中考數(shù)學(xué)試題分項版解析匯編（第03期）專題10 四邊形（含解析）

專題10 四邊形 一、選擇題 1．（2017四川省南充市）已知菱形的周長為，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為（　?。? A．2　　　　　　B．　　　　　　C．3　　　　　　D．4 【答案】D． 考點：菱形的性質(zhì)． 2．（2017四川省廣安市）下列說法： ①四邊相等的四邊形一定是菱形 ②順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是正方形 ③對角線相等的四邊形一定是矩形 ④經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分 其中正確的有（　　）個． A．4　　　　　　B．3　　　　　　C．2　　　　　　D．1 【答案】D． 【解析】 試題分析：∵四邊相等的四邊形一定是矩形，∴①錯誤； ∵順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是菱形，∴②錯誤； ∵對角線相等的平行四邊形才是矩形，∴③錯誤； ∵經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分，∴④正確； 其中正確的有1個，故選D． 考點：1．中點四邊形；2．平行四邊形的性質(zhì)；3．菱形的判定；4．矩形的判定與性質(zhì)；5．正方形的判定． 3．（2017四川省眉山市）如圖，EF過?ABCD對角線的交點O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周長為18，OE=1.5，則四邊形EFCD的周長為（　?。? A．14　　　　　　B．13　　　　　　C．12　　　　　　D．10 【答案】C． 考點：平行四邊形的性質(zhì)． 4．（2017四川省綿陽市）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，過點O作BD的垂線分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點．若AC=，∠AEO=120°，則FC的長度為（　?。? A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】A． 【解析】 試題分析：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°﹣30°=30°，∴OF=CF，又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=，∴OF=tan30°×BO=1，∴CF=1，故選A． 考點：1．矩形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．解直角三角形． 5．（2017四川省達州市）如圖，將矩形ABCD繞其右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，繼續(xù)繞右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次．若AB=4，AD=3，則頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為（　?。? A．2017π　　　　　　B．2034π　　　　　　C．3024π　　　　　　D．3026π 【答案】D． 考點：1．軌跡；2．矩形的性質(zhì)；3．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；4．規(guī)律型；5．綜合題． 6．（2017山東省棗莊市）如圖，O是坐標原點，菱形OABC的頂點A的坐標為（﹣3，4），頂點C在x軸的負半軸上，函數(shù)（x＜0）的圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為（　?。? A．﹣12　　　　　　B．﹣27　　　　　　C．﹣32　　　　　　D．﹣36 【答案】C． 【解析】 試題分析：∵A（﹣3，4），∴OA= =5，∵四邊形OABC是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，則點B的橫坐標為﹣3﹣5=﹣8，故B的坐標為：（﹣8，4），將點B的坐標代入得，4=，解得：k=﹣32．故選C． 考點：1．菱形的性質(zhì)；2．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征． 7．（2017廣東省）如圖，已知正方形ABCD，點E是BC邊的中點，DE與AC相交于點F，連接BF，下列結(jié)論：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正確的是（　?。? A．①③　　　　　　B．②③　　　　　　C．①④　　　　　　D．②④ 【答案】C． 考點：正方形的性質(zhì)． 8．（2017河北省）求證：菱形的兩條對角線互相垂直． 已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O． 求證：AC⊥BD． 以下是排亂的證明過程： ①又BO=DO； ②∴AO⊥BD，即AC⊥BD； ③∵四邊形ABCD是菱形； ④∴AB=AD． 證明步驟正確的順序是（　?。? A．③→②→①→④　　　　　　B．③→④→①→② C．①→②→④→③　　　　　　D．①→④→③→② 【答案】B． 【解析】 試題分析：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵對角線AC，BD交于點O，∴BO=DO，∴∴AO⊥BD，即AC⊥BD，∴證明步驟正確的順序是③→④→①→②，故選B． 考點：菱形的性質(zhì)． 9．（2017河北?。┤鐖D是邊長為10的正方形鐵片，過兩個頂點剪掉一個三角形，以下四種剪法中，裁剪線長度所標的數(shù)據(jù)（單位：）不正確的（　?。? A． B． C． D． 【答案】A． 考點：1．正方形的性質(zhì)；2．勾股定理． 10．（2017浙江省麗水市）如圖，在?ABCD中，連結(jié)AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，則BC的長是（　?。? A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】C． 