新編高三數(shù)學 第36練 等差數(shù)列練習

第36練 等差數(shù)列 訓練目標 (1)等差數(shù)列的概念；(2)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式；(3)等差數(shù)列的性質． 訓練題型 (1)等差數(shù)列基本量的運算；(2)等差數(shù)列性質的應用；(3)等差數(shù)列的前n項和及其最值． 解題策略 (1)等差數(shù)列中的五個基本量知三求二；(2)等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；(3)等差數(shù)列前n項和Sn的最值求法：找正負轉折項或根據(jù)二次函數(shù)的性質. 一、選擇題 1．(20xx·遵義聯(lián)考一)已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，a2＝2，a1·a2·a3＝6，則d等于(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．2 2．(20xx·遼寧師大附中期中)在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則2a10－a12的值為(　　) A．20 B．22 C．24 D．28 3．(20xx·遼寧沈陽二中期中)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a7＝9a3，則等于(　　) A．9 B．5 C. D. 4．已知{an}滿足a1＝a2＝1，－＝1，則a6－a5的值為(　　) A．48 B．96 C．120 D．130 5．(20xx·東營期中)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當Sn取最小值時，n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 6．(20xx·邯鄲月考)等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，三個不同的點A，B，C在直線l上，點O在直線l外，且滿足＝a2＋(a7＋a12)，那么S13的值為(　　) A. B. C. D. 7．(20xx·四川眉山中學期中改編)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 015，其前n項和為Sn，若－＝2，則S2 017的值等于(　　) A．2 016 B．－2 016 C．2 017 D．－2 017 8．(20xx·云南玉溪一中月考)已知函數(shù)f(x)＝把函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋1的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，該數(shù)列的前n項的和為Sn，則S10等于(　　) A．45 B．55 C．210－1 D．29－1 二、填空題 9．(20xx·鐵嶺模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－6n，則{|an|}的前n項和Tn＝________________. 10．(20xx·安慶一模)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若＝，則＝________. 11．(20xx·山東臨沂一中期中)設f(x)＝，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________． 12．在圓x2＋y2＝5x內(nèi)，過點有n條弦的長度成等差數(shù)列，最短弦長為數(shù)列的首項a1，最長弦長為an，若公差d∈，那么n的取值集合為________.  答案精析 1． C　[因為{an}是公差為d的等差數(shù)列，由a1·a2·a3＝6，得(a2－d)·a2·(a2＋d)＝6， 則2(2－d)(2＋d)＝6，解得d＝±1，故選C.] 2． C　[由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120， 解得a8＝24，且a8＋a12＝2a10，則2a10－a12＝a8＝24.故選C.] 3．A　[∵等差數(shù)列{an}中，a7＝9a3. ∴a1＋6d＝9(a1＋2d)，∴a1＝－d， ∴＝＝9，故選A.] 4．B　[由－＝1可知是等差數(shù)列，公差為1，首項為＝1，∴＝n，累乘得an＝(n－1)(n－2)×…×3×2×1(n≥2)，∴a6－a5＝120－24＝96.] 5．A　[設該數(shù)列的公差為d，則a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，所以Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，所以當n＝6時，Sn取最小值．故選A.] 6．D　[由三個不同的點A，B，C在直線l上，點O在直線l外，且滿足＝a2＋(a7＋a12)，得a2＋a7＋a12＝1.因為{an}為等差數(shù)列，所以由等差中項公式，得3a7＝1，a7＝，所以S13＝13a7＝.故選D.] 7．C　[設等差數(shù)列前n項和為Sn＝An2＋Bn，則＝An＋B，∴成等差數(shù)列． ∵＝＝－2 015， ∴是以－2 015為首項，以1為公差的等差數(shù)列． ∴＝－2 015＋2 016×1＝1， ∴S2 017＝2 017.故選C.] 8．A　[當x≤0時，g(x)＝f(x)－x＋1＝x，故a1＝0； 當0<x≤1時，有－1<x－1≤0， 則f(x)＝f(x－1)＋1＝2(x－1)－1＋1＝2x－2， g(x)＝f(x)－x＋1＝x－1，故a2＝1； 當1<x≤2時，有0<x－1≤1， 則f(x)＝f(x－1)＋1＝2(x－1)－2＋1＝2x－3， g(x)＝f(x)－x＋1＝x－2，故a3＝2； 當2<x≤3時，有1<x－1≤2， 則f(x)＝f(x－1)＋1＝2(x－1)－3＋1＝2x－4， g(x)＝f(x)－x＋1＝x－3，故a4＝3，…，以此類推， 當n<x≤n＋1(其中n∈N)時，則f(x)＝2x－(n＋2)， 故數(shù)列的前n項構成一個以0為首項，以1為公差的等差數(shù)列． 故S10＝＝45，故選A.] 9. 解析　由Sn＝n2－6n，得{an}是等差數(shù)列，且首項為－5，公差為2， ∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7， ∴當n≤3時，an<0； 當n≥4時，an>0， ∴Tn＝ 10. 解析　設S3＝m，∵＝， ∴S6＝3m，∴S6－S3＝2m， 由等差數(shù)列依次每k項之和仍為等差數(shù)列，得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，∴S6＝3m，S12＝10m，∴＝. 11．3 解析　∵f(x)＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝， ∴由倒序相加求和法可知f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3. 12．{4,5,6} 解析　由已知2＋y2＝， 圓心為，半徑為，得 a1＝2×＝2×2＝4， an＝2×＝5， 由an＝a1＋(n－1)d?n＝＋1＝＋1＝＋1， 又<d≤， 所以4≤n<7， 則n的取值集合為{4,5,6}．