（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.1 函數(shù)及其表示講義 理.doc

第一節(jié)函數(shù)及其表示1函數(shù)與映射函數(shù)映射兩集合A，B設(shè)A，B是非空的數(shù)集設(shè)A，B是非空的集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f：AB如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法yf(x)，xA對(duì)應(yīng)f：AB是一個(gè)映射2函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)(4)函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法3分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù),(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實(shí)際出發(fā)(2)如果函數(shù)yf(x)用表格給出，則表格中x的集合即為定義域(3)如果函數(shù)yf(x)用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域.值域是一個(gè)數(shù)集，由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系共同確定(1)分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分構(gòu)成，但它表示同一個(gè)函數(shù)(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交.熟記常用結(jié)論(1)若f(x)為整式，則函數(shù)的定義域?yàn)镽；(2)若f(x)為分式，則要求分母不為0；(3)若f(x)為對(duì)數(shù)式，則要求真數(shù)大于0；(4)若f(x)為根指數(shù)是偶數(shù)的根式，則要求被開方式非負(fù)；(5)若f(x)描述實(shí)際問題，則要求使實(shí)際問題有意義如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，求定義域常常等價(jià)于解不等式(組)小題查驗(yàn)基礎(chǔ)一、判斷題(對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”)(1)對(duì)于函數(shù)f：AB，其值域是集合B.()(2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù)()(3)函數(shù)是一種特殊的映射()(4)若AR，B(0，)，f：xy|x|，則對(duì)應(yīng)f可看作從A到B的映射()(5)分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、選填題1下列圖形中可以表示為以Mx|0x1為定義域，以Ny|0y1為值域的函數(shù)的是()解析：選CA選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)镸，但值域不是N，B選項(xiàng)，函數(shù)定義域不是M，值域?yàn)镹，D選項(xiàng)，集合M中存在x與集合N中的兩個(gè)y對(duì)應(yīng)，不能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系故選C.2下列函數(shù)中，與函數(shù)yx1是相等函數(shù)的是()Ay()2By1Cy1 Dy1解析：選B對(duì)于A，函數(shù)y()2的定義域?yàn)閤|x1，與函數(shù)yx1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于B，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)y1的定義域?yàn)閤|x0，與函數(shù)yx1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于D，定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)，故選B.3函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開解析：由題意得解得x0且x2.答案：0,2)(2，)4若函數(shù)f(x)則f(f(2)_.解析：由題意知，f(2)541，f(1)e01，所以f(f(2)1.答案：15已知函數(shù)f(x)ax32x的圖象過點(diǎn)(1,4)，則f(2)_.解析：函數(shù)f(x)ax32x的圖象過點(diǎn)(1,4)4a2，a2，即f(x)2x32x，f(2)2232220.答案：20典例精析(1)已知flg x，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式解(1)(換元法)令1t，得x，代入得f(t)lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)lg，x(1，)(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(3)(解方程組法)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，2，得3f(x)2x12x.即f(x).故f(x)的解析式是f(x)，xR.