新編高三數學理一輪復習作業(yè)：第四章 三角函數 第七節(jié)　正弦定理和余弦定理 Word版含解析

第七節(jié)　正弦定理和余弦定理 A組　基礎題組 1.(20xx蘭州實戰(zhàn)考試)△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若b2=ac,c=2a,則cosC=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.24 B.-24 C.34 D.-34 2.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,則此三角形有(　　) A.無解 B.兩解 C.一解 D.解的個數不確定 3.(20xx河北武邑中學期中)△ABC中,c=3,b=1,∠B=蟺6,則△ABC的形狀為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.(20xx課標全國Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=蟺4,BC邊上的高等于13BC,則cosA=(　　) A.31010 B.1010 C.-1010 D.-31010 5.已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊,且(b-c)(sinB+sinC)=(a-3c)sinA,則角B的大小為(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 6.在△ABC中,∠A=2蟺3,a=3c,則bc=　　　　.  7.(20xx天津,12,5分)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,則cosA的值為　　　　.  8.(20xx福建,12,4分)若銳角△ABC的面積為103,且AB=5,AC=8,則BC等于　　　　.  9.(20xx武漢高三測試)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a+1a=4cosC,b=1. (1)若A=90°,求△ABC的面積; (2)若△ABC的面積為32,求a,c. 10.(20xx浙江,16,14分)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB. (1)證明:A=2B; (2)若△ABC的面積S=a24,求角A的大小. B組　提升題組 11.(20xx山東菏澤期中)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,若acosB+ bcosA=csinC,S=14×(b2+c2-a2),則B=(　　)　　 A.90° B.60° C.45° D.30° 12.已知銳角A是△ABC的一個內角,a,b,c是角A、B、C的對邊,若sin2A-cos2A=12,則下列各式正確的是(　　) A.b+c=2a B.b+c<2a C.b+c≤2a D.b+c≥2a 13.(20xx臨沂模擬)如圖,在△ABC中,∠B=45°,D是BC邊上的點,AD=5,AC=7,DC=3,則AB的長為　　　　.  14.(20xx十堰模擬)給出下列命題: ①若tanAtanB>1,則△ABC一定是鈍角三角形; ②若sin2A+sin2B=sin2C,則△ABC一定是直角三角形; ③若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,則△ABC一定是等邊三角形. 以上命題中正確命題的序號為　　　　.  15.如圖所示,在四邊形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cos∠B=33. (1)求△ACD的面積; (2)若BC=23,求AB的長. 16.(20xx東北育才五模)已知△ABC是斜三角形,內角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c.若csinA=3acosC. (1)求角C; (2)若c=21,且sinC+sin(B-A)=5sin2A,求△ABC的面積.  答案全解全析 A組　基礎題組 1.B　由題意得,b2=ac=2a2,b=2a,∴cosC=a2+b2-c22ab==-24,故選B. 2.B　∵asinA=bsinB,∴sinB=basinA=2418·sin45°,∴sinB=223.又∵a<b,B為三角形ABC的內角,∴45°<B<180°,∴B有兩個值,即此三角形有兩解. 3.D　根據余弦定理有1=a2+3-3a,解得a=1或a=2,當a=1時,三角形ABC為等腰三角形,當a=2時,三角形ABC為直角三角形,故選D. 4.C　解法一:過A作AD⊥BC,垂足為D,由題意知AD=BD=13BC,則CD=23BC,AB=23BC,AC=53BC,在△ABC中,由余弦定理的推論可知,cos∠BAC===-1010,故選C. 解法二:過A作AD⊥BC,垂足為D,由題意知AD=BD=13BC,則CD=23BC,在Rt△ADC中,AC=53BC,sin∠DAC=255,cos∠DAC=55,又因為∠B=蟺4,所以cos∠BAC=cos=cos∠DAC·cos蟺4-sin∠DAC·sin蟺4=55×22-255×22=-1010,故選C. 5.A　由asinA=bsinB=csinC及(b-c)·(sinB+sinC)=(a-3c)sinA得(b-c)(b+c)=(a-3c)a,即b2-c2=a2-3ac,所以a2+c2-b2=3ac,又因為cosB=a2+c2-b22ac,所以cosB=32,所以B=30°. 