(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 7.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和講義(含解析).docx
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(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 7.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和講義(含解析).docx
7.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
最新考綱
考情考向分析
1.理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用.
2.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
3.會(huì)用數(shù)列的等比關(guān)系解決實(shí)際問題.
以考查等比數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及性質(zhì)為主,等比數(shù)列的證明也是考查的熱點(diǎn).本節(jié)內(nèi)容在高考中既可以以選擇題、填空題的形式進(jìn)行考查,也可以以解答題的形式進(jìn)行考查.解答題往往與等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問題綜合考查,難度為中低檔.
1.等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示,定義的表達(dá)式為=q(n∈N*,q為非零常數(shù)).
(2)等比中項(xiàng):如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).即G是a與b的等比中項(xiàng)?a,G,b成等比數(shù)列?G2=ab.
2.等比數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式:an=a1qn-1.
(2)前n項(xiàng)和公式:
Sn=.
3.等比數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=amqn-m(n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),則aman=apaq=a.
(3)若數(shù)列{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan},,{a},{anbn},(λ≠0)仍然是等比數(shù)列.
(4)在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk.
概念方法微思考
1.將一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)取倒數(shù),所得的數(shù)列還是一個(gè)等比數(shù)列嗎?若是,這兩個(gè)等比數(shù)列的公比有何關(guān)系?
提示 仍然是一個(gè)等比數(shù)列,這兩個(gè)數(shù)列的公比互為倒數(shù).
2.任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎?
提示 不是.只有同號(hào)的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)才有等比中項(xiàng).
3.“b2=ac”是“a,b,c”成等比數(shù)列的什么條件?
提示 必要不充分條件.因?yàn)閎2=ac時(shí)不一定有a,b,c成等比數(shù)列,比如a=0,b=0,c=1.但a,b,c成等比數(shù)列一定有b2=ac.
題組一 思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”)
(1)滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.( )
(2)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.( )
(3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列.( )
(4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為Sn=.( )
(5)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列.( )
題組二 教材改編
2.[P51例3]已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則公比q=______.
答案
解析 由題意知q3==,∴q=.
3.[P54T3]公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,則m的值為( )
A.8B.9C.10D.11
答案 C
解析 由題意得,2a5a6=18,a5a6=9,∴a1am=a5a6=9,∴m=10.
題組三 易錯(cuò)自糾
4.若1,a1,a2,4成等差數(shù)列,1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列,則的值為________.
答案?。?
解析 ∵1,a1,a2,4成等差數(shù)列,
∴3(a2-a1)=4-1,∴a2-a1=1.
又∵1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,
則b=14=4,且b2=1q2>0,∴b2=2,
∴==-.
5.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,8a2+a5=0,則=________.
答案 -11
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
∵8a2+a5=0,∴8a1q+a1q4=0.
∴q3+8=0,∴q=-2,
∴=
===-11.
6.一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1MB,然后每3秒自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍,那么開機(jī)________秒,該病毒占據(jù)內(nèi)存8GB.(1GB=210MB)
答案 39
解析 由題意可知,病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列{an},且a1=2,q=2,∴an=2n,
則2n=8210=213,∴n=13.
即病毒共復(fù)制了13次.
∴所需時(shí)間為133=39(秒).
題型一 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
1.(2018臺(tái)州質(zhì)量評(píng)估)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,若a1a3=2,a2a4=4,則a5等于( )
A.4B.4C.8D.8
答案 B
解析 由于等比數(shù)列各項(xiàng)為正,則由題意得解得所以a5=a1q4=4,故選B.
2.(2018全國Ⅲ)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若Sm=63,求m.
解 (1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1(n∈N*).
(2)若an=(-2)n-1,則Sn=.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解.
若an=2n-1,則Sn=2n-1.
由Sm=63得2m=64,解得m=6.
綜上,m=6.
思維升華 (1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,an,q,n,Sn,已知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)(簡稱“知三求二”).
(2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),注意對(duì)q=1和q≠1的分類討論.
題型二 等比數(shù)列的判定與證明
例1(2018麗水、衢州、湖州三地市質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=an+1-3n-1,n∈N*.
(1)證明:數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列;
(2)對(duì)k∈N*,設(shè)f(n)=求使不等式[f(2)-f(m)]cos(mπ)≤0成立的正整數(shù)m的取值范圍.