【解析】 試題分析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°，∴AC=CD=2，∠ACD=90°，即△ACD是等腰直角三角形，∴BC=AD==；故選C． 考點：平行四邊形的性質(zhì)． 11．（2017浙江省臺州市）如圖，矩形EFGH的四個頂點分別在菱形ABCD的四條邊上，BE=BF，將△AEH，△CFG分別沿邊EH，F(xiàn)G折疊，當重疊部分為菱形且面積是菱形ABCD面積的時，則為（　?。? A． 　　　　B．2　　　　C． 　　　　D．4 【答案】A． 考點：1．翻折變換（折疊問題）；2．菱形的性質(zhì)；3．矩形的性質(zhì)． 12．（2017重慶市B卷）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分別以A、C為圓心，AD、CB為半徑畫弧，交AB于點E，交CD于點F，則圖中陰影部分的面積是（　?。? A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【答案】C． 【解析】 試題分析：∵矩形ABCD，∴AD=CB=2，∴S陰影=S矩形﹣S半圓=2×4﹣π×22=8﹣2π，故選C． 考點：1．扇形面積的計算；2．矩形的性質(zhì)． 二、填空題 13．（2017四川省南充市）如圖，在?ABCD中，過對角線BD上一點P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，則S?AEPH= ． 【答案】4． 考點：平行四邊形的性質(zhì)． 14．（2017四川省南充市）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①BE=DG；②BE⊥DG；③，其中正確結(jié)論是 （填序號） 【答案】①②③． 【解析】 試題分析：設(shè)BE，DG交于O，∵四邊形ABCD和EFGC都為正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，∵BC=DC，∠BCE=∠DCG，CE=CG，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOC=90°，∴BE⊥DG；故①②正確； 連接BD，EG，如圖所示，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=b2，則BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+b2，故③正確． 故答案為：①②③． 考點：1．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．正方形的性質(zhì)． 15．（2017四川省綿陽市）如圖，將平行四邊形ABCO放置在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，若點A的坐標是（6，0），點C的坐標是（1，4），則點B的坐標是 ． 【答案】（7，4）． 【解析】 試題分析：∵四邊形ABCO是平行四邊形，O為坐標原點，點A的坐標是（6，0），點C的坐標是（1，4），∴BC=OA=6，6+1=7，∴點B的坐標是（7，4）；故答案為：（7，4）． 考點：1．平行四邊形的性質(zhì)；2．坐標與圖形性質(zhì)． 16．（2017四川省達州市）如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，連接AE，將矩形沿AE翻折，使點B落在CD邊F處，連接AF，在AF上取點O，以O(shè)為圓心，OF長為半徑作⊙O與AD相切于點P．若AB=6，BC=，則下列結(jié)論：①F是CD的中點；②⊙O的半徑是2；③AE=CE；④．其中正確結(jié)論的序號是 ． 【答案】． 【解析】 試題分析：①∵AF是AB翻折而來，∴AF=AB=6，∵AD=BC=，∴DF==3，∴F是CD中點；∴①正確； ②連接OP，∵⊙O與AD相切于點P，∴OP⊥AD，∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴，設(shè)OP=OF=x，則，解得：x=2，∴②正確； ③∵RT△ADF中，AF=6，DF=3，∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，∴∠EAF=∠EAB=30°，∴AE=2EF； ∵∠AFE=90°，∴∠EFC=90°﹣∠AFD=30°，∴EF=2EC，∴AE=4CE，∴③錯誤； ④連接OG，作OH⊥FG，∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG為等邊△；同理△OPG為等邊△； ∴∠POG=∠FOG=60°，OH=OG=，S扇形OPG=S扇形OGF，∴S陰影=（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣S△OGH）+（S扇形OGF﹣S△OFG）=S矩形OPDH﹣S△OFG==．∴④正確； 故答案為：①②④． 考點：1．切線的性質(zhì)；2．矩形的性質(zhì)；3．扇形面積的計算；4．翻折變換（折疊問題）；5．綜合題． 17．（2017山東省棗莊市）如圖，在?ABCD中，AB為⊙O的直徑，⊙O與DC相切于點E，與AD相交于點F，已知AB=12，∠C=60°，則的長為 ． 【答案】π． 考點：1．切線的性質(zhì)；2．平行四邊形的性質(zhì)；3．弧長的計算． 18．（2017山東省棗莊市）在矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點E，∠BED的角平分線EF與DC交于點F，若AB=9，DF=2FC，則BC= ．（結(jié)果保留根號） 【答案】． 考點：1．矩形的性質(zhì)；2．等腰三角形的判定；3．相似三角形的判定與性質(zhì)． 19．（2017廣東省）一個n邊形的內(nèi)角和是720°，則n= ． 【答案】6． 【解析】 試題分析：設(shè)所求正n邊形邊數(shù)為n，則（n﹣2）?180°=720°，解得n=6． 考點：多邊形內(nèi)角與外角． 20．（2017廣東?。┤鐖D，矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，先按圖（2）操作：將矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在邊AB上的點E處，折痕為AF；再按圖（3）操作，沿過點F的直線折疊，使點C落在EF上的點H處，折痕為FG，則A、H兩點間的距離為 ． 【答案】． 考點：1．翻折變換（折疊問題）；2．矩形的性質(zhì)；3．綜合題． 21．