解題技法求函數(shù)解析式的3種方法及口訣記憶待定系數(shù)法當(dāng)函數(shù)的特征已經(jīng)確定時(shí)，一般用待定系數(shù)法來確定函數(shù)解析式換元法如果給定復(fù)合函數(shù)的解析式，求外函數(shù)的解析式，通常用換元法將內(nèi)函數(shù)先換元，然后求出外函數(shù)的解析式解方程組法如果給定兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式，可以通過變量代換建立方程組，再通過方程組求出函數(shù)解析式口訣記憶解析式，如何定，待定換元解方程；已知函數(shù)有特征，待定系數(shù)來確定；復(fù)合函數(shù)問根源，內(nèi)函數(shù)，先換元；兩個(gè)函數(shù)有關(guān)系，方程組中破玄機(jī). 過關(guān)訓(xùn)練1口訣第3句已知函數(shù)f(x1)，則函數(shù)f(x)的解析式為()Af(x)Bf(x)Cf(x) Df(x)解析：選A令x1t，則xt1，f(t)，即f(x).故選A.2口訣第2句若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)1，g(1)5，且圖象過原點(diǎn)，則g(x)_.解析：設(shè)g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且圖象過原點(diǎn)，解得g(x)3x22x.答案：3x22x3口訣第4句已知f(x)滿足2f(x)f3x，則f(x)_.解析：2f(x)f3x，把中的x換成，得2ff(x).聯(lián)立可得解此方程組可得f(x)2x(x0)答案：2x(x0)考法全析考法(一)已知函數(shù)解析式求定義域例1求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)；(2)f(x).解(1)要使函數(shù)f(x)有意義，則解不等式組得x3.因此函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)(2)要使函數(shù)f(x)有意義，則即解不等式組得1x1.因此函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,1)考法(二)求抽象函數(shù)的定義域例2已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,1)，則函數(shù)g(x)ff(x1)的定義域?yàn)?)A(2,0)B(2,2)C(0,2) D.解析由題意得0x2，函數(shù)g(x)ff(x1)的定義域?yàn)?0,2)，故選C.答案C考法(三)已知函數(shù)的定義域求參數(shù)的值(范圍)例3(1)若函數(shù)y的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|1x2，則ab的值為_解析(1)函數(shù)y的定義域?yàn)镽，mx24mx30，m0或即m0或0m，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|1x2，解得ab.答案(1)D(2)規(guī)律探求看個(gè)性考法(一)是根據(jù)具體的函數(shù)解析式求定義域，已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時(shí)只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可考法(二)是求抽象函數(shù)的定義域，有如下解法：(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍，b，則復(fù)合函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)閍，b，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在xa，b上的值域考法(三)是考法(一)的逆運(yùn)用，通常是轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式求解找共性1.謹(jǐn)記函數(shù)定義域的有關(guān)口訣定義域，是何意，自變量，有意義；分式分母不為零，對(duì)數(shù)真數(shù)只取正；偶次根式要非負(fù)，三者結(jié)合生萬(wàn)物；和差積商定義域，不等式組求交集. 2.函數(shù)定義域問題注意事項(xiàng)(1)函數(shù)f(g(x)的定義域指的是x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍；(2)求函數(shù)的定義域時(shí)，對(duì)函數(shù)解析式先不要化簡(jiǎn)；(3)求出函數(shù)的定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式；(4)函數(shù)f(x)g(x)的定義域是函數(shù)f(x)，g(x)的定義域的交集過關(guān)訓(xùn)練1口訣第1、2、3、4句y log2(4x2)的定義域是()A(2,0)(1,2)B(2,0(1,2)C(2,0)1,2) D2,01,2解析：選C要使函數(shù)有意義，則解得x(2,0)1,2)，即函數(shù)的定義域是(2,0)1,2)2口訣第1句已知函數(shù)yf(x21)的定義域?yàn)椋?，則函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)開解析：因?yàn)閥f(x21)的定義域?yàn)?，所以x， ，x211,2，所以yf(x)的定義域?yàn)?，2答案：1,23口訣第1、3句若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，則x2ax10恒成立，即a240，解得2a2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,2答案：2,2全析考法過關(guān)考法全析考法(一)分段函數(shù)求值例1(1)(2019石家莊模擬)已知f(x)則f_.