(1)證明 當(dāng)n≥2時(shí),由Sn=an+1-3n-1,得Sn-1=an-3(n-1)-1,
由Sn-Sn-1得,an+1=2an+3,n≥2,所以=2,n≥2,又S1=a2-3-1,a1=1,所以a2=5,=2,
因此{(lán)an+3}是以a1+3=4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
(2)解 由(1)知an+3=42n-1=2n+1,Sn=an+1-3n-1=2n+2-3n-4,
因?yàn)閒(n)=
當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),cos(mπ)=1,f(2)=3,f(m)=m+1,
因?yàn)樵坏仁娇苫癁?-(m+1)≤0,即m≥2,且m=2k(k≥1,k∈N*).
當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),cos(mπ)=-1,f(2)=3,f(m)=2m+1-1,
原不等式可化為3≥2m+1-1,當(dāng)m=1時(shí)符合條件.
綜上可得,正整數(shù)m的取值范圍是m=2k(k≥1,k∈N*)或m=1.
思維升華判定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法
(1)定義法:若=q(q是非零常數(shù)),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2)等比中項(xiàng)法:若a=anan+2(n∈N*,an≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(3)通項(xiàng)公式法:若an=Aqn(A,q為非零常數(shù)),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
跟蹤訓(xùn)練1(2018浙江省六校協(xié)作體期末聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=t>0,an+1=,n=1,2,….
(1)若t=,求證是等比數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若an+1>an對(duì)一切n∈N*都成立,求t的取值范圍.
解 (1)由題意知an>0,==+,
-1=,又-1=,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
所以-1=n-1,an=.
(2)由(1)知-1=,
-1=n-1,
由a1>0,an+1=,知an>0,
故由an+1>an得<,
即n+1<n-1+1,
得-1>0,又t>0,
則0<t<1,即t的取值范圍是(0,1).
題型三 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
例2(1)(2018浙大附中模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a3=-1,a5=+1,則a+2a2a6+a3a7等于( )
A.8 B.6
C.4 D.8-4
答案 A
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,a+2a2a6+a3a7=a+2a3a5+a=(a3+a5)2=8,故選A.
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S2=-1,S4=-5,則S6等于( )
A.-9B.-21C.-25D.-63
答案 B
解析 因?yàn)镾2=-1≠0,所以q≠-1,由等比數(shù)列性質(zhì)得S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,即-1(S6+5)=(-5+1)2,∴S6=-21,故選B.
思維升華等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用
等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類:
(1)通項(xiàng)公式的變形.
(2)等比中項(xiàng)的變形.
(3)前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件,認(rèn)真分析,發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
跟蹤訓(xùn)練2(1)(2018浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考)等比數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn,a1a9=2a3a6,S5=-62,則a1的值為________.
答案 -2
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)及題意知a1a9=a3a7=2a3a6,
所以q==2,由S5==-62,可得a1=-2.
(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且=,則=________(n≥2,且n∈N).
答案?。?
解析 很明顯等比數(shù)列的公比q≠1,
則由題意可得,===,
解得q=,
則====-.
等差數(shù)列與等比數(shù)列
關(guān)于等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算在高考試題中頻繁出現(xiàn),其實(shí)質(zhì)就是解方程或方程組,需要認(rèn)真計(jì)算,靈活處理已知條件.
例1(2018浙江六校協(xié)作體期末聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,滿足a6=a2a10,設(shè)等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,若b9=2a7,則S17等于( )
A.34B.39C.51D.68
答案 D
解析 方法一 數(shù)列{an}是公比q=2的等比數(shù)列,由a6=a2a10得a1q5=a1qa1q9,∴a1q5=1,∴a6=1,b9=2a7=2a6q=212=4,設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,則S17=17b1+d=17(b1+8d)=17b9=68,故選D.
方法二 數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)得a6=a2a10=a,∴a6=1,∴b9=2a7=2a62=4,∴等比數(shù)列{bn}的前17項(xiàng)和S17==17b9=68,故選D.
例2(2018浙江十校聯(lián)盟適應(yīng)性考試)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,b1是a1與a2的等差中項(xiàng),b1=2,a3=5,b3=a4+1.若當(dāng)n≥m(m∈N*)時(shí),Sn≤bn恒成立,則m的最小值為________.