（2017廣西四市）如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，AC=2，BD=，將菱形按如圖方式折疊，使點B與點O重合，折痕為EF，則五邊形AEFCD的周長為 ． 【答案】7． 【解析】 試題分析：∵四邊形ABCD是菱形，AC=2，BD=，∴∠ABO=∠CBO，AC⊥BD，∵AO=1，BO=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，AB=2，∴∠ABC=60°，由折疊的性質(zhì)得，EF⊥BO，OE=BE，∠BEF=∠OEF，∴BE=BF，EF∥AC，∴△BEF是等邊三角形，∴∠BEF=60°，∴∠OEF=60°，∴∠AEO=60°，∴△AEO是等邊三角形，∴AE=OE，∴BE=AE，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=AC=1，AE=OE=1，同理CF=OF=1，∴五邊形AEFCD的周長為=1+1+1+2+2=7．故答案為：7． 考點：1．翻折變換（折疊問題）；2．菱形的性質(zhì)；3．綜合題． 22．（2017江蘇省連云港市）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．若∠EAF=60°，則∠B= ． 【答案】60°． 考點：平行四邊形的性質(zhì)． 23．（2017浙江省紹興市）如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路線為B→A→G→E，小聰行走的路線為B→A→D→E→F．若小敏行走的路程為3100m，則小聰行走的路程為 m． 【答案】4600． 【解析】 試題分析：小敏走的路程為AB+AG+GE=1500+（AG+GE）=3100，則AG+GE=1600m，小聰走的路程為BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF）． 連接CG，在正方形ABCD中，∠ADG=∠CDG=45°，AD=CD，在△ADG和△CDG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG=CG． 又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，∴四邊形GECF是矩形，∴CG=EF． 又∵∠CDG=45°，∴DE=GE，∴小聰走的路程為BA+AD+DE+EF=3000+（GE+AG）=3000+1600=4600（m）． 故答案為：4600． 考點：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．正方形的性質(zhì)． 24．（2017重慶市B卷）如圖，正方形ABCD中，AD=4，點E是對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥ED，交AB于點F，連接DF，交AC于點G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點N，若點F是AB的中點，則△EMN的周長是 ． 【答案】． 【解析】 試題分析：如圖1，過E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，連接BE，∵DC∥AB，∴PQ⊥AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∴PE=PC，設(shè)PC=x，則PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，∴PD=EQ，∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，∴△DPE≌△EQF，∴DE=EF，易證明△DEC≌△BEC，∴DE=BE，∴EF=BE，∵EQ⊥FB，∴FQ=BQ=BF，∵AB=4，F(xiàn)是AB的中點，∴BF=2，∴FQ=BQ=PE=1，∴CE=，Rt△DAF中，DF==，∵DE=EF，DE⊥EF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE=EF==，∴PD==3，如圖2，∵DC∥AB，∴△DGC∽△FGA，∴ = =2，∴CG=2AG，DG=2FG，∴FG==，∵AC==，∴CG==，∴EG==，連接GM、GN，交EF于H，∵∠GFE=45°，∴△GHF是等腰直角三角形，∴GH=FH= =，∴EH=EF﹣FH=﹣=，∴∠NDE=∠AEF，∴tan∠NDE=tan∠AEF=，∴ =，∴EN=，∴NH=EH﹣EN=﹣=，Rt△GNH中，GN= = =，由折疊得：MN=GN，EM=EG，∴△EMN的周長=EN+MN+EM=++=； 故答案為：． 考點：1．翻折變換（折疊問題）；2．正方形的性質(zhì)；3．綜合題． 三、解答題 25．（2017四川省南充市）如圖，在正方形ABCD中，點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=AB． （1）求證：EF⊥AG； （2）若點F、G分別在射線AB、BC上同時向右、向上運動，點G運動速度是點F運動速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只寫結(jié)果，不需說明理由）？ （3）正方形ABCD的邊長為4，P是正方形ABCD內(nèi)一點，當，求△PAB周長的最小值． 【答案】（1）證明見解析；（2）成立；（3）． 【解析】 （2）證明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論； （3）過O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，則MN⊥AD，MN=AB=4，由三角形面積關(guān)系得出點P在線段MN上，當P為MN的中點時，△PAB的周長最小，此時PA=PB，PM=MN=2，連接EG，則EG∥AB，EG=AB=4，證明△AOF∽△GOE，得出 =，證出 =，得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案． 