高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第8章 第2節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析

第二節(jié)　空間圖形的基本關(guān)系與公理 [最新考綱]　1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題． 1．四個公理 (1)公理1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)． (2)公理2：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)， 那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))． 拓展：公理2的三個推論 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面． 推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面． 推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面． (3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． (4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行． 2．直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類 (2)異面直線所成的角 ①定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)． ②范圍：(0°，90°]． 拓展：異面直線判定的一個定理 過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線，如圖所示． 3．空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系 (1)空間中直線與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 圖形表示 符號表示 公共點 直線在平面內(nèi) aα 無數(shù)個 直線 不在 平面 內(nèi) 直線與平 面平行 a∥α 0個 直線與平面相交 直線與平 面斜交 a∩α＝A 1個 直線與平 面垂直 a⊥α 1個 (2)空間中平面與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 圖形表示 符號表示 公共點 兩平面平行 α∥β 0個 兩平面相交 α∩β＝l 無數(shù)_個 4．等角定理 空間中，如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補． 唯一性定理 (1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行． (2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直． (3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行． (4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(　　) (2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面．(　　) (3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．(　　) (4)若直線a不平行于平面α，且aα，則α內(nèi)的所有直線與a異面．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b(　　) A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 C　[由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a，b為異面直線相矛盾．] 2.如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為(　　) A．30°　　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° C　[連接B1D1，D1C(圖略)， 則B1D1∥EF， 故∠D1B1C為所求的角， 又B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60°.] 3．下列命題正確的是(　　) A．兩個平面如果有公共點，那么一定相交 B．兩個平面的公共點一定共線 C．兩個平面有3個公共點一定重合 D．過空間任意三點，一定有一個平面 D　[如果兩個平面重合，則排除A，B兩項；兩個平面相交，則有一條交線，交線上任取三個點都是兩個平面的公共點，故排除C項；而D項中的三點不論共線還是不共線，則一定能找到一個平面過這三個點．] 4.如圖，在三棱錐A­BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則 (1)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形； (2)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形． (1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD　[(1)∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD. (2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD.] 考點1　平面的基本性質(zhì)及應用 　共面、共線、共點問題的證明 (1)證明共面的方法：①先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②證兩平面重合． (2)證明共線的方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上． (3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點． 　如圖所示，正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證： (1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面； (2)CE，D1F，DA三線共點． [證明]　(1)如圖，連接EF，CD1，A1B. ∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點， ∴EF∥BA1. 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE與D1F必相交，設交點為P， 則由P∈直線CE，CE平面ABCD， 得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點． 　 本例第(1)問的證明應用了公理2的推論，采用線線共面，則線上的點必共面的思想；本例第(2)問的證明應用了公理3，采用先證明CE與D1F相交，再證明交點在直線DA上． 　1.(2019·衡水中學模擬)有下列四個命題： ①空間四點共面，則其中必有三點共線； ②空間四點不共面，則其中任意三點不共線； ③空間四點中有三點共線，則此四點共面； ④空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面． 其中真命題的所有序號有________． ②③　[①中，對于平面四邊形來說不成立，故①是假命題；②中，若四點中有三點共線，則根據(jù)“直線與直線外一點可以確定一個平面”知四點共面，與四點不共面矛盾，故②是真命題；由②的分析可知③是真命題；④中，平面四邊形的四個頂點中任意三點不共線，但四點共面，故④是假命題．] 2.如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面； (2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線． [證明]　(1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點， 所以EF∥BD. 在△BCD中，＝＝， 所以GH∥BD， 所以EF∥GH. 所以E，F(xiàn)，G，H四點共面． (2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC， 所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. 所以P為平面ABC與平面ADC的公共點． 又平面ABC∩平面ADC＝AC， 所以P∈AC， 所以P，A，C三點共線． 考點2　判斷空間兩直線的位置關(guān)系 　空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法 　1.