新版高考數(shù)學(xué)三輪講練測核心熱點總動員新課標(biāo)版 專題21 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)大題 Word版含解析

1 1 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標(biāo)全國】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y＝4x+2 （Ⅰ）求a，b，c，d的值 （Ⅱ）若x≥－2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍. 【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解；（2）構(gòu)造函數(shù)“”，對k的取值范圍進(jìn)行分類討論，進(jìn)而得到答案. 2.【20xx新課標(biāo)全國】已知函數(shù)，曲線在點處切線方程為. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）討論的單調(diào)性，并求的極大值. 【答案】（1），，故，解得； （2），；令，所以或，所以當(dāng)變化時，、變化如下表所示： + 0 - 0 + 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以極大值. 3.【20xx高考全國1】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為 （I）求 （II）證明： 4.【20xx高考全國1文】設(shè)函數(shù)，曲線處的切線斜率為0 （1） 求b; （2） 若存在使得，求a的取值范圍. 【解析】（1），由題設(shè)知，解得. （2）的定義域為，由（1）知，， 5.【20xx全國卷1理】已知函數(shù)． (Ⅰ) 當(dāng)為何值時，軸為曲線的切線； (Ⅱ) 用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點的個數(shù)． 【解析】（Ⅰ）設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點，則，，即 解得，． 因此，當(dāng)時，x軸為曲線y=f(x)的切線方程． （Ⅱ）①當(dāng)時，，從而，無零點． ②當(dāng)時， （ⅰ）若，則，，故是的零點；（ⅱ）若，則，，故不是的零點． ③當(dāng)，，所以只需考慮在的零點個數(shù)． （?。┤艋?，則在無零點，故在單增．，，所以時，在有一個零點；當(dāng)時，在沒有零點． （ⅱ）若，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在中，當(dāng)時，有最小值，最小值為． 若，即，在沒有零點； 若，即，在有唯一零點； 若，即，由于，，所以當(dāng)時，在有兩個零點；當(dāng)時，在有一個零點． 綜上，當(dāng)或時，有一個零點；當(dāng)或時，有兩個零點；當(dāng)時，有三個零點． 6.【20xx全國卷1文】已知函數(shù)． (Ⅰ) 討論的導(dǎo)函數(shù)零點個數(shù)； (Ⅱ) 證明：當(dāng)時，． 7.【20xx全國卷2理】設(shè)函數(shù)． (Ⅰ) 證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增； (Ⅱ) 若對于任意，都有，求m的取值范圍． 【解析】 （Ⅰ） 若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，； 若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，． 所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意的在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值，所以對于任意的充要條件是 即 ① 設(shè)函數(shù)，則 當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 又，故當(dāng)時， 當(dāng)時，，即①式成立； 當(dāng)時，由的單調(diào)性，，即； 當(dāng)時，，即． 綜上，的取值范圍是． 8.【20xx全國卷2文】已知函數(shù)． (Ⅰ) 討論函數(shù)的遞增性； (Ⅱ) 當(dāng)有最大值，且最大值大于時，求a的取值范圍． 【熱點深度剖析】 20xx年高考理科考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的分類討論能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想；文科考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，考查學(xué)生的基本推理能力. 20xx年理科高考考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，.突出考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題、解決問題的能力；文科考查了求曲線的切線方程，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運用，考查學(xué)生的分類討論能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，突出考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題、解決問題的能力.20xx年文理4份試卷分別涉及到切線、零點、單調(diào)性、最值、不等式證明、恒成立問題.近三年的高考試題基本上形成了一個模式，第一問求解函數(shù)的解析式，以切線方程、極值點或者最值、單調(diào)區(qū)間等為背景得到方程進(jìn)而確定解析式，或者給出解析式探索函數(shù)的最值、極值、單調(diào)區(qū)間等問題，較為簡單；第二問均為和不等式相聯(lián)系，考查不等式恒成立問題、證明不等式等綜合問題，難度較大. 從近幾年的高考試題來看，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題已成為炙手可熱的考點，既有小題，也有解答題，小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，解答題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，或方程、不等式的綜合應(yīng)用．預(yù)測20xx年高考函數(shù)大題以對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，反比例函數(shù)以及一次函數(shù)，二次函數(shù)中的兩個或三個為背景，組合成一個函數(shù)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值及切線，與不等式結(jié)合考查恒成立問題． 【重點知識整合】 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量時，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即. 