試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，∵點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=AB，∴ =， =，∴，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，∴EF⊥AG； （2）解：成立；理由如下： 根據(jù)題意得： =，∵ =，∴=，又∵∠EAF=∠ABG，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，∴EF⊥AG； （3）解：過O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如圖所示： 則MN⊥AD，MN=AB=4，∵P是正方形ABCD內(nèi)一點，當S△PAB=S△OAB，∴點P在線段MN上，當P為MN的中點時，△PAB的周長最小，此時PA=PB，PM=MN=2，連接EG、PA、PB，則EG∥AB，EG=AB=4，∴△AOF∽△GOE，∴=，∵MN∥AB，∴ =，∴AM=AE=×2=，由勾股定理得：PA= =，∴△PAB周長的最小值=2PA+AB=． 考點：1．四邊形綜合題；2．探究型；3．動點型；4．最值問題． 26．（2017四川省廣安市）如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是了AB、AD上的一點，且BF⊥CE，垂足為G，求證：AF=BE． 【答案】證明見解析． 考點：1．正方形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)． 27．（2017四川省眉山市）如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連結(jié)DE，過頂點B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交BC于G． （1）求證：BG=DE； （2）若點G為CD的中點，求的值． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】 試題分析：（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，從而可知∠CBG=∠CDE，根據(jù)全等三角形的判定即可證明△BCG≌△DCE，從而可知BG=DE； （2）設(shè)CG=1，從而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易證△ABH∽△CGH，所以=2，從而可求出HG的長度，進而求出的值． 試題解析：（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG與△DCE中，∵∠CBG=∠CDE，BC=CD，∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE； （2）設(shè)CG=1，∵G為CD的中點，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin∠CDE=，∴GF=，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴，∴BH=，GH=，∴ =． 考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．正方形的性質(zhì)． 28．（2017四川省綿陽市）如圖，已知△ABC中，∠C=90°，點M從點C出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度勻速運動，到達點B停止運動，在點M的運動過程中，過點M作直線MN交AC于點N，且保持∠NMC=45°，再過點N作AC的垂線交AB于點F，連接MF，將△MNF關(guān)于直線NF對稱后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，設(shè)點M運動時間為t（s），△ENF與△ANF重疊部分的面積為y（cm2）． （1）在點M的運動過程中，能否使得四邊形MNEF為正方形？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由； （2）求y關(guān)于t的函數(shù)解析式及相應(yīng)t的取值范圍； （3）當y取最大值時，求sin∠NEF的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 試題分析：（1）由已知得出CN=CM=t，F(xiàn)N∥BC，得出AN=8﹣t，由平行線證出△ANF∽△ACB，得出對應(yīng)邊成比例求出NF=AN=（8﹣t），由對稱的性質(zhì)得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性質(zhì)得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可； （3）當點E在AB邊上時，y取最大值，連接EM，則EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB= =，求出EF=EB=，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出DF= HF=，在Rt△DEF中，由三角函數(shù)定義即可求出sin∠NEF的值． 試題解析：（1）能使得四邊形MNEF為正方形；理由如下： 連接ME交NF于O，如圖1所示： ∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，∴CN=CM=t，F(xiàn)N∥BC，∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，∴ =2，∴NF=AN=（8﹣t），由對稱的性質(zhì)得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，∵四邊形MNEF是正方形，∴OE=ON=FN，∴t=×（8﹣t），解得：t=； 即在點M的運動過程中，能使得四邊形MNEF為正方形，t的值為； （2）分兩種情況： ①當0＜t≤2時，y=×（8﹣t）×t=，即（0＜t≤2）； ②當2＜t≤4時，如圖2所示：作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，∴GH=NF=（8﹣t），∴y=NF′GH=×（8﹣t）×（8﹣t）=，即（2＜t≤4）； 綜上所述： ． 考點：1．四邊形綜合題；2．最值問題；3．動點型；4．存在型；5．分類討論；6．壓軸題． 29．（2017四川省達州市）如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過點O作直線EF∥BC分別交∠ACB、外角∠ACD的平分線于點E、F． （1）若CE=8，CF=6，求OC的長； （2）連接AE、AF．