（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第26練 應(yīng)用題試題 理.docx

第26練應(yīng)用題明晰考情1.命題角度：應(yīng)用題是江蘇高考必考題，常見模型有函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等.2.題目難度：中檔難度.考點一建立函數(shù)模型方法技巧現(xiàn)實生活中存在的最優(yōu)化問題，常?？蓺w結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)知識和方法去解決.1.某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當每臺凈化器的利潤為x(單位：元，x0)時，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關(guān)系滿足：若x不超過20，則q(x)；若x大于或等于180，則銷售量為零；當20x180時，q(x)ab(a，b為實常數(shù)).(1)求函數(shù)q(x)的表達式；(2)當x為多少時，總利潤(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.解(1)當20x180時，由得故q(x)(2)設(shè)總利潤f(x)xq(x)，由(1)得f(x)當0x20時，f(x)126000，f(x)在(0,20上單調(diào)遞增，所以當x20時，f(x)有最大值120000.當20x180時，f(x)9000x300x，f(x)9000450，令f(x)0，得x80.當20x80時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當80x<180時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，所以當x80時，f(x)有最大值240000.當x180時，f(x)0.答當x為80時，總利潤取得最大值240000元.2.如圖是某設(shè)計師設(shè)計的Y型飾品的平面圖，其中支架OA，OB，OC兩兩成120，OC1，ABOBOC，且OAOB.現(xiàn)設(shè)計師在支架OB上裝點普通珠寶，普通珠寶的價值為M，且M與OB長成正比，比例系數(shù)為k(k為正常數(shù))；在AOC區(qū)域(陰影區(qū)域)內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價值為N，且N與AOC的面積成正比，比例系數(shù)為4k.設(shè)OAx，OBy.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；(2)求NM的最大值及相應(yīng)的x的值.解(1)在AOB中，AOB120，OAx，OBy，ABy1.由余弦定理，得(y1)2x2y2xy，即y.由xy0，得x0，解得1x.所以y，x.(2)由(1)得Mkyk，N4kSAOC3kx，所以NMk，x.記f(x)3x4x2，x.則f(x)4，令f(x)0，得x2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下：x2f(x)0f(x)單調(diào)遞增104單調(diào)遞減由上表可知，f(x)maxf104.答當x2時，NM取最大值k(104).3.如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，ADBC，ADC90，AB5千米，BC8千米，CD3千米.現(xiàn)甲、乙兩管理員同時從A地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/時，乙的路線是ABCD，速度為v千米/時.(1)若甲、乙兩管理員到達D地的時間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；(2)已知對講機有效通話的最大距離是5千米，若乙先到達D地，且乙從A地到D地的過程中始終能用對講機與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍.解(1)由題意，可得AD12千米.由題意可知，解得v.(2)方法一設(shè)經(jīng)過t小時，甲、乙之間的距離的平方為f(t).由于乙先到達D地，故2，即v8.當0vt5，即0t時，f(t)(6t)2(vt)226tvtcosDABt2.因為v2v360，所以當t時，f(t)取最大值，所以225，解得v.當5<vt13，即<t時，f(t)(vt16t)29(v6)229.因為v8，所以，(v6)20，所以當t時，f(t)取最大值.所以(v6)22925，解得v.當13<vt16，即<t時，f(t)(126t)2(16vt)2，因為126t0,16vt0，所以f(t)在上單調(diào)遞減，即當t時，f(t)取最大值.2225，解得v.