注意：在定義式中，設(shè)，則，當(dāng)趨近于時，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成 . 導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點的處瞬時變化率，它反映的函數(shù)在點處變化的快慢程度. 它的幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率.因此，如果在點可導(dǎo)，則曲線在點（）處的切線方程為 注意：“過點的曲線的切線方程”與“在點處的切線方程”是不相同的，后者必為切點，前者未必是切點. 導(dǎo)數(shù)的物理意義： 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是物體的運動方程在點時刻的瞬時速度，即 4．幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(為常數(shù))；()； ； ；； ； ； . 5.求導(dǎo)法則： 法則： ； 法則： , ； 法則： . 6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點的對應(yīng)點處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點x處也有導(dǎo)數(shù)，且 或 7.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù),該區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間；若，那么函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，該區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間. 2.利用導(dǎo)數(shù)研究多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟: 求;確定在內(nèi)符號; 若在上恒成立，則在上是增函數(shù)；若在上恒成立，則在上是減函數(shù) 8. 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極（最）值 1.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值，記作極大值，是極大值點. 2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有就說是函數(shù)的一個極小值，記作極小值，是極小值點. 3.極值：極大值與極小值統(tǒng)稱為極值在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請注意以下幾點： （）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小. （）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極xs大值或極小值可以不止一個. （）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而>. （）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點. 4.當(dāng)在點連續(xù)時，判別是極大、極小值的方法: 若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點，是極小值. 5.求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟: 確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)；求方程的根； 用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么在這個根處無極值.如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點是否是極值點 . 9.函數(shù)的最大值和最小值: 一般地，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值． 注意：在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值； 函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的． 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件． 函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個. 10.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下： 求在內(nèi)的極值； 將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p. 【應(yīng)試技巧點撥】 1.利用導(dǎo)數(shù)求切線問題中的“在”與“過” 在解決曲線的切線問題時，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率是非常重要的一類方法.在求解過程中特別注意：曲線在某點處的切線若有則只有一條，曲線過某點的要切線往往不止一條；切線與曲線的公共點不一定只有一個.因此在審題時應(yīng)首先判斷是“在”還是“過”.若“在”，利用該點出的導(dǎo)數(shù)為直線的斜率，便可直接求解；若“過”，解決問題關(guān)鍵是設(shè)切點，利用“待定切點法”,即：設(shè)點A（x,y）是曲線上的一點，則以A為切點的切線方程為 y－y=f,再根據(jù)題意求出切點. ２．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在其單調(diào)性研究的作用：(1)當(dāng)函數(shù)在一個指定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)時，需要這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)不改變符號(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，當(dāng)函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)不單調(diào)時，這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)一定變號，如果導(dǎo)數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線，這個導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)一定存在變號的零點，可以把問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)零點的研究． (2)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，在函數(shù)解析式中若含有字母參數(shù)時要進(jìn)行分類討論，這種分類討論首先是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行，其次要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點在其定義域內(nèi)的情況進(jìn)行，如果這樣的點不止一個，則要根據(jù)字母參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時，導(dǎo)數(shù)等于零的根的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后在分類解決問題后要整合一個一般的結(jié)論．　