問：當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由． 【答案】（1）5；（2）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，證出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案； （2）解：當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下： 連接AE、AF，如圖所示： 當O為AC的中點時，AO=CO，∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECF=90°，∴平行四邊形AECF是矩形． 考點：1．矩形的判定；2．平行線的性質(zhì)；3．等腰三角形的判定與性質(zhì)；4．探究型；5．動點型． 30．（2017山東省棗莊市）已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA，EC． （1）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC； （2）如圖2，若點P在線段AB的中點，連接AC，判斷△ACE的形狀，并說明理由； （3）如圖3，若點P在線段AB上，連接AC，當EP平分∠AEC時，設(shè)AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度數(shù)． 【答案】（1）證明見解析；（2）△ACE是直角三角形；（3）：1，45°． 【解析】 試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)證明△APE≌△CFE，可得結(jié)論； （2）分別證明∠PAE=45°和∠BAC=45°，則∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形； （2）△ACE是直角三角形，理由是： 如圖2，∵P為AB的中點，∴PA=PB，∵PB=PE，∴PA=PE，∴∠PAE=45°，又∵∠BAC=45°，∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形； （3）設(shè)CE交AB于G，∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a，∵PE∥CF，∴，即，解得：a=b，∴a：b=：1，作GH⊥AC于H，∵∠CAB=45°，∴HG=AG=（2b﹣2b）=（2﹣）b，又∵BG=2b﹣a=（2﹣）b，∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，∴∠HCG=∠BCG，∵PE∥CF，∴∠PEG=∠BCG，∴∠AEC=∠ACB=45°． 考點：1．四邊形綜合題；2．探究型；3．變式探究． 31．（2017山東省濟寧市）實驗探究： （1）如圖1，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開；再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN，MN．請你觀察圖1，猜想∠MBN的度數(shù)是多少，并證明你的結(jié)論． （2）將圖1中的三角形紙片BMN剪下，如圖2，折疊該紙片，探究MN與BM的數(shù)量關(guān)系，寫出折疊方案，并結(jié)合方案證明你的結(jié)論． 【答案】（1）∠MBN=30°；（2）MN=BM． 【解析】 試題分析：（1）猜想：∠MBN=30°．只要證明△ABN是等邊三角形即可； （2）結(jié)論：MN=BM． 折紙方案：如圖2中，折疊△BMN，使得點N落在BM上O處，折痕為MP，連接OP． 理由：由折疊可知△MOP≌△MNP，∴MN=OM，∠OMP=∠NMP=∠OMN=30°=∠B，∠MOP=∠MNP=90°，∴∠BOP=∠MOP=90°，∵OP=OP，∴△MOP≌△BOP，∴MO=BO=BM，∴MN=BM． 考點：1．翻折變換（折疊問題）；2．矩形的性質(zhì)；3．剪紙問題． 32．（2017廣東?。┤鐖D所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD為銳角． （1）求證：AD⊥BF； （2）若BF=BC，求∠ADC的度數(shù)． 【答案】（1）證明見解析；（2）150°． 【解析】 試題分析：（1）連結(jié)DB、DF．根據(jù)菱形四邊相等得出AB=AD=FA，再利用SAS證明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在線段BF的垂直平分線上，又AB=AF，即A在線段BF的垂直平分線上，進而證明AD⊥BF； （2）如圖，設(shè)AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，則四邊形BGDH是矩形，∴DG=BH=BF．∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，∴∠C=30°，∵BC∥AD，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°． 考點：菱形的性質(zhì)． 33．（2017廣西四市）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在BD上，BE=DF． （1）求證：AE=CF； （2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面積． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】 試題分析：（1）由矩形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，證出OE=OF，由SAS證明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF； （2）證出△AOB是等邊三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的長，即可得出矩形ABCD的面積． 試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∵BE=DF，∴OE=OF，在△AOE和△COF中，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF； （2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=12，在Rt△ABC中，BC==，∴矩形ABCD的面積=AB?BC=6×=． 