答案 4
解析 由題意設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,q>1,則a1+a2=2a1+d=2b1=4,又a3=a1+2d=5,所以a1=1,d=2,an=1+2(n-1)=2n-1,所以b3=a4+1=8,Sn=n+2=n2.因?yàn)閿?shù)列{bn}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,所以q2==4,q=2,bn=2n.因?yàn)楫?dāng)n≥m(m∈N*)時(shí),Sn≤bn恒成立,所以當(dāng)n≥m(m∈N*)時(shí)n2≤2n恒成立,數(shù)形結(jié)合可知m的最小值為4.
1.若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則“a2<0且a5<0”是“數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 C
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=a2q3<0,a2<0,∴q>0,∴an<0恒成立,∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-Sn-1=an<0,數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減,故“a2<0且a5<0”是“數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減”的充分條件;若數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減,則當(dāng)n≥2時(shí),Sn-Sn-1=an<0?a2<0,a5<0,故“a2<0且a5<0”是“數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減”的必要條件,故選C.
2.已知遞增的等比數(shù)列{an}中,a2=6,a1+1,a2+2,a3成等差數(shù)列,則該數(shù)列的前6項(xiàng)和S6等于( )
A.93B.189C.D.378
答案 B
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由題意可知,q>1,
且2=a1+1+a3,
即2=+1+6q,
整理可得2q2-5q+2=0,
則q=2,則a1==3,
∴數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和S6==189.
3.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=32n-1+r,則r的值為( )
A.B.-C.D.-
答案 B
解析 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3+r,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=32n-1-32n-3
=32n-3(32-1)=832n-3=832n-23-1
=9n-1,
所以3+r=,即r=-,故選B.
4.已知等比數(shù)列{an}的公比為-2,且Sn為其前n項(xiàng)和,則等于( )
A.-5B.-3C.5D.3
答案 C
解析 由題意可得,
==1+(-2)2=5.
5.(2018浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下類似問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問底層幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的底層共有燈( )
A.186盞 B.189盞
C.192盞 D.96盞
答案 C
解析 設(shè)塔的底層共有燈x盞,則各層的燈數(shù)從下到上構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為x,公比為的等比數(shù)列,則=381,解得x=192.
6.若正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足anan+1=22n(n∈N*),則a6-a5的值是( )
A.B.-16C.2D.16
答案 D
解析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q>0,
∵anan+1=22n(n∈N*),
∴==4=q2,解得q=2,
∴a2=22n,an>0,解得an=,
則a6-a5==16,故選D.
7.(2018杭州質(zhì)檢)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S4=80,S2=8,則公比q=________,a5=________.
答案 3 162
解析 由題意得解得或(舍去),
從而a5=a1q4=234=162.
8.(2018浙江名校協(xié)作體測(cè)試)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足對(duì)任意的正整數(shù)n,均有Sn+3=8Sn+3,則a1=________,公比q=________.
答案 2
解析 由Sn+3=8Sn+3得Sn+4=8Sn+1+3,兩式作差得an+4=8an+1,所以=q3=8,即q=2,令n=1得S4=8a1+3,即a1+2a1+4a1+8a1=8a1+3,解得a1=.
9.(2019臺(tái)州調(diào)考)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S1=16,某同學(xué)經(jīng)過計(jì)算得到S2=32,S3=76,S4=130,檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中恰好一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了,則算錯(cuò)的這個(gè)數(shù)是________,該數(shù)列的公比是__________.
答案 32(S2)
解析 由題意得若S2計(jì)算正確,則a2=S2-S1=16=a1,則該等比數(shù)列的公比為1,易得S3,S4均錯(cuò)誤,與恰有一個(gè)數(shù)算錯(cuò)矛盾,所以算錯(cuò)的數(shù)為32(S2).設(shè)該數(shù)列的公比為q,因?yàn)镾4-S3=a4=130-76=54,所以q3===,解得q=.
10.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3a11=2a,且S4+S12=λS8,則λ=________.
答案
解析 ∵a3a11=2a,∴a=2a,∴q4=2,
∵S4+S12=λS8,
∴+=,
1-q4+1-q12=λ(1-q8),
將q4=2代入計(jì)算可得λ=.
11.(2018浙江省第二次聯(lián)盟校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=,前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2an+1+Sn=3(n∈N*).