在利用“若函數(shù)單調(diào)遞增，則”求參數(shù)的范圍時，注意不要漏掉“等號”． ３．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值：(1)確定定義域． (2)求導(dǎo)數(shù)． (3)①若求極值，則先求方程的根，再檢驗在方程根左、右值的符號，求出極值．(當(dāng)根中有參數(shù)時要注意分類討論根是否在定義域內(nèi)) ②若已知極值大小或存在的情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程根的大小或存在情況，從而求解． ４．求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟 (1)求函數(shù)在內(nèi)的極值； (2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． ５.利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問題 不等式在某區(qū)間的恒成立問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問題來解決，函數(shù)的最值問題的求解，利用求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性是常規(guī)途徑，例如：①為增函數(shù)（為減函數(shù)）.②在區(qū)間上是增函數(shù)≥在上恒成立；在區(qū)間上為減函數(shù)≤在上恒成立. ６.利用導(dǎo)數(shù)，如何解決函數(shù)與不等式大題 在高考題的大題中，每年都要設(shè)計一道函數(shù)大題. 在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類型是研究在一個區(qū)間上恒成立的不等式(實際上就是證明這個不等式)，研究不等式在一個區(qū)間上成立時不等式的某個參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個區(qū)間上的根的個數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識已經(jīng)無能為力，就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行解決．使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數(shù)．因為導(dǎo)數(shù)的引入，為函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結(jié)合點，不清楚解決技巧.解題技巧總結(jié)如下 （1）樹立服務(wù)意識：所謂“服務(wù)意識”是指利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)（一般第一問先讓解決出來），如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問要證明的不等式. （2）強(qiáng)化變形技巧：所謂“強(qiáng)化變形技巧”是指對于給出的不等式直接證明無法下手，可考慮對不等式進(jìn)行必要的等價變形后，再去證明.例如采用兩邊取對數(shù)（指數(shù)），移項通分等等.要注意變形的方向：因為要利用函數(shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式. （3）巧妙構(gòu)造函數(shù)：所謂“巧妙構(gòu)造函數(shù)”是指根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值進(jìn)行解決.在構(gòu)造函數(shù)的時候靈活多樣，注意積累經(jīng)驗，體現(xiàn)一個“巧妙”. 【考場經(jīng)驗分享】 1．利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性需注意的幾個問題 (1)確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． (2)在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點或不可導(dǎo)點． (3)注意在某一區(qū)間內(nèi)(或)是函數(shù)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件． 2．可導(dǎo)函數(shù)的極值 (1)極值是一個局部性概念，一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個極大值和極小值，在某一點的極小值也可能大于另一點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系． (2)若在內(nèi)有極值，那么在內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值． 3.如果一個函數(shù)單調(diào)性相同的區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用“∪”連接，只能用逗號或“和”字隔開，如把增區(qū)間寫為“(－∞，－)∪(1，＋∞)”是不正確的，因為“(－∞，－)∪(1，＋∞)”不是一個區(qū)間，該函數(shù)在(－∞，－)∪(1，＋∞)上不是單調(diào)遞增的． ４．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的類型：(1)不等式恒成立：基本思路就是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或函數(shù)值域的端點值問題． (2)比較兩個數(shù)的大?。阂话愕慕鉀Q思路是把兩個函數(shù)作差后構(gòu)造一個新函數(shù)，通過研究這個函數(shù)的函數(shù)值與零的大小確定所比較的兩個函數(shù)的大小． (3)證明不等式：對于只含有一個變量的不等式都可以通過構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和極值解決． ５.函數(shù)的解答題，一般放在最后一道題的位置，難度較大，尤其是第二問，與不等式聯(lián)系，是拉開分?jǐn)?shù)的試題，故關(guān)于此題，要端正好心態(tài)，對于第一問一般不難，是學(xué)生必須帶分的部分，做題要仔細(xì)，特別是與單調(diào)區(qū)間有關(guān)，首先要考慮定義域，另外，求導(dǎo)要準(zhǔn)確，這是基礎(chǔ)；對于第二問，往往需要通過不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性最值，然后達(dá)到證明不等式的基本模式. 