考點：1．矩形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)． 34．（2017江蘇省鹽城市）如圖，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F． （1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形； （2）當∠ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由． 【答案】（1）證明見解析；（2）∠ABE=30°． 【解析】 試題分析：（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，結(jié)合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根據(jù)AD∥BC即可得證； （2）當∠ABE=30°時，四邊形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四邊形BEDF是平行四邊形，∴四邊形BEDF是菱形． 考點：1．矩形的性質(zhì)；2．平行四邊形的判定與性質(zhì)；3．菱形的判定；4．探究型． 35．（2017江蘇省鹽城市）（探索發(fā)現(xiàn)】 如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B=60°，小明想從中剪出一個以∠B為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為 ． 【拓展應(yīng)用】 如圖②，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為 ．（用含a，h的代數(shù)式表示） 【靈活應(yīng)用】 如圖③，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積． 【實際應(yīng)用】 如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD，經(jīng)測量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積． 【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】；【拓展應(yīng)用】；【靈活應(yīng)用】720；【實際應(yīng)用】1944． 【拓展應(yīng)用】：由△APN∽△ABC知，可得PN=a﹣PQ，設(shè)PQ=x，由S矩形PQMN=PQ?PN═，據(jù)此可得； 【靈活應(yīng)用】：添加如圖1輔助線，取BF中點I，F(xiàn)G的中點K，由矩形性質(zhì)知AE=EH20、CD=DH=16，分別證△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，從而判斷出中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，利用【探索發(fā)現(xiàn)】結(jié)論解答即可； 【實際應(yīng)用】：延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，繼而求得BE=CE=90，可判斷中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，利用【拓展應(yīng)用】結(jié)論解答可得． 試題解析：【探索發(fā)現(xiàn)】 ∵EF、ED為△ABC中位線，∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，又∠B=90°，∴四邊形FEDB是矩形，則 ===，故答案為：； 【拓展應(yīng)用】 ∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，∴PN=a﹣PQ，設(shè)PQ=x，則S矩形PQMN=PQ?PN=x（a﹣x）= =，∴當PQ=時，S矩形PQMN最大值為，故答案為：； 【靈活應(yīng)用】 如圖1，延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，F(xiàn)G的中點K， 由題意知四邊形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵∠FAE=∠DHE，AE=AH，∠AEF=∠HED，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI=（AB+AF）=24，∵BI=24＜32，∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，過點K作KL⊥BC于點L，由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為×BG?BF=×（40+20）×（32+16）=720，答：該矩形的面積為720； 【實際應(yīng)用】 如圖2，延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，∵tanB=tanC=，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵tanB==，∴EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，BE==90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中點Q在線段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE的中點P在線段CD上，∴中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，由【拓展應(yīng)用】知，矩形PQMN的最大面積為BC?EH=1944cm2． 答：該矩形的面積為1944cm2． 考點：1．四邊形綜合題；2．閱讀型；3．探究型；4．最值問題；5．壓軸題． 36．（2017江蘇省連云港市）問題呈現(xiàn)： 如圖1，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求證：．