（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二講 解題的指導(dǎo)思想—化歸尋舊講義 理.doc

第二講解題的指導(dǎo)思想化歸尋舊在數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過程中，除了第一講中對信息加工的實(shí)踐操作活動外，更重要的是大腦加工信息的思維活動，它的規(guī)律就是化歸尋舊思想“尋”即“尋找”“聯(lián)系”之意；“舊”指現(xiàn)有的知識經(jīng)驗也就是說信息加工的思維活動規(guī)律就是尋找問題的信息與現(xiàn)有的知識經(jīng)驗之間的聯(lián)系，為加工信息的實(shí)踐操作活動指明方向，即為化歸活動確定方向常見的化歸尋舊方法有以下幾種：一、求同求異，尋舊之規(guī)律(一)求同尋舊求同尋舊就是習(xí)題解答過程中人的思維活動總是表現(xiàn)為尋找習(xí)題信息與已知的某項知識經(jīng)驗的共性特別是尋找問題信息與已知的某個公式、某個定理或某個曾經(jīng)解決過的問題等在表達(dá)形式上或內(nèi)容上的共同點(diǎn)解題者在感知問題的信息時，眼睛如照相機(jī)一樣將習(xí)題所呈現(xiàn)的信息符號拍攝下來，這些符號通過視覺神經(jīng)傳輸?shù)酱竽X，大腦對信息符號進(jìn)行識別、分類，然后尋找信息符號在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，聯(lián)絡(luò)點(diǎn)一經(jīng)找到，就說明習(xí)題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某項知識經(jīng)驗存在一定的聯(lián)系例1已知，求證：sin .求同尋舊由于條件和結(jié)論都是三角等式，而結(jié)論信息是不含角2的三角等式，根據(jù)認(rèn)知經(jīng)驗“條件中含有2的三角函數(shù)，而結(jié)論是不含2的三角函數(shù)，說明應(yīng)當(dāng)對條件信息進(jìn)行加工處理，消去2”為了消去2的三角函數(shù)，聯(lián)系到熟悉結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗sin22cos221，就會產(chǎn)生“先解出sin 2，cos 2，然后平方消去參數(shù)2”這一化歸方案證明因為，所以2asin 2.因為，所以2acos 2(1a2)由22再化簡得2(a21)(a21)sin 2(a21)2.因為a210，所以sin .反思?xì)w納此題通過求同尋舊提出了消去角2的解題思路，顯然，解題的假設(shè)方案和化歸方案都是尋舊思想對大腦作用的產(chǎn)物(二)求異尋舊求異尋舊就是習(xí)題解答過程中人的思維活動總是表現(xiàn)為尋找問題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某項知識經(jīng)驗的特征差異，以便化異為同，促使習(xí)題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“網(wǎng)點(diǎn)”順利“鏈接”求同尋舊與求異尋舊在解題過程中總是結(jié)伴而行一般來說，兩個事物總是存在著區(qū)別和聯(lián)系，相同之外有不同，不同之中有相同，沒有完全相同和完全不同的兩件事物尋舊就是尋找習(xí)題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識經(jīng)驗的聯(lián)系和區(qū)別，特別要善于在不同之中找到一點(diǎn)共性，在相似之間發(fā)現(xiàn)其中的差異求同尋舊旨在尋找聯(lián)系，從而為處理信息或問題解決提出假設(shè)方案；求異尋舊旨在發(fā)現(xiàn)差異，從而為信息加工指明方向，所以求同求異是不可分的例2如果方程組只有一組解，則實(shí)數(shù)k的值為_求同尋舊由于我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有這樣一項經(jīng)驗一元二次方程根的存在及判定，而這個問題不是一元二次方程，它是求方程組的一組解二者存在的共性都是與求解相關(guān)的問題求異尋舊認(rèn)知經(jīng)驗是“一元二次方程”，而此問題是“二元二次對數(shù)方程組”，二者在元的個數(shù)和方程的個數(shù)上存在著差異，這就要求我們對原方程組進(jìn)行“消元”處理，化異為同，即2(log3x)22log3klog3x(log3k)220.求異尋舊認(rèn)知經(jīng)驗中的熟悉結(jié)構(gòu)是“一元二次方程”，而方程是“對數(shù)方程”，二者在方程形式上存在著差異，這就要求我們對方程進(jìn)行“換元”處理，化異為同解析因為log3xR，設(shè)log3xt(tR)，方程化為2t22tlog3k(log3k)220.要使原方程組只有一組解，只需方程只有一個根即可所以4(log3k)28(log3k)2160k9或k.答案9或反思領(lǐng)悟此題通過求異尋舊找到了“二元二次對數(shù)方程組只有一組解”與“一元二次方程只有一個根”的差異，提出了“消元”的解題思路，得到了.又通過求異尋舊找到了“對數(shù)方程”與“一元二次方程”的差異，提出了“換元”的解題思路，得到了熟悉的方程.顯然，解題的假設(shè)方案和化歸方案都是尋舊思想對大腦作用的產(chǎn)物二、上游下游，尋舊之方向?qū)τ趦身椥畔，B，如果A是B的充分條件，我們稱A是B的上游信息，B是A的下游信息我們稱從上游信息向下游信息聯(lián)想的思維活動為順推尋舊，從下游信息向上游信息聯(lián)想的思維活動為逆推尋舊(一)下游順推信息法就是針對一項信息A，沿著熟悉結(jié)構(gòu)中的某條線進(jìn)行順推，順推得到的新信息是上一步信息的必要條件(或充要條件)，我們稱這種尋舊為下游順推信息法，如圖所示例3已知函數(shù)f(x)x22x，若存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(xt)x1對任意的x1，m(m>1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解這個習(xí)題呈現(xiàn)的信息有2項：存