【名題精選練兵篇】 1.【20xx屆江蘇省南師附中等四校高三聯(lián)考】設(shè)，函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在點處的切線方程為． （1）求實數(shù)的值； （2）求證:函數(shù)存在極小值； （3）若，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍． 【解析】（1）∵，∴， 由題設(shè)得：，∴ （2）由（1）得，∴， ∴，∴函數(shù)在是增函數(shù)， ∵，且函數(shù)圖像在上不間斷， ∴，使得， 結(jié)合函數(shù)在是增函數(shù)有： ∴函數(shù)存在極小值 ∴， ∴， ∴在內(nèi)單調(diào)遞增． ∴， 結(jié)合（*）有， 即實數(shù)的取值范圍為 2．【20xx屆湖北省龍泉中學(xué)等校高三9月聯(lián)考】 定義在上的函數(shù)及二次函數(shù)滿足: ,，且的最小值是. （Ⅰ）求和的解析式; （Ⅱ）若對于，均有成立，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）設(shè)討論方程的解的個數(shù)情況. (Ⅱ)設(shè),, 依題意知:當(dāng)時, ∵,在上單調(diào)遞增, ，解得， 實數(shù)的取值范圍是； (Ⅲ) 圖像解法：的圖象如圖所示: 令,則 而有兩個解, 有個解. 有個解. 代數(shù)解法：令,則 3．【20xx屆陜西省西北工大附中高三第四次適應(yīng)性考試】已知函數(shù)和直線． （1）當(dāng)曲線在點處的切線與直線垂直時，求原點到直線的距離； （2）若對于任意的恒成立，求的取值范圍； （3）求證：． 【解析】（1） ∴，于是，直線的方程為 原點到直線的距離為． （3）由（2）知，當(dāng)時，時，成立， 不妨令， 所以， 累加可得 ， 4．【20xx屆河南省洛陽市一中高三下學(xué)期第二次模擬】設(shè)函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù). （1）若曲線在點 處的切線方程為，求實數(shù)的值； （2）當(dāng)時，若存在 ，使成立，求實數(shù)的最小值. ① 當(dāng)時，在上為減函數(shù)，則，故. ② 當(dāng)時，由于在上的值域為. 當(dāng)時，在恒成立，故在上為增函數(shù)， 于是，不合題意. 當(dāng)即時，由的單調(diào)性和值域知，存在唯一使 ，且滿足：當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時， ，為增函數(shù)；所以，. 所以，與矛盾. 綜上得的最小值為. 5．【20xx屆江蘇鹽城三?！恳阎瘮?shù)（）. （1）若函數(shù)的最小值為，求的值； （2）設(shè)函數(shù)，試求的單調(diào)區(qū)間； （3）試給出一個實數(shù)的值，使得函數(shù)與的圖象有且只有一條公切線，并說明此時兩函數(shù)圖象有且只有一條公切線的理由. （2）由題意，得， 則， ①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； ②當(dāng)時，由，得或， 綜上所述，的單調(diào)區(qū)間如下： ①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增； ②當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減； ③當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為與； ④當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為與. （3）符合題意. 理由如下：此時. 設(shè)函數(shù)與上各有一點，， 則以點為切點的切線方程為， 以點為切點的切線方程為， 6．【20xx屆湖北省沙市中學(xué)高三下第三次半月考】設(shè)函數(shù)f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為0. （1）求b； （2）若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范圍． 【解析】（1）(x)＝＋(1－a)x－b.由題設(shè)知(1)＝0，解得b＝1， （2）f(x)的定義域為(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x， (x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)． （i）若a≤，則≤1，故當(dāng)x∈(1，＋∞)時，(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要條件為f(1)<，即－1<，解得－－1<a<－1. 7．【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】已知函數(shù)． （1）若，求函數(shù)的最大值； （2）令，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）若，正實數(shù)滿足，證明： 【解析】（１）因為，所以，此時，， 由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 故當(dāng)時函數(shù)有極大值，也是最大值，所以的最大值為 （2）， 所以． 當(dāng)時，因為，所以． 所以在上是遞增函數(shù)， 當(dāng)時，， 令，得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，， 因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)． 綜上，當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間； 當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是 8．【20xx屆遼寧省沈陽東北育才學(xué)校高三二模】已知函數(shù)：. （Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅱ）若對于任意的，若函數(shù)在區(qū)間上有最值，求實數(shù)的取值范圍. 【解析】（Ⅰ）由已知得的定義域為， 且 ， 當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為； 當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間； （Ⅱ） 在區(qū)間上有最值， 在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)， 又 9．【20xx屆青海省平安一中高三4月月考】已知函數(shù)有極小值. （1）求實數(shù)的值； （2）若，且對任意恒成立，求的最大值. 【解析】（1），令，令 故的極小值為，得 (2) 當(dāng)時，令， 令，故在上是增函數(shù). 由于存在,使得. 則，知為減函數(shù)；知為增函數(shù), 又. 10．