綜上所述，8v.方法二設(shè)經(jīng)過t小時，甲、乙之間的距離的平方為f(t).由于乙先到達D地，故2，即v8.以A點為原點，AD為x軸建立直角坐標系，當0vt5時，f(t)22.由于2225，所以22對任意0t都成立，所以22v2，解得v.當5<vt13時，f(t)(vt16t)232.由于(vt16t)23225，所以4vt16t4對任意<t都成立，即對任意<t都成立，所以解得v.當13<vt16，即<t時，f(t)(126t)2(16vt)2.由及知8v，于是0126t<1212784，又因為016vt<3，所以f(t)(126t)2(16vt)2<423225恒成立.綜上所述，8v.方法三首先，由乙先到達D地，得2，即v8.設(shè)從A地出發(fā)經(jīng)過t小時，甲、乙兩管理員的位置分別為P，Q，則(6t,0).當0t時，；當<t時，(vt1,3)；當<t時，(12,16vt)；當<t2時，(12,0).記f(t)2()2，則f(t)因為v8，所以在相應(yīng)的t的范圍內(nèi)，v2v36，(v6)t1，16vt,126t均為正數(shù)，可知f(t)在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.即f(t)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(t)maxf.令f25，得14，解得8v.4.如圖，相距14km的兩個居民小區(qū)M和N位于河岸l(直線)的同側(cè)，M和N到河岸的距離分別為10km和8km.現(xiàn)要在河的小區(qū)一側(cè)選一地點P，在P處建一個生活污水處理站，并從P分別排設(shè)到兩個小區(qū)的直線水管PM，PN和垂直于河岸的水管PQ，使小區(qū)污水經(jīng)處理后排入河道.設(shè)PQ段水管長為tkm(0t8).(1)求污水處理站P到兩小區(qū)水管的長度之和的最小值(用t表示)；(2)試確定污水處理站P的位置，使所排三段水管的總長度最小，并分別求出此時污水處理站到兩小區(qū)水管的長度.解(1)如圖，以河岸l所在直線為x軸，以過點M垂直于l的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則可得點M(0,10)，N(8，8)，設(shè)點P(s，t)，過P作平行于x軸的直線m，作點N關(guān)于m的對稱點N，則N(8，2t8).所以PMPNPMPNMN2(0t8)，所以所求最小值為2(0t8).(2)設(shè)三段水管總長為Lkm，則由(1)知LPMMNPQMNPQ2t(0t8)，所以(Lt)24(t218t129)，即3t2(2L72)t(516L2)0，所以方程3t2(2L72)t(516L2)0在t(0,8)上有解，故(2L72)212(516L2)0，即L218L630，解得L21或L3，所以L的最小值為21，此時對應(yīng)的t5(0,8)，故N(8，2).所以MN的方程為y10x，令y5，得x5，即P(5，5)，從而PM10，PN6.答滿足題意的點P距河岸5km，距小區(qū)M到河岸的垂線5km，此時污水處理站到小區(qū)M和N的水管長度分別為10km和6km.考點二建立不等式模型方法技巧在實際問題中，諸如增長率、降低率、設(shè)計優(yōu)化問題大多可歸結(jié)為不等式問題，即通過建立相應(yīng)的不等式模型來解決.5.北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入(x2600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.解(1)設(shè)每件定價為t元，依題意得t258，整理得t265t10000，解得25t40.所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.(2)依題意知，當x25時，不等式ax25850(x2600)x有解，等價于當x25時，ax有解，由于x210，當且僅當，即x30時等號成立，所以a10.2.答當該商品改革后的銷售量a至少達到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.6.如圖，墻上有一幅壁畫，最高點A離地面4m，最低點B離地面2m，觀察者從距離墻xm(x>1)，離地面高am(1a2)的C處觀賞該壁畫，設(shè)觀賞視角ACB.(1)若a1.5，問：觀察者離墻多遠時，視角最大？(2)若tan，當a變化時，求x的取值范圍.解(1)當a1.5時，過點C作AB的垂線，垂足為D，則BD0.5m，且ACDBCD，又觀察者離墻xm，且x>1，則tanBCD，tanACD.所以tantan(ACDBCD)，當且僅當x，即x>1時取等號.又因為tan在上單調(diào)遞增，所以當觀察者離墻m時，視角最大.(2)由題意得tanBCD，tanACD，又tan，所以tantan(ACDBCD).所以a26a8x24x，當1a2時，0a26a83，所以0x24x3，即解得0x1或3x4.