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　) A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交 C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交 D　[法一：(反證法)　由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交．若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾．故l至少與l1，l2中的一條相交． 法二：(模型法)如圖(1)，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖(2)，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確． ] 圖(1)　　 　　圖(2) 2.(2019·全國卷Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則(　　) A．BM＝EN，且直線BM、EN是相交直線 B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線 C．BM＝EN，且直線BM、EN是異面直線 D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線 B　[如圖所示， 作EO⊥CD于O，連接ON，過M作MF⊥OD于F. 連接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD， ∴△MFB與△EON均為直角三角形．設正方形邊長為2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2， MF＝，BF＝， ∴BM＝. ∴BM≠EN.連接BD，BE，∵點N是正方形ABCD的中點，∴點N在BD上，且BN＝DN. 又∵M為ED的中點， ∴BM，EN為△DBE的中線， ∴BM，EN必相交．故選B.] 3．在下列四個圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號) ①　　 ?、凇　? ?、邸　　?　④ ②④　[圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面．] 　在直接判斷不好處理的情況下，反證法、模型法(如構(gòu)造幾何體：正方體、空間四邊形等)和特例排除法等是解決此類問題的三種常用便捷方法． 考點3　異面直線所成的角 　1.平移法求異面直線所成角的一般步驟 (1)作角——用平移法找(或作)出符合題意的角． (2)求角——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出角的大?。? 提醒：異面直線所成的角θ∈. 2．坐標法求異面直線所成的角：當題設中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系時，常采用坐標法． 提醒：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角． 　(1)[一題多解](2018·全國卷Ⅱ)在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　) A.　　 B.　　　　 C.　　　　 D. (2)如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點． ①求證：直線EF與BD是異面直線； ②若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角． (1)C　[法一：(平移法)如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因為在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2， DM＝＝， DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理， 得cos∠MOD＝＝， 即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為. 故選C. 法二：(坐標法)以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．由條件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，則由向量夾角公式，得cos〈，〉＝＝＝，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C. 法三：(補體法)如圖，在長方體ABCD­A1B1C1D1的一側(cè)補上一個相同的長方體A′B′BA­A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角．連接DB′，由題意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝. 在△DB′B1中，由余弦定理，得 DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′， 即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′， ∴cos∠DB1B′＝.故選C.] (2)[解]?、僮C明：假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線． ②取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD， 所以相交直線EF與EG所成的角， 即為異面直線EF與BD所成的角． 又因為AC⊥BD，則FG⊥EG. 在Rt△EGF中，由EG＝FG ＝AC，求得∠FEG＝45°， 即異面直線EF與BD所成的角為45°. 　平移法、坐標法和補體法是求兩條異面直線所成角的大小的三種常用方法，其中平移法和補體法的實質(zhì)是平行移動直線，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，體現(xiàn)了化歸思想． [教師備選例題] 1．(2016·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A.　　 B.　　　　 C.　　　　 D. A　[如圖，設平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n. 因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角． 在正方體ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.] 2．(2017·全國卷Ⅲ)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角； ②當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角； ③直線AB與a所成角的最小值為45°； ④直線AB與a所成角的最大值為60°. 其中正確的是________．(填寫所有正確結(jié)論的編號) ②③　[依題意建立如圖所示的空間直角坐標系．設等腰直角三角形ABC的直角邊長為1. 由題意知點B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓． 設直線a的方向向量為a＝(0,1,0)，直線b的方向向量為b＝(1,0,0)，以Ox軸為始邊沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角為θ，θ∈[0,2π)，則B(cos θ，sin θ，0)， ∴＝(cos θ，sin θ，－1)，||＝. 設直線AB與a所成夾角為α， 則cos α＝＝|sin θ|∈， ∴45°≤α≤90°，∴③正確，④錯誤． 設直線AB與b所成夾角為β， 則cos β＝＝|cos θ|. 當直線AB與a的夾角為60°，即α＝60°時， 則|sin θ|＝cos α＝cos 60°＝， ∴|cos θ|＝.∴cos β＝|cos θ|＝. ∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直線AB與b的夾角為60°. ∴②正確，①錯誤．] 　1. (2019·聊城一模)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. D　[取BC的中點H，連接EH，AH，∠EHA＝90°，設AB＝2，則BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝，連接ED，ED＝，因為BC∥AD，所以異面直線AE與BC所成角即為∠EAD，在△EAD中cos∠EAD＝＝，故選D.] 2．(2019·西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________． ②③④　[還原成正四面體A­DEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合． 易知GH與EF異面，BD與MN異面． 連接GM，∵△GMH為等邊三角形， ∴GH與MN成60°角， 易證DE⊥AF，又MN∥AF， ∴MN⊥DE. 因此正確命題的序號是②③④.]