【20xx屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一?！吭O(shè)為實數(shù)，函數(shù). （1）當(dāng)時，求在上的最大值； （2）設(shè)函數(shù)當(dāng)有兩個極值點時，總有，求實數(shù)的值（為的導(dǎo)函數(shù)）. （2）由題意，知，則 根據(jù)題意，方程有兩個不同的實根 ，即，且 ，由 其中，得 所以上式化為 又，所以不等式可化為，對任意的恒成立. ①當(dāng)，不等式恒成立，； ②當(dāng)時，恒成立， 令函數(shù) 顯然是內(nèi)的減函數(shù)，當(dāng)， ③時，恒成立，即 由②，當(dāng)，，即 11. 【林省實驗中學(xué)20xx屆高三第三次模擬】已知函數(shù)． （Ⅰ）求的最大值； （Ⅱ）設(shè)，是曲線的一條切線，證明：曲線 上的任意一點都不可能在直線的上方； （Ⅲ）求證：（其中e為自然 對數(shù)的底數(shù)，n∈N*）． （Ⅲ）由（Ⅰ）知在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故當(dāng)且時，有，又因為，所以，所以． 12．【遼寧省朝陽市三校協(xié)作體20xx屆高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考】設(shè)函數(shù)，其中. （1）當(dāng)時，證明不等式； （2）設(shè)的最小值為，證明. 13 ．【江西省九江市20xx年第一次高考模擬】設(shè)函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，且），曲線在點處的切線方程為. （1）求的值； （2）若對任意，與有且只有兩個交點，求的取值范圍. 【解析】（1）由，得，由題意得， ∵，∴； 14．【湖南省懷化市20xx屆高三上學(xué)期期中】已知函數(shù) (Ⅰ)求函數(shù)在點處的切線方程； (Ⅱ)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間； (Ⅲ)若存在,使得是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)的取值范圍. 【解析】（Ⅰ）因為函數(shù),[所以,,又因為,所以函數(shù)在點處的切線方程為 (Ⅱ)由⑴,.令，則，所以當(dāng)時, 在上是增函數(shù)，又,所以不等式的解集為，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為； （Ⅲ）因為存在,使得成立,而當(dāng)時,, 所以只要即可. 又因為,,的變化情況如下表所示: 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 15. 【湖北省黃岡市20xx屆高三上學(xué)期元月調(diào)研】已知函數(shù)，，其中 （Ⅰ）若函數(shù)有極值，求實數(shù)的值； （Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）證明： 【解析】（Ⅰ），①當(dāng)時，，遞減，無極值；②當(dāng)時，令，得，遞增，； （Ⅱ）上是增函數(shù)，恒成立，，時，恒成立，當(dāng)時，等價于，設(shè)遞增，，故的取值范圍是； 16. 【河南省信陽市20xx屆高中畢業(yè)班第二次調(diào)研】已知函數(shù)(a為常數(shù))，曲線y＝f(x)在與y軸的交點A處的切線斜率為－1. (Ⅰ)求a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ)證明：當(dāng)時，； (Ⅲ)證明：當(dāng)時，. 【解析】（Ⅰ）由，得. 又，∴.∴，. 由，得. ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. (Ⅱ)證明：由（Ⅰ）知. ∴，即，. 令，則. ∴在上單調(diào)遞增，∴， ∴. (Ⅲ)首先證明：當(dāng)時，恒有. 令，則. 由(Ⅱ)知，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞增， ∴，所以. ∴，即. 依次取，代入上式，則 ， ， ， . 以上各式相加，有， ∴， ∴， 即 【名師原創(chuàng)測試篇】 1．已知函數(shù)（a∈R），． (Ⅰ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ)已知當(dāng)時，，求證：當(dāng)時，不等式成立． 2. 設(shè)，，且 (Ⅰ)是否為的極值點？如果是，并求a； (Ⅱ)若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； (Ⅲ) 使得成立，求的最小值 【解析】(Ⅰ)由已知，則，令解得a=2， 當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增， ，故為的極值點 ； (Ⅱ)由，，，從而在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，，符合題意 ，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，所以存在，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在遞減，在，遞增，所以時，，不符合題意，綜上 ； (Ⅲ) ，由(Ⅱ)知在上單調(diào)遞增， 所以，故的最小值為3. 3. 已知函數(shù)為奇函數(shù). （Ⅰ）若，求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）當(dāng)時，不等式在上恒成立，求實數(shù)的最小值； （Ⅲ）當(dāng)時，求證：函數(shù)在上至多一個零點. （Ⅲ）證明：，設(shè)任取任意實數(shù)，， 因為，所以，，因為，所以，所以，又因為，，所以，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，又，結(jié)合函數(shù)圖象知函數(shù)在上至多有一個零點. 4. 已知函數(shù) . （1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù)在上的最小值是，求的值. 5. 已知函數(shù)（）． (Ⅰ)若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)，，（）是圖象上的任意兩點，若，使得，求證： ． 【解析】(Ⅰ)，由已知得在恒成立，則，即，因為，所以，實數(shù)的取值范圍是． 6. 設(shè)函數(shù). （Ⅰ）若函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若函數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍. 【解析】函數(shù)的定義域為． （Ⅰ）∵在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，即在上恒成立，∴恒成立，故有， ∵（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故的取值范圍為． （Ⅱ）由使得成立，可知時，． ，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，最小值為． 由（Ⅰ）