（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 專題突破四 高考中的數(shù)列問題講義（含解析）.docx

高考專題突破四高考中的數(shù)列問題題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本問題例1(2018浙江杭州地區(qū)四校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a11, ，記Snaaa，若S2n1Sn對任意的nN*恒成立(1)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；(2)求正整數(shù)t的最小值解(1)由題意得4，則是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，則1(n1)44n3，則a.(2)不妨設(shè)bnS2n1Snaaa，考慮到bnbn1aaa(aaaa)aaa>0，因此數(shù)列bn單調(diào)遞減，則bn的最大值為b1S3S1aa，t，則tmin10.思維升華等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的順序(2)注意細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個公式表示等，這些細(xì)節(jié)對解題的影響也是巨大的跟蹤訓(xùn)練1(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比是q(q1)，且滿足：a12，b11，S23b2，a2b3.(1)求an與bn；(2)設(shè)cn2bn，若數(shù)列cn是遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題意可得解得(舍去)或故an22(n1)2n，bn2n1.(2)由(1)可知cn2n3n，若cn是遞減數(shù)列，則cn1<cn，即2n13n1<2n3n，即>n在nN*時成立，只需>max.因?yàn)閥n在nN*時單調(diào)遞減，所以max.故>，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型二數(shù)列的通項(xiàng)與求和例2(2018臺州質(zhì)檢)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足5(4n5)n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以12(n1)2n1.所以Sn2n2n.當(dāng)n1時，a1S11；當(dāng)n2時，anSnSn1(2n2n)2(n1)2(n1)4n3，當(dāng)n1時，a11也符合上式所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n3(nN*)(2)當(dāng)n1時，所以b12a12；當(dāng)n2時，由5(4n5)n，所以5(4n1)n1.兩式相減，得(4n3)n.因?yàn)閍n4n3，所以bn2n(當(dāng)n1時，也符合此式)又2，則數(shù)列bn是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列所以Tn2n12.思維升華(1)可以利用數(shù)列的遞推關(guān)系探求數(shù)列的通項(xiàng)，利用遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列或證明數(shù)列的有關(guān)結(jié)論(2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，常用的求和方法有錯位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法等跟蹤訓(xùn)練2(2018浙江教育綠色評價聯(lián)盟適應(yīng)性考試)已知數(shù)列an中，a13，a25，其前n項(xiàng)和Sn滿足SnSn22Sn12n1(n3)令bn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若f(x)2x1，求證：Tnb1f(1)b2f(2)bnf(n)<(n1)(1)解由題意知SnSn1Sn1Sn22n1(n3)，即anan12n1(n3)，所以an(anan1)(an1an2)(a3a2)a22n12n22252n12n2222122n1(n3)，檢驗(yàn)知n1,2時，結(jié)論也成立，故an2n1.(2)證明由于bnf(n)2n1.故Tnb1f(1)b2f(2)bnf(n)<.所以Tn<.題型三數(shù)列與不等式的交匯例3已知數(shù)列an滿足a11，an1，nN*，記Sn，Tn分別是數(shù)列an，a的前n項(xiàng)和，證明：當(dāng)nN*時，(1)an1<an；(2)Tn2n1；(3)1<Sn<.證明(1)由a11及an1，知an>0，故an1anan<0，an1<an，nN*.(2)由an，得a2，從而aa22aaa2n，又a11，1aaa2n，Tn2n1，nN*.(3)由(2)知，an1，由Tna1，得an1，當(dāng)n2時，an<()，Sn<a1(1)()()1(1)<，n2，又a11，Sn<，nN*，由an，得Sna1a2an1>1，綜上，1<Sn<.思維升華(1)以數(shù)列為背景的不等式證明的基本策略是對數(shù)列遞推式進(jìn)行放縮；(2)解題過程中要注意觀察數(shù)列遞推公式的特點(diǎn)，聯(lián)想常用的求和形式靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練3對任意正整數(shù)n，設(shè)an是方程x21的正根求證：(1)an1>an；(2)<1.證明由a1且an>0，得0<an<1.(1)a1，a1，兩式相減得0aa<aa(an1an).因?yàn)閍n1an>0，故an1an>0，即an1>an.(2)因?yàn)閍n1，所以an，由0<an<1，得<1，從而當(dāng)i2時，<<，1<1<.所以<1.1(2018紹興市上虞區(qū)調(diào)研)已知數(shù)列an滿足a1511,4anan13(n2)(1)求證：an1是等比數(shù)列；(2)令bn|log2(an1)|，求bn的前n項(xiàng)和Sn.(1)證明由題意知anan1，則an1(an11)，a115120，數(shù)列an1是以512為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知，an1512n12112n，則log2(an1)112n.bn|112n|，令cn112n，當(dāng)n5時，cn>0；當(dāng)n6時，cn<0，設(shè)cn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn10nn2，當(dāng)n5時，SnTn10nn2；當(dāng)n6時，Sn2T5Tnn210n50.綜上，Sn2(2018紹興市嵊州市適應(yīng)性考試)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a12，且4Snanan1，數(shù)列bn中，b1，且bn1，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)(nN*)，求cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)當(dāng)n1時，可得a24，當(dāng)n2時，4Snanan1,4Sn1anan1，兩式相減，得4anan(an1an1)，an0，an1an14，an的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成以4為公差的等差數(shù)列，當(dāng)n2k1，kN*時，an2n；當(dāng)n2k，kN*時，an2n.an2n(nN*)(2)，當(dāng)n2時，將上式累加得，bn(n2)，n1時也適合，bn(nN*)，cn，Tn，Tn，再由錯位相減得Tn2.3(2018浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且是一個首項(xiàng)與公差均為1的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對任意的kN*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(2k,22k)內(nèi)的項(xiàng)的個數(shù)記為bk，求數(shù)列bk的通項(xiàng)公式；記ck，數(shù)列ck的前k項(xiàng)和為Tk，求使等式成立的所有正整數(shù)k，m的值解(1)由題意得1(n1)1n，Snn2，則anSnSn1n2(n1)22n1(n2)，當(dāng)n1時，a11，適合上式，因此an2n1(nN*)(2)2k<an<22k，2k<2n1<22k，則2k1<2n<22k1，即2k1<n<22k1，2k11n22k1，則bk22k1(2k11)122k12k1，kN*.由題意得ck，Tk44，則Tk14，1，1，由，得，則42m(4m)2k14，即有0<82m(4m)2k1，因此m<4，對于mN*，則當(dāng)m1時，正整數(shù)k不存在，m2時，正整數(shù)k不存在，m3時，k3，因此存在符合條件的k，m，且m3，k3.4(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知數(shù)列an中，a11，且點(diǎn)P(an，an1)(nN*)在直線xy10上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若f(n)(nN*，且n2)，求f(n)的最小值；(3)設(shè)bn，Sn表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)和試問：是否存在關(guān)于n的整式g(n)，使得S1S2Sn1(Sn1)g(n)對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g(n)的解析式，并加以證明；若不存在，請說明理由解(1)因?yàn)閍nan110，所以an1an1，因此數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則an1(n1)1n.(2)因?yàn)閒(n)，f(n1)，所以f(n1)f(n)>0.因此f(n)單調(diào)遞增，則f(n)的最小值為f(2).(3)方法一由(1)知，bn，當(dāng)n2時，因?yàn)镾11，S21，S31，Sn11，所以S1S2Sn1n1(n2)(n3