函數(shù)圖象，故D選項正確，選D.4(2019洛陽模擬)某校為了規(guī)范教職工績效考核制度，現(xiàn)準備擬定一函數(shù)用于根據(jù)當月評價分數(shù)x(正常情況下0x100，且教職工平均月評價分數(shù)在50分左右，若有突出貢獻可以高于100分)計算當月績效工資y(元)要求績效工資不低于500元，不設上限，且讓大部分教職工績效工資在600元左右，另外績效工資越低或越高時，人數(shù)要越少則下列函數(shù)最符合要求的是()Ay(x50)2500 By10500Cy(x50)3625 Dy5010lg(2x1)解析：選C由題意知，擬定函數(shù)應滿足：是單調(diào)遞增函數(shù)，且增長速度先快后慢再快；在x50左右增長速度較慢，最小值為500.A中，函數(shù)y(x50)2500先減后增，不符合要求；B中，函數(shù)y10500是指數(shù)型函數(shù)，增長速度是越來越快，不符合要求；D中，函數(shù)y5010lg(2x1)是對數(shù)型函數(shù)，增長速度是越來越慢，不符合要求；而C中，函數(shù)y(x50)3625是由函數(shù)yx3經(jīng)過平移和伸縮變換得到的，符合要求故選C.5(2019邯鄲名校聯(lián)考)某企業(yè)準備投入適當?shù)膹V告費對甲產(chǎn)品進行促銷宣傳，在一年內(nèi)預計銷售量y(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為y1(x0)已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元，且能全部售完. 若每件甲產(chǎn)品售價(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費的50%”之和，則當廣告費為1萬元時，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為()A30.5萬元 B31.5萬元C32.5萬元 D33.5萬元解析：選B由題意，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y4)萬元，銷售單價為150%50%，故年銷售收入為zy45y6x.年利潤Wz(30y4)x15y217(萬元)當廣告費為1萬元時，即x1，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為1731.5(萬元)故選B.6擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)1.06(0.5m1)給出，其中m0，m是不超過m的最大整數(shù)(如33，3.73，3.13)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為_元解析：m6.5，m6，則f(m)1.06(0.561)4.24.答案：4.247(2019唐山模擬)某人計劃購買一輛A型轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車每年的保險費、汽油費、車檢費、停車費等約需2.4萬元，同時汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價值的10%)，試問，大約使用_年后，用在該車上的費用(含折舊費)達到14.4萬元解析：設使用x年后花費在該車上的費用達到14.4萬元，依題意可得，14.4(10.9x)2.4x14.4.化簡得x60.9x0.令f(x)x60.9x，易得f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，又f(3)1.3740，f(4)0.063 40，所以函數(shù)f(x)在(3,4)上有一個零點故大約使用4年后，用在該車上的費用達到14.4萬元答案：48.某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形ABCD，腰與底邊夾角為60(如圖)，考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其橫斷面面積為9平方米，且高度不低于米記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5米，則其腰長x的取值范圍為_解析：根據(jù)題意知，9(ADBC)h，其中ADBC2BCx，hx，所以9(2BCx)x，得BC，由得2x6.所以yBC2x(2x6)，由y10.5，解得3x4.因為3,4 2,6)，所以腰長x的取值范圍為3,4答案：3,49.如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE4米，CD6米為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上(1)設MPx米，PNy米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值解：(1)如圖，作PQAF于Q，所以PQ8y，EQx4，在EDF中，所以，所以yx10，定義域為x|4x8(2)設矩形BNPM的面積為S，則S(x)xyx(x10)250，所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為直線x10，所以當x4,8時，S(x)單調(diào)遞增，所以當x8時，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米10近年來，某企業(yè)平均每年繳納的電費約24萬元，為了節(jié)能減排，決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設備接入本企業(yè)電網(wǎng)，安裝這種供電設備的費用(單位：萬元)與太陽能電池板的面積(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電，安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式假設在此模式下，安裝后該企業(yè)平均每年繳納的電費C(單位：萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積x(單位：平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)(x0，k為常數(shù)) .記y為該企業(yè)安裝這種太陽能供電設備的費用與該企業(yè)今后15年共將繳納的電費之和(1)試解釋C(0)的實際意義，并建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當x為多少時，y取得最小值？最小值是多少萬元？解：(1)C(0)的實際意義是安裝這種太陽能電池板的面積為0時該企業(yè)平均每年繳納的電費，即未安裝太陽能供電設備時，該企業(yè)平均每年繳納的電費由C(0)24，得k2 400，所以y150.5x0.5x(x0)(2)因為y0.5(x5)2.522.557.5，當且僅當0.5(x5)，即x55時取等號，所以當x為55時，y取得最小值，最小值為57.5萬元11選做題某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運中心，擬引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本p(x)萬元(1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？(2)現(xiàn)按(1)中的數(shù)量購買機器人，需要安排m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀，經(jīng)實驗知，每臺機器人的日平均分揀量q(m)(單位：件)，已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1 200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少百分之幾？解：(1)由總成本p(x)萬元，可得每臺機器人的平均成本yx1212.當且僅當x，即x300時，上式等號成立若使每臺機器人的平均成本最低，應買300臺(2)引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量q(m)當1m30時，300臺機器人的日平均分揀量為160m(60m)160m29 600m，當m30時，日平均分揀量有最大值144 000件當m30時，日平均分揀量為480300144 000(件)300臺機器人的日平均分揀量的最大值為144 000件若傳統(tǒng)人工分揀144 000件，則需要人數(shù)為120(人)日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少100%75%.