(1)求a2及an;
(2)求證:anSn的最大值為.
(1)解 由題意得2a2+S1=3,即2a2+a1=3,
所以a2==.
當(dāng)n≥2時(shí),由2an+1+Sn=3,得2an+Sn-1=3,
兩式相減得2an+1-an=0,
即an+1=an.
因?yàn)閍1=,a2=,
所以a2=a1,即當(dāng)n=1時(shí),an+1=an也成立.
綜上,{an}是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
所以an=.
(2)證明 因?yàn)?an+1+Sn=3,且an+1=an,所以Sn=3-2an+1=3-an.
于是,anSn=an(3-an)≤2=,當(dāng)且僅當(dāng)an=,即n=1時(shí)等號(hào)成立.
故anSn的最大值為.
12.(2018浙江省十校聯(lián)盟適應(yīng)性考試)在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=4,且3an+2-4an+1+an=0,n∈N*.
(1)求證:數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn≥m2-2m對(duì)任意的n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(1)證明 由題意,得3(an+2-an+1)-(an+1-an)=0,即an+2-an+1=(an+1-an),
又a2-a1=3,
所以數(shù)列{an+1-an}是以3為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.
(2)解 由(1)得an+1-an=3n-1,
所以a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=32,…,
an-an-1=3n-2(n≥2,n∈N*),
將以上式子累加得an-a1
=3
=,
所以an=-n-1(易知當(dāng)n=1時(shí)也成立).
因?yàn)閍n=-n-1關(guān)于n單調(diào)遞增,且a1=1>0,所以Sn也關(guān)于n單調(diào)遞增,所以Sn≥S1=1.
于是,由Sn≥m2-2m對(duì)任意的n∈N*恒成立,得1≥m2-2m,解得1-≤m≤1+.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1-,1+].
13.等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為,公比為-,前n項(xiàng)和為Sn,則當(dāng)n∈N*時(shí),Sn-的最大值與最小值的比值為( )
A.-B.-C.D.
答案 B
解析 ∵等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為,公比為-,
∴an=n-1,
∴Sn==1-n.
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=1+n隨著n的增大而減小,則1<Sn≤S1=,故0<Sn-≤;
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=1-n隨著n的增大而增大,則=S2≤Sn<1,故-≤Sn-<0.
∴Sn-的最大值與最小值的比值為=-.
14.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)且公比大于1,前n項(xiàng)積為Tn,且a2a4=a3,則使得Tn>1的n的最小值為( )
A.4B.5C.6D.7
答案 C
解析 ∵{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a2a4=a3,∴a=a3,∴a3=1.又∵q>1,∴a1<a2<1,an>1(n>3),∴Tn>Tn-1(n≥4,n∈N*),T1<1,T2=a1a2<1,T3=a1a2a3=a1a2=T2<1,T4=a1a2a3a4=a1<1,T5=a1a2a3a4a5=a=1,T6=T5a6=a6>1,故n的最小值為6,故選C.
15.(2018浙江)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,則( )
A.a(chǎn)1<a3,a2<a4 B.a(chǎn)1>a3,a2<a4
C.a(chǎn)1<a3,a2>a4 D.a(chǎn)1>a3,a2>a4
答案 B
解析 構(gòu)造不等式lnx≤x-1,
則a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1,
所以a4=a1q3≤-1.由a1>1,得q<0.
若q≤-1,則ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0.
又a1+a2+a3=a1(1+q+q2)≥a1>1,
所以ln(a1+a2+a3)>0,矛盾.
因此-1<q<0.
所以a1-a3=a1(1-q2)>0,a2-a4=a1q(1-q2)<0,
所以a1>a3,a2<a4.
故選B.
16.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積,形成新的數(shù)列,這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”.將數(shù)列1,2進(jìn)行“擴(kuò)展”,第一次得到數(shù)列1,2,2;第二次得到數(shù)列1,2,2,4,2;….設(shè)第n次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列為1,x1,x2,…,xt,2,并記an=log2(1x1x2…xt2),其中t=2n-1,n∈N*,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解 an=log2(1x1x2…xt2),
所以an+1=log2[1(1x1)x1(x1x2)…xt(xt2)2]
=log2(12xxx…x22)=3an-1,
所以an+1-=3,
所以數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,
所以an-=3n-1,
所以an=.