又因為x>1，所以3x4，所以x的取值范圍為3,4.7.某市對城市路網(wǎng)進行改造，擬在原有a個標段(注：一個標段是指一定長度的機動車道)的基礎(chǔ)上，新建x個標段和n個道路交叉口，其中n與x滿足nax5.已知新建一個標段的造價為m萬元，新建一個道路交叉口的造價是新建一個標段的造價的k倍.(1)寫出新建道路交叉口的總造價y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)P是新建標段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比.若新建的標段數(shù)是原有標段數(shù)的20%，且k3.問：P能否大于？并說明理由.解(1)依題意得ymknmk(ax5)，xN*.(2)方法一依題意x0.2a.所以P.故P不可能大于.方法二依題意得x0.2a.所以P.假設(shè)P，得ka220a25k0.因為k3，所以100(4k2)0，所以不等式ka220a25k0無解，與假設(shè)矛盾，故P.故P不可能大于.8.如圖，某工業(yè)園區(qū)是半徑為10km的圓形區(qū)域，離園區(qū)中心O點5km處有一中轉(zhuǎn)站P，現(xiàn)準備在園區(qū)內(nèi)修建一條筆直公路AB經(jīng)過中轉(zhuǎn)站，公路AB把園區(qū)分成兩個區(qū)域.(1)設(shè)中心O對公路AB的視角為，求的最小值，并求較小區(qū)域面積的最小值；(2)為方便交通，準備過中轉(zhuǎn)站P在園區(qū)內(nèi)再修建一條與AB垂直的筆直公路CD，求兩條公路長度和的最小值.解(1)如圖1，作OHAB，設(shè)垂足為H，記OHd，2AOH，因為cosAOH，要使有最小值，只需要d有最大值，結(jié)合圖象，可得dOP5km，當且僅當ABOP時，dmax5km.此時min2AOH2.設(shè)AB把園區(qū)分成兩個區(qū)域，其中較小區(qū)域的面積記為S，由題意得Sf()S扇形SAOB50(sin)，f()50(1cos)0恒成立，所以f()為增函數(shù)，所以Sminf50km2.答視角的最小值為，較小區(qū)域面積的最小值是50km2.圖1(2)如圖2，過O分別作OHAB，OH1CD，垂足分別是H，H1，記OHd1，OH1d2，由(1)可知d10,5，所以ddOP225，且d25d，因為AB2，CD2，所以ABCD2()2().記L(d1)ABCD2()可得L2(d1)41752，由d0,25可知，當d0或d25時，L2(d1)的最小值是100(74)，從而ABCD的最小值是(2010)km.答兩條公路長度和的最小值是(2010)km.圖2考點三建立三角模型方法技巧諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，可運用三角函數(shù)知識求解.9.如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑為40米.如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請解答下列問題：(1)求出你與地面的距離y(米)與時間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當你第4次距離地面60.5米時，用了多長時間？解(1)由已知可設(shè)y40.540cost，t0，由周期為12分鐘可知，當t6時，摩天輪第1次到達最高點，即此函數(shù)第1次取得最大值，所以6，即，所以y40.540cost(t0).(2)設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時，第t0分鐘時距離地面60.5米.由60.540.540cost0，得cost0，所以t0或t0，解得t04或t08，所以t8(分鐘)時，第2次距地面60.5米，故第4次距離地面60.5米時，用了12820(分鐘).10.如圖，我市有一個健身公園，由一個直徑為2km的半圓和一個以PQ為斜邊的等腰直角三角形PRQ構(gòu)成，其中O為PQ的中點.現(xiàn)準備在公園里建設(shè)一條四邊形健康跑道ABCD，按實際需要，四邊形ABCD的兩個頂點C，D分別在線段QR，PR上，另外兩個頂點A，B在半圓上，ABCDPQ，且AB，CD間的距離為1km.設(shè)四邊形ABCD的周長為ckm.(1)若C，D分別為QR，PR的中點，求AB的長；(2)求周長c的最大值.解(1)如圖，連結(jié)RO并延長分別交AB，CD于M，N，連結(jié)OB.因為C，D分別為QR，PR的中點，PQ2，所以CDPQ1.因為PRQ為等腰直角三角形，PQ為斜邊，所以ROPQ1，NORO.因為MN1，所以MO.在RtBMO中，BO1，所以BM，所以AB2BM.(2)設(shè)BOM，0<<.在RtBMO中，BO1，所以BMsin，OMcos.因為MN1，所以CNRN1ONOMcos，所以BCAD，所以cABCDBCAD2sincos22，當且僅當sincos，即sin2，即或時取等號.