6.答案　1 解析　在△ABC中,∠A=2蟺3,∴a2=b2+c2-2bccos2蟺3,即a2=b2+c2+bc.∵a=3c,∴3c2=b2+c2+bc,∴b2+bc-2c2=0,∴(b+2c)(b-c)=0,∴b-c=0,∴b=c,∴bc=1. 7.答案　-14 解析　由2sinB=3sinC得2b=3c,即b=32c,代入b-c=14a,整理得a=2c,故cosA=b2+c2-a22bc==-14. 8.答案　7 解析　設內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.由已知及12bcsinA=103得sinA=32,因為A為銳角,所以A=60°,cosA=12.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+64-2×40×12=49,故a=7,即BC=7. 9.解析　(1)∵b=1,∴a+1a=4cosC=4×a2+b2-c22ab=2(a2+1-c2)a,∴2c2=a2+1. 又A=90°,∴a2=b2+c2=c2+1, ∴2c2=a2+1=c2+2,∴c=2, ∴S△ABC=12bcsinA=12bc=12×1×2=22. (2)∵S△ABC=12absinC=12asinC=32, ∴sinC=3a,∵a+1a=4cosC,sinC=3a, ∴14a+1a2+3a2=1,化簡得(a2-7)2=0,∴a=7,則cosC=27,利用余弦定理可得c=2. 10.解析　(1)證明:由正弦定理及已知條件得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B. (2)由S=a24得12absinC=a24,故有sinB·sinC=12sin2B=sinBcosB,因sinB≠0,故sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=蟺2±B.當B+C=蟺2時,A=蟺2;當C-B=蟺2時,A=蟺4.綜上,A=蟺2或A=蟺4. B組　提升題組 11.C　由acosB+bcosA=csinC及正弦定理得2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin2C(R為△ABC外接圓的半徑),即sin(A+B)=sin2C,∴sinC=sin2C,又sinC≠0,∴sinC=1,又C∈(0,π),∴C=蟺2,∴c2=b2+a2,S=12ab,又S=14×(b2+c2-a2),∴a=b,∴B=45°,故選C. 12.C　∵sin2A-cos2A=12,∴cos2A=-12. ∵0<A<蟺2,∴0<2A<π,∴2A=2蟺3,∴A=蟺3, 由余弦定理得,a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-34(b+c)2=(b+c)24,∴4a2≥(b+c)2,∴2a≥b+c(當且僅當b=c時取等). 13.答案　562 解析　在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3, 由余弦定理得cos∠ADC==-12,所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理得=ADsinB,所以AB=562. 14.答案?、冖? 解析　①因為tanA·tanB>1,且A,B為三角形內角,所以tanA>0,tanB>0,所以A,B均為銳角,又因為tan(A+B)=-tanC=<0,所以tanC>0,所以C為銳角,所以△ABC不是鈍角三角形,①錯. ②由正弦定理及條件,得a2+b2=c2, 所以△ABC一定為直角三角形,②對. ③由cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1及A、B、C為三角形內角,可得cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C,③對. 15.解析　(1)因為∠D=2∠B,cos∠B=33, 所以cos∠D=cos2∠B=2cos2∠B-1=-13. 因為∠D∈(0,π), 所以sin∠D==223. 因為AD=1,CD=3,所以△ACD的面積 S=12AD·CD·sin∠D=12×1×3×223=2. (2)在△ACD中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠D=12,所以AC=23. 因為BC=23=AC,=, 所以====,所以AB=4. 16.解析　(1)根據asinA=csinC,可得csinA=asinC, 又∵csinA=3acosC,∴asinC=3acosC, ∴sinC=3cosC, ∴tanC=sinCcosC=3, ∵C∈(0,π),∴C=蟺3. (2)∵sinC+sin(B-A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),∴sin(A+B)+sin(B-A)=5sin2A, ∴2sinBcosA=2×5sinAcosA. ∵△ABC為斜三角形, ∴cosA≠0,∴sinB=5sinA. 由正弦定理可知b=5a,① ∵c2=a2+b2-2abcosC, ∴21=a2+b2-2ab×12=a2+b2-ab,② 由①②解得a=1,b=5, ∴S△ABC=12absinC=12×1×5×32=534.