(2)已知f(x)則f(7)_.解析(1)flog32，ff(2)29.(2)79，f(7)f(f(74)f(f(11)f(113)f(8)又89，f(8)f(f(12)f(9)936.即f(7)6.答案(1)9(2)6考法(二)求參數(shù)或自變量的值(范圍)例2(1)(2018全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x1)f(2x)的x的取值范圍是()A(，1B(0，)C(1,0) D(，0)(2)(2019長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，則實(shí)數(shù)a_.解析(1)f(x)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示結(jié)合圖象知，要使f(x1)f(2x)，則需或x0，故選D.(2)當(dāng)a>0時(shí)，由f(a)f(1)0得2a20，無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)a0時(shí)，由f(a)f(1)0得a120，解得a3，滿足條件答案(1)D(2)3規(guī)律探求看個(gè)性考法(一)是求分段函數(shù)的函數(shù)值在求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，一定要先判斷自變量屬于定義域的哪個(gè)子集，再代入相應(yīng)的關(guān)系式若涉及復(fù)合函數(shù)求值，則從內(nèi)到外逐層計(jì)算，當(dāng)自變量的值不確定時(shí)，要分類討論考法(二)是在考法(一)的基礎(chǔ)上遷移考查分段函數(shù)中，已知函數(shù)值或不等關(guān)系求參數(shù)或自變量的值或范圍解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式，從而求得自變量或參數(shù)的取值(范圍)時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解解得值(范圍)后一定要檢驗(yàn)其是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍找共性(1)無(wú)論考法(一)還是考法(二)都要根據(jù)自變量或參數(shù)所在區(qū)間來解決問題，搞清參數(shù)或自變量所在區(qū)間是解決問題的先決條件；(2)解決分段函數(shù)有關(guān)問題的關(guān)鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于哪一段范圍，就用哪一段的解析式來解決問題 過關(guān)訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)則f(1log25)_.解析：因?yàn)?log253，所以31log254，則42log255，則f(1log25)f(11log25)f(2log25).答案：2(2018衡陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)(aR)，若f(f(1)1，則a_.解析：f(1)2(1)2，f(f(1)f(2)4a1，解得a.答案：一、題點(diǎn)全面練1(2019重慶調(diào)研)函數(shù)ylog2(2x4)的定義域是()A(2,3)B(2，)C(3，) D(2,3)(3，)解析：選D由題意，得解得x>2且x3，所以函數(shù)ylog2(2x4)的定義域?yàn)?2,3)(3，)，故選D.2(2018合肥質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)則f(f(1)()A B2C4 D11解析：選Cf(1)1223，f(f(1)f(3)34.故選C.3已知函數(shù)f(x)5|x|，g(x)ax2x(aR)若f(g(1)1，則a()A1 B2C3 D1解析：選A由已知條件可知f(g(1)f(a1)5|a1|1，|a1|0，得a1.故選A.4(2018荊州聯(lián)考)若函數(shù)f(x)的定義域是1,2 019，則函數(shù)g(x)的定義域是()A0,2 018 B0,1)(1,2 018C(1,2 019 D1,1)(1,2 018解析：選B由題知，1x12 019，解得0x2 018，又x1，所以函數(shù)g(x)的定義域是0,1)(1，2 0185已知f2x5，且f(a)6，則a等于()A. BC. D解析：選A令tx1，則x2t2，f(t)2(2t2)54t1，故f(x)4x1，則f(a)4a16，解得a.6(2019石家莊模擬)已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，則f(f(3)()A2 B2C3 D3解析：選B由題意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，聯(lián)立，結(jié)合0a1，得a，b1，所以f(x)則f(3)319，f(f(3)f(9)log392.7(2018福州二模)已知函數(shù)f(x)若f(a)3，則f(a2)()A B3C或3 D或3解析：選A當(dāng)a>0時(shí)，若f(a)3，則log2aa3，解得a2(滿足a>0)；當(dāng)a0時(shí)，若f(a)3，則4a213，解得a3，不滿足a0，舍去于是，可得a2.故f(a2)f(0)421.