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(xt)x1對任意的x1，m(m>1)恒成立；求實(shí)數(shù)m的取值范圍此題信息很清晰，而信息雖然是一個不等式恒成立問題，但不等式的結(jié)構(gòu)是隱性的，不直觀、不清晰，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(即尋舊)，首先對信息進(jìn)行加工處理，使信息清晰，這樣便于尋找與熟悉結(jié)構(gòu)的聯(lián)系將信息進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為1：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式(xt1)2x對任意的x1，m(m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息的充要條件；將信息1進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為2：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式|xt1|對任意的x1，m(m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息1的充要條件；將信息2進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為3：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式對任意的x1，m(m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息2的充要條件；將信息3進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為4：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式成立”，即轉(zhuǎn)化為信息3的充要條件；將信息4進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為5：“不等式m13”，即轉(zhuǎn)化為信息4的必要條件；將信息5進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為6：“1m4”，即轉(zhuǎn)化為信息5的充要條件由此可見，此題的解答過程就是信息的下游順推轉(zhuǎn)化過程，一次次將信息向下游轉(zhuǎn)化為它的充要條件，建立一條從信息到信息的解題通道例4已知a>0，b>0，a4，求的最小值解這個習(xí)題呈現(xiàn)的信息有3項：a>0，b>0；a，b之間的關(guān)系式為a4；求的最小值此題兩個變量之間存在聯(lián)系，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(即尋舊)，一個自變量的問題是函數(shù)問題，求函數(shù)最小值有導(dǎo)數(shù)這個通法此題如果能消去一個自變量，就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問題于是可以采取以下兩種消元處理信息的方法轉(zhuǎn)化為信息的充要條件；將信息轉(zhuǎn)化為求的最小值，這也是下游順推信息法，即轉(zhuǎn)化為信息的充要條件；此時，問題結(jié)論信息轉(zhuǎn)化為“已知0b2，求F(b)的最小值”，這也是下游順推信息法，即轉(zhuǎn)化為結(jié)論信息的充要條件由題意知a4(0b2)，令F(b).因為F(b).顯然，f(b)4和g(b)在(0,2)上單調(diào)遞減且恒正所以u(b)3b2(4)2在(0,2)上單調(diào)遞增列表如下：b(0,1)1(1,2)u(b)0F(b)0所以F(b)minF(1)4，即的最小值為4.(二)上游逆推信息法就是針對一項信息A，沿著熟悉結(jié)構(gòu)的某條線進(jìn)行逆推，即要得到信息A，只需要信息B.逆推得到的新信息都是上一步信息的充分條件(或充要條件)，我們稱這種尋舊為上游逆推信息法，如圖所示例5已知an2n1，求證：>.證明這個習(xí)題呈現(xiàn)的信息有2項：an2n1；求證>.信息是一個不等式，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(即尋舊)，由于兩邊都是關(guān)于n的代數(shù)式，兩邊都是遞增的，容易想到放縮法于是可以采取以下信息處理法由，將信息進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為信息1：求證，即轉(zhuǎn)化為信息的充要條件；聯(lián)想一個公比為的等比數(shù)列，即，將信息1進(jìn)行上游逆推轉(zhuǎn)化為2：求證，即轉(zhuǎn)化為信息1的充分條件；將信息2進(jìn)行上游逆推轉(zhuǎn)化為3：求證，即轉(zhuǎn)化為信息2的充分條件；將信息3向下順推轉(zhuǎn)化為4：求證2n2(顯然成立)，即轉(zhuǎn)化為信息3的充要條件反思領(lǐng)悟顯然，此題的解答過程就是對信息進(jìn)行下游順推信息和上游逆推信息相結(jié)合的過程，特別是將信息1向上逆推轉(zhuǎn)化為2是解答此題的關(guān)鍵，這就是常說的“加強(qiáng)命題證明不等式”數(shù)學(xué)習(xí)題解答過程的思維規(guī)律是尋舊，究竟如何尋舊？就是尋找問題信息和熟悉結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系就是將問題的某項信息進(jìn)行下游順推或上游逆推，以此尋找新信息顯然，下游順推信息法和上游逆推信息法既是尋舊思維活動的兩種方向，也是數(shù)學(xué)習(xí)題解答的基本方法值得一提的是：對問題的某些信息進(jìn)行尋舊時，不是一次或幾次進(jìn)行下游順推信息或上游逆推信息，可能是下游順推信息和上游逆推信息多次交互結(jié)合進(jìn)行一次次得到的新信息可能就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)中某一條線上的知識點(diǎn)，特別是難度較大的數(shù)學(xué)習(xí)題，也可能是多條線上的公共知識點(diǎn)