（S表示面積） 實驗探究：某數(shù)學(xué)實驗小組發(fā)現(xiàn)：若圖1中AH≠BF，點G在CD上移動時，上述結(jié)論會發(fā)生變化，分別過點E、G作BC邊的平行線，再分別過點F、H作AB邊的平行線，四條平行線分別相交于點A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1． 如圖2，當AH＞BF時，若將點G向點C靠近（DG＞AE），經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+S． 如圖3，當AH＞BF時，若將點G向點D靠近（DG＜AE），請?zhí)剿鱏四邊形EFGH、S矩形ABCD與S之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 遷移應(yīng)用： 請直接應(yīng)用“實驗探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問題： （1）如圖4，點E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點，已知AH＞BF，AE＞DG，S四邊形EFGH=11，HF=，求EG的長． （2）如圖5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點E、H分別在邊AB、AD上，BE=1，DH=2，點F、G分別是邊BC、CD上的動點，且FG=，連接EF、HG，請直接寫出四邊形EFGH面積的最大值． 【答案】問題呈現(xiàn)：；實驗探究：；遷移應(yīng)用：（1）EG=；（2）． （2）分兩種情形探究即可解決問題． 試題解析：問題呈現(xiàn)：證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°，∵AE=DG，∴四邊形AEGD是矩形，∴S△HGE=S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，∴S四邊形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形BEGC． 實驗探究：結(jié)論：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣． 理由：∵ =， =， =， =，∴S四邊形EFGH=+++﹣，∴2S四邊形EFGH=2+2+2+2﹣2，∴2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣． 遷移應(yīng)用：解：（1）如圖4中，∵2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣，∴ =25﹣2×11=3=A1B1A1D1，∵正方形的面積為25，∴邊長為5，∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，∴A1D1=2，A1B1=，∴EG2=A1B12+52=，∴EG=． （2）∵2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+，∴四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大． ①如圖5﹣1中，當G與C重合時，四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大． 此時矩形A1B1C1D1面積=1×（﹣2）= ②如圖5﹣2中，當G與D重合時，四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大． 此時矩形A1B1C1D1面積=21=2，∵2＞，∴矩形EFGH的面積最大值=． 考點：1．四邊形綜合題；2．最值問題；3．閱讀型；4．探究型；5．壓軸題． 37．（2017浙江省麗水市）如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的一個動點，連接BE，作點A關(guān)于BE的對稱點F，且點F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連接AF，BF，EF，過點F作GF⊥AF交AD于點G，設(shè)． （1）求證：AE=GE； （2）當點F落在AC上時，用含n的代數(shù)式表示的值； （3）若AD=4AB，且以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形，求n的值． 【答案】（1）證明見解析；（2）= ；（3）n=16或 ． 【解析】 試題分析：（1）因為GF⊥AF，由對稱易得AE=EF，則由直角三角形的兩個銳角的和為90度，且等邊對等角，即可證明E是AG的中點；（2）可設(shè)AE=a，則AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可證明△ABE~△DAC ， 則，因為AB=DC，且DA，AE已知表示出來了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形時的n，需要分類討論，一般分三個，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根據(jù)點F在矩形ABCD的內(nèi)部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°進行分析解答． 試題解析：（1）證明：由對稱得AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，∵GF⊥AE，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF，∴AE=EG． （2）解：設(shè)AE=a，則AD=na，當點F落在AC上時（如圖1），由對稱得BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，∵∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠DAC，又∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE~△DAC ，∴ ∵AB=DC，∴AB2=AD·AE=na·a=na2，∵AB>0，∴AB=，∴= =，∴=． 考點：1．矩形的性質(zhì)；2．解直角三角形的應(yīng)用；3．相似三角形的判定與性質(zhì)；4．分類討論；5．壓軸題． 38．