所以當或時，周長c的最大值為2km.11.在一個直角邊長為10m的等腰直角三角形ABC的草地上，鋪設(shè)一個等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三點分別在ABC的三條邊上，且要使PQR的面積最小.現(xiàn)有兩種設(shè)計方案(如圖所示)：方案一：直角頂點Q在斜邊AB上，R，P分別在直角邊AC，BC上；方案二：直角頂點Q在直角邊BC上，R，P分別在直角邊AC，斜邊AB上.請問應(yīng)選用哪一種方案？并說明理由.解方案一：過點Q作QMAC于點M，作QNBC于點N(如圖所示)，因為PQR為等腰直角三角形，且QPQR，所以RMQPNQ，所以QMQN，從而Q為AB的中點，則QMQN5m，設(shè)RQM，則RQ，0，45)，所以SPQRRQ2，所以當cos1，即0時，SPQR取得最小值為m2.方案二：設(shè)CQx，RQC，(0，90)，在RCQ中，RQ，在BPQ中，PQB90，所以，即，化簡得，所以SPQRRQ2，因為(sin2cos)25，所以SPQR的最小值為10m2.綜上，應(yīng)選用方案二.12.某飛機失聯(lián)，經(jīng)衛(wèi)星偵查，其最后出現(xiàn)在小島O附近.現(xiàn)派出四艘搜救船A，B，C，D，為方便聯(lián)絡(luò)，船A，B始終在以小島O為圓心，100海里為半徑的圓周上，船A，B，C，D構(gòu)成正方形編隊展開搜索，小島O在正方形編隊外(如圖).設(shè)小島O到AB的距離為x，OAB，船D到小島O的距離為d.(1)請分別求出d關(guān)于x，的函數(shù)關(guān)系式dg(x)，df()，并分別寫出定義域；(2)當A，B兩艘船之間的距離是多少時，搜救范圍最大(即d最大)?解設(shè)x的單位為百海里.(1)由OAB，AB2OAcos2cos，ADAB2cos，在AOD中，ODf()，.若小島O到AB的距離為x，AB2，ODg(x)，x(0,1).(2)OD24cos214cossin4142(sin2cos2)32sin3，.則2，當2，即時，OD取得最大值，此時AB2cos2(百海里).答當A，B間距離為100海里時，搜救范圍最大.例(14分)如圖，在半徑為30cm的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD(點A，B在直徑上，點C，D在半圓周上)，并將其卷成一個以AD為母線的圓柱體罐子的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗)，(1)若要求圓柱體罐子的側(cè)面積最大，應(yīng)如何截?。?2)若要求圓柱體罐子的體積最大，應(yīng)如何截??？審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答評分標準解(1)如圖，設(shè)圓心為O，連結(jié)OC，設(shè)BCx，方法一易得AB2，x(0,30)，故所求矩形ABCD的面積為S(x)2x3分2x2(900x2)900(cm2)(當且僅當x2900x2，即x15(cm)時等號成立)，此時BC15cm.6分方法二設(shè)COB，則BC30sin，OB30cos，所以矩形ABCD的面積為S()230sin30cos900sin2，3分當sin21，即時，S()max900(cm2).此時BC15cm.6分(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r，體積為V，由AB22r，得r，所以Vr2x(900xx3)，其中x(0,30).9分令V(9003x2)0，得x10，所以，V(900xx3)在(0,10)上單調(diào)遞增，在(10，30)上單調(diào)遞減，故當x10時，體積最大為cm3.13分答(1)當截取的矩形鐵皮的一邊BC為15cm時，圓柱體罐子的側(cè)面積最大.(2)當截取的矩形鐵皮的一邊BC為10cm時，圓柱體罐子的體積最大.14分構(gòu)建答題模板第一步審題：閱讀理解，審清題意第二步建模：引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型.第三步解模：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答，求得結(jié)果.第四步回答：將所得結(jié)果再轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答.1.植物園擬建一個多邊形苗圃，苗圃的一邊緊靠著長度大于30m的圍墻.現(xiàn)有兩種方案：方案多邊形為直角三角形AEB(AEB90)，如圖1所示，其中AEEB30m；方案多邊形為等腰梯形AEFB(AB>EF)，如圖2所示，其中AEEFBF10m.請你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案.