故選A.8(2019合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)滿足f(2x)2f(x)，且當(dāng)1x2時(shí)，f(x)x2，則f(3)()A. B.C. D9解析：選Cf(2x)2f(x)，且當(dāng)1x2時(shí)，f(x)x2，f(3)2f22.9(2019合肥模擬)已知f(x)的定義域?yàn)閤|x0，且3f(x)5f1，則函數(shù)f(x)的解析式為_解析：用代替3f(x)5f1中的x，得3f5f(x)3x1，35得f(x)x(x0)答案：f(x)x(x0)10設(shè)函數(shù)f(x)若f(m)>f(m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：函數(shù)f(x)當(dāng)m>0時(shí)，f(m)>f(m)，即ln m>ln m，即ln m0，解得0m1；當(dāng)m0時(shí)，f(m)>f(m)，即ln(m)>ln(m)，即ln(m)>0，解得m1.綜上可得，m1或0m1.答案：(，1)(0,1)二、專項(xiàng)培優(yōu)練(一)易錯(cuò)專練不丟怨枉分1若函數(shù)yf(x1)的值域?yàn)?,1，則函數(shù)yf(3x2)的值域?yàn)?)A1,1 B1,0C0,1 D2,8解析：選A函數(shù)yf(x1)的值域?yàn)?,1，由于函數(shù)中的自變量取定義域內(nèi)的任意數(shù)時(shí)，函數(shù)的值域都為1,1，故函數(shù)yf(3x2)的值域?yàn)?,1故選A.2(2018山西名校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)lg(1x)，則函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)?)A(9，) B(9,1)C9，) D9,1)解析：選Bff(x)flg(1x)lg1lg(1x)，其定義域?yàn)榈慕饧?，解?x1，所以ff(x)的定義域?yàn)?9,1)故選B.3(2018安陽(yáng)三校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A0,4) B(0,4)C4，) D0,4解析：選D由題意可得mx2mx10恒成立當(dāng)m0時(shí)，10恒成立；當(dāng)m0時(shí)，則解得0m4.綜上可得，0m4.4(2019珠海質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1 B.C. D.解析：選C由題意知yln x(x1)的值域?yàn)?，)，故要使f(x)的值域?yàn)镽，則必有y(12a)x3a為增函數(shù)，且12a3a0，所以12a>0，且a1，解得1a.5(2018合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的值域是0，)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是0，)，顯然成立；當(dāng)m>0時(shí)，(m3)24m0，解得0m1或m9.顯然m0時(shí)不合題意綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是0,19，)答案：0,19，)(二)技法專練活用快得分6排除法設(shè)xR，定義符號(hào)函數(shù)sgn x則()A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x|C|x|x|sgn x D|x|xsgn x解析：選D當(dāng)x0時(shí)，|x|x，x|sgn x|x，xsgn|x|x，|x|sgn x(x)(1)x，排除A、B、C，故選D.7特殊值法函數(shù)y(a>0，a1)的定義域和值域都是0,1，則logaloga()A1 B2C3 D4解析：選C當(dāng)x1時(shí)，y0，則函數(shù)y在0,1上為減函數(shù)，故a>1.當(dāng)x0時(shí)，y1，則1，a2.log2log2log2log283.8數(shù)形結(jié)合法設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)f(x1)>1的x的取值范圍是_解析：畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖，易知函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增又因?yàn)閤>x1，且x(x1)1，f(0)1，所以要使f(x)f(x1)>1成立，則結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象知只需x1>1，解得x>0.故所求x的取值范圍是(0，)答案：(0，)(三)素養(yǎng)專練學(xué)會(huì)更學(xué)通9邏輯推理具有性質(zhì)ff(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，給出下列函數(shù)：f(x)x；f(x)x；f(x)其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是()A BC D解析：選A對(duì)于，fxf(x)，滿足題意；對(duì)于，fxf(x)，不滿足題意；對(duì)于，f即f故ff(x)，滿足題意綜上可知，滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是.故選A.10數(shù)學(xué)運(yùn)算已知函數(shù)f(x)g(x)2x1，則f(g(2)_，f(g(x)的值域?yàn)開解析：g(2)2213，f(g(2)f(3)2.易得g(x)的值域?yàn)?1，)，若1g(x)0，f(g(x)g(x)211,0)；若g(x)>0，f(g(x)g(x)1(1，)，f(g(x)的值域是1，)答案：21，)11數(shù)學(xué)抽象設(shè)函數(shù)f：RR，滿足f(0)1，且對(duì)任意x，yR都有f(xy1)f(x)f(y)f(y)x2，則f(2 018)_.解析：令xy0，則f(1)f(0)f(0)f(0)02111022.令y0，則f(1)f(x)f(0)f(0)x2，將f(0)1，f(1)2代入，可得f(x)1x，所以f(2 018)2 019.答案：2 019