新編浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題二 第3講 平面向量選擇、填空題型

考 點考 情平面向量的概念及線性運算1.對平面向量的概念及線性運算主要考查線性運算法則及其幾何意義以及兩個向量共線的條件，或以向量為載體求參數(shù)的值，如遼寧T3等2.對平面向量的基本定理及坐標(biāo)運算的考查主要側(cè)重以下兩點：(1)以平面向量的基本定理為基石，利用一組基底表示相關(guān)向量；(2)利用坐標(biāo)運算解決平行、垂直問題，如山東T15等3.數(shù)量積的運算是每年必考的內(nèi)容，主要涉及：(1)向量數(shù)量積的運算；(2)求向量的模；(3)求向量的夾角，如浙江T17等.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積平面向量的應(yīng)用1(20xx·遼寧高考)已知點A(1,3)，B(4，1)，則與向量同方向的單位向量為()A.B.C. D.解析：選A由已知，得(3，4)，所以|5，因此與同方向的單位向量是.2(20xx·湖北高考)已知點A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B.C D解析：選A(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影為|cos，|·.3(20xx·浙江高考)設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于_解析：因為2，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故的最大值為2.答案：24(20xx·山東高考)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若 ，且，則實數(shù)的值為_解析：，由于，所以·0，即()·()(1)·94(1)×3×2×0，解得.答案：5(20xx·江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12 (1，2為實數(shù))，則12的值為_解析：()，所以1，2，即12.答案：1平面向量的兩個重要定理(1)向量共線定理：向量a(a0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實數(shù)，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底2兩個非零向量平行、垂直的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：(1)abab(0)x1y2x2y10.(2)aba·b0x1x2y1y20.3平面向量的三個性質(zhì)(1)若a(x，y)，則|a| .(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .熱點一平面向量的概念及線性運算例1(1)(20xx·廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題：給定向量b，總存在向量c，使abc；給定向量b和c，總存在實數(shù)和，使abc；給定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實數(shù)，使abc；給定正數(shù)和，總存在單位向量b和單位向量c，使abc.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是()A1B2C3D4(2)(20xx·合肥模擬)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點，若，則_.自主解答(1)顯然正確；對于，當(dāng)|a|sina，b時，不存在符合題意的單位向量c和實數(shù)，錯；對于，當(dāng)1，|a|2時，易知錯(2)依題意得，；又，于是有；又與不共線，因此有由此解得，2，所以.答案(1)B(2)平面向量的線性運算應(yīng)注意三點(1)三角形法則和平行四邊形法則的運用條件(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線(3) (，為實數(shù))，若A、B、C三點共線，則1.1在矩形ABCD中，AB1，AD，P為矩形內(nèi)一點，且AP.若 (，R)，則的最大值為()A. B.C. D.解析：選B據(jù)已知|2()22232，整理變形可得()22，由均值不等式，可得()222，解得.2在ABC中，A60°，A的平分線AD交邊BC于D，已知AB3，且 (R)，則AD的長為()A1 B. C2D3解析：選C如圖所示，因為B，D，C三點共線，所以1，即.在AB上取一點E使，在AC上取一點F使，由，可知四邊形AEDF為平行四邊形，又BADCAD30°，所以AEDF為菱形因為，AB3，所以菱形的邊長為2.在ADF中，所以ADsin 120°·2.熱點二平面向量的數(shù)量積例2(1)(20xx·濟南模擬)ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，且3450，則·的值為()A B. C D.(2)(20xx·重慶高考)在平面上，|1，.