圖1圖2解設(shè)方案，中多邊形苗圃的面積分別為S1，S2.方案設(shè)AEx，則S1x(30x)2(當且僅當x15時，“”成立).方案設(shè)BAE，則S2100sin(1cos)，.令S100(2cos2cos 1)0，得cos (cos 1舍去)，因為，所以，當變化時S，S2的變化情況如下：S0S2遞增極大值遞減所以當時，(S2)max75.因為75，所以建苗圃時用方案，且BAE.答方案苗圃的最大面積分別為m2,75m2，建苗圃時用方案，且BAE.2.經(jīng)市場調(diào)查，某商品每噸的價格為x(1<x<14)百元時，該商品的月供給量為y1噸，y1axa2a(a>0)；月需求量為y2萬噸，y2x2x1，當該商品的需求量大于供給量時，銷售量等于供給量；當該商品的需求量不大于供給量時，銷售量等于需求量，該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積.(1)若a，問商品的價格為多少時，該商品的月銷售額最大？(2)記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格，若該商品的均衡價格不低于每噸6百元，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)若a，由y2>y1，得x2x1>x2，解得40<x<6.因為1<x<14，所以1<x<6.設(shè)該商品的月銷售額為g(x)，則g(x)當1<x<6時，g(x)x<g(6).當6x<14時，g(x)x，則g(x)(3x24x224)(x8)(3x28)，由g(x)>0，得x<8，所以g(x)在6,8)上是增函數(shù)，在(8,14)上是減函數(shù)，故當x8時，g(x)有最大值g(8).(2)設(shè)f(x)y1y2x2xa21a，因為a>0，所以f(x)在區(qū)間(1,14)上是增函數(shù)，若該商品的均衡價格不低于6百元，即函數(shù)f(x)在區(qū)間6,14)上有零點，所以即解得0<a.答(1)若a，商品的每噸價格定為8百元時，月銷售額最大；(2)若該商品的均衡價格不低于每噸6百元，實數(shù)a的取值范圍是.3.如圖，某城市有一個邊長為4百米的正方形休閑廣場，廣場中間陰影部分是一個雕塑群.建立坐標系(單位：百米)，則雕塑群的左上方邊緣曲線AB是拋物線y24x(1x3，y0)的一段.為方便市民，擬建造一條穿越廣場的直路EF(寬度不計)，要求直路EF與曲線AB相切(記切點為M)，并且將廣場分割成兩部分，其中直路EF左上部分建設(shè)為主題陳列區(qū).記M點到OC的距離為m(百米)，主題陳列區(qū)的面積為S(萬平方米).(1)當M為EF的中點時，求S的值；(2)求S的取值范圍.解(1)M點坐標為(m,2)，曲線AB方程為y2(1x3)，y，切線方程為y2(xm)，則點E，F(xiàn)坐標分別為(0，)，(4m,4)，因為M為EF的中點，所以44，即，所以點E，F(xiàn)坐標分別為，此時S.(2)由(1)知點E，F(xiàn)坐標分別為(0，)，(4m,4)，因為xF44m4(2)20，所以xF4，又yE0，所以直路EF左上部分為CEF，SCFCE(4m)(4)(m8m16)，1m3，令t，則1t，設(shè)Sf(t)(t38t216t)，f(t)(3t216t16)(3t4)(t4)，當1t時，f(t)0，f(t)單調(diào)遞增；當t時，f(t)0，f(t)單調(diào)遞減，所以Smaxf(t)maxf.因為f()f(1)，所以S的取值范圍為.答(1)當M為EF的中點時，S的值為；(2)S的取值范圍為.4.某海濱浴場一天的海浪高度y(m)是時間t(0t24)(h)的函數(shù)，記作yf(t)，下表是某天各時的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)選用一個三角函數(shù)來近似描述這個海濱浴場的海浪高度y(m)與時間t(h)的函數(shù)關(guān)系；(2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度不少于1m時才對沖浪愛好者開放海濱浴場，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8h至20h之間，有多少時間可供沖浪愛好者進行沖浪？解(1)以時間為橫坐標，海浪高度為縱坐標，在平面直角坐標系中畫出散點圖，如圖所示：依據(jù)散點圖，可以選用函數(shù)yAsin(t)h來近似描述這個海濱浴場的海浪高度y(m)與時間t(h)的函數(shù)關(guān)系.從表中數(shù)據(jù)和散點圖，可知A，T12，所以12，得.又h1，于是ysin1.由圖，知02k，kZ，又|，所以，從而ysin1，即ycost1(0t24).(2)由題意，可知y1，所以cost11，即cost0，所以2kt2k(kZ)，即12k3t12k3(kZ).又0t24，所以0t3或9t15或21t24.故一天內(nèi)的8h至20h之間有6個小時可供沖浪愛好者進行沖浪，即9h至15h.