（2017浙江省紹興市）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形． （1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°． ①若AB=CD=1，AB∥CD，求對角線BD的長． ②若AC⊥BD，求證：AD=CD； （2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點P是對角線BD上一點，且BP=2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長． 【答案】（1）①；②證明見解析；（2）5或6.5． 【解析】 試題分析：（1）①只要證明四邊形ABCD是正方形即可解決問題； ②只要證明△ABD≌△CBD，即可解決問題； （2）如圖1中，連接AC、BD． ∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． （2）若EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，∴四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件． 若EF與BC不垂直，①當AE=AB時，如圖2中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，∴AE=AB=5． ②當BF=AB時，如圖3中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴BF=PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，綜上所述，滿足條件的AE的長為5或6.5． 考點：1．四邊形綜合題；2．分類討論；3．新定義；4．壓軸題． 39．（2017浙江省紹興市）如圖，已知□ABCD，AB∥x軸，AB=6，點A 的坐標為（1，-4），點D的坐標為（-3，4），點B在第四象限，點P是□ABCD邊上一個動點． （1） 若點P在邊BC上，PD=CD，求點P的坐標． （2）若點P在邊AB、AD上，點P關(guān)于坐標軸對稱的點Q ，落在直線上，求點P的坐標． （3） 若點P在邊AB，AD，CD上，點G是AD與y軸的交點，如圖，過點作y軸的平行線PM，過點G作x軸的平行線GM，它們相交于點M，將△PGM沿直線PG翻折，當點M的對應(yīng)點落在坐標軸上時，求點P的坐標（直接寫出答案）． 【答案】（1）P（3，4）；（2）（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）；（3）P（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）． 【解析】 試題分析：（1）點P在BC上，要使PD=CD，只有P與C重合； （3）在不同邊上，根據(jù)圖象，點M翻折后，點M’落在x軸還是y軸，可運用相似求解． 試題解析：（1）∵CD=6，∴點P與點C重合，∴點P的坐標是（3，4）． （2）①當點P在邊AD上時，由已知得，直線AD的函數(shù)表達式為： ，設(shè)P（a，-2a-2），且-3≤a≤1． 若點P關(guān)于x軸對稱點Q1（a，2a+2）在直線y=x-1上，∴2a+2=a-1，解得a=-3，此時P（-3，4）． 若點P關(guān)于y軸對稱點Q2（-a，-2a-2）在直線y=x-1上，∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此時P（-1，0）． ②當點P在邊AB上時，設(shè)P（a，-4），且1≤a≤7． 若點P關(guān)于x軸對稱點Q3（a，4）在直線y=x-1上，∴4=a-1，解得a=5，此時P（5，-4）． 若點P關(guān)于y軸對稱點Q4（-a，-4）在直線y=x-1上，∴-4=-a-1，解得a=3，此時P（3，-4）． 綜上所述，點P的坐標為（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）． （3）因為直線AD為y=-2x-2，所以G（0，-2）． ①如圖，當點P在CD邊上時，可設(shè)P（m，4），且-3≤m≤3，則可得M′P=PM=4+2=6，M′G=GM=|m|，易證得△OGM′∽△HM′P，則，即，則OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，解得m=-或 ，則P（ -，4）或（ ，4）； ②如下圖，當點P在AD邊上時，設(shè)P（m，-2m-2），則PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，易證得△OGM′∽△HM′P，則，即，則OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，整理得m= -，則P（-，3）； 如下圖，當點P在AB邊上時，設(shè)P（m，-4），此時M′在y軸上，則四邊形PM′GM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，則P（2，-4）． 綜上所述，點P的坐標為（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）． 考點：1．一次函數(shù)綜合題；2．平行四邊形的性質(zhì)；3．翻折變換（折疊問題）；4．動點型；5．分類討論；6．壓軸題． 40．（2017湖北省襄陽市）如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點C，BD平分∠ABF，且交AE于點D，連接CD． （1）求證：四邊形ABCD是菱形； （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的長． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】 試題分析：（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出∠ABD=∠ADB，證出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，證出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結(jié)論； （2）解：∵四邊形ABCD是菱形，BD=6，∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3，∵∠ADB=30°，∴cos∠ADB=，∴AD==． 考點：菱形的判定與性質(zhì)．