若|<，則|的取值范圍是()A. B.C. D. (3)(20xx·浙江高考)設(shè)ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0BAB，且對于邊AB上任一點P，恒有··，則()AABC90° BBAC90°CABAC DACBC自主解答(1)由已知得435|4|2(35)2，即163430·，解得·；同理345，兩邊平方得·，因此··()··.(2)12，1·2(1)·(2)1·21··220，1·21··22.12，12，12.|1|2|1，21122(1·21·2·)222(2)22.|<，0|2|<，022<，<22，即|.(3)設(shè)AB4，以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0)，B(2,0)又P0是邊AB上一定點，P0BAB，所以P0(1,0)設(shè)C(a，b)，P(x,0)，(2x,0)，(ax，b)(1,0)，(a1，b)··恒成立(2x)·(ax)a1恒成立，即x2(2a)xa10恒成立(2a)24(a1)a20恒成立a0.即點C在線段AB的中垂線上，ACBC.答案(1)A(2)D(3)D在本例(1)中，若0，則BAC的大小是多少？解：由已知可得，由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形OACB是四條邊均為外接圓半徑R的平行四邊形，故OAC為等邊三角形，OAC2BAC60°，所以BAC30°. 解決數(shù)量積運算應(yīng)注意三點(1)a·b0未必有a0或b0.(2)|a·b|a|·|b|.(3)a·(b·c)與(a·b)·c不一定相等3.如圖所示，P為AOB所在平面內(nèi)一點，向量a，b，且P在線段AB的垂直平分線上，向量c.若|a|3，|b|2，則c·(ab)的值為()A5 B3C. D.解析：選C設(shè)AB中點為D，c，所以c·(ab)()····(ab)·(ab)(|a|2|b|2).4設(shè)G為ABC的重心，若ABC所在平面內(nèi)一點P滿足220，則的值等于_解析：取BC的中點D，由已知220得2()4，說明P，A，D三點共線，即點P在BC邊中線的延長線上，且|4|.如圖所示，故|，|，因此×2.答案：25向量a，b，c，d滿足：|a|1，|b|，b在a方向上的投影為，(ac)·(bc)0，|dc|1，則|d|的最大值為_解析：由投影公式可得b·a，|ba|2|a|2|b|22a·b4，|ba|2.由(ac)·(bc)a·bc·(ab)c20，整理得|c|2|c|·|ab|·cos 2|c|(c，ab)，解不等式|c|22|c|0，得|c|1，即|c|的最大值為1.又|dc|1，即d終點的軌跡是以c的終點為圓心、1為半徑的圓，故|d|的最大值為|c|max12.答案：2熱點三平面向量的綜合應(yīng)用例3(1)(20xx·安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，兩定點A，B滿足|·2，則點集P|，|1，R所表示的區(qū)域的面積是()A2 B2C4 D4(2)已知點R(3,0)，點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M(x，y)在直線PQ上，且230，·0，則4x2y3的最小值為()A4 B3C3 D4自主解答(1)由|·2，可得AOB，又A，B是兩定點，可設(shè)A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由，可得因為|1，所以1，當(dāng)，時，由可行域可得S0×2×，所以由對稱性可知點P所表示的區(qū)域面積S4S04.(2)由230，得P，Q.由·0，得·0，即y24x，所以4x2y3y22y3(y1)24，因此，當(dāng)y1時，4x2y3取得最小值，最小值為4.答案(1)D(2)A兩類平面向量綜合問題的解決方法(1)用向量解決平面幾何問題，主要是通過建立平面直角坐標(biāo)系將問題坐標(biāo)化，然后利用平面向量的坐標(biāo)運算求解有關(guān)問題(2)在平面向量與平面解析幾何的綜合問題中，應(yīng)先根據(jù)平面向量知識把向量表述的解析幾何問題的幾何意義弄明白，再根據(jù)這個幾何意義用代數(shù)的方法研究解決6對任意兩個非零的平面向量和，定義.若兩個非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角，且ab和ba都在集合中，則ab()A. B.C1D.解析：選D根據(jù)新定義，得abcos ，bacos .又因為ab和ba都在集合中，設(shè)ab，ba(n1，n2Z)，那么(ab)·(ba)cos2，又，所以0<n1n2<2，所以n1，n2的值均為1，故ab.7關(guān)于實數(shù)x的方程ax2bxc0，其中a，b，c都是非零平面向量，且a，b不共線，則該方程的解的情況是()A至多有一個解B至少有一個解C至多有兩個解D可能有無數(shù)個解解析：選A由已知，關(guān)于x的方程ax2bxc0(其中a，b，c都是非零平面向量)可化為cx2axb，因為a，b不共線且為非零平面向量，由平面向量基本定理，可知存在唯一實數(shù)對(m，n)，使得cmanb，所以即，整理得mn2.顯然，當(dāng)n0且mn2時，方程組有唯一一組解，即原方程有一個解；當(dāng)n0或mn2時，方程組無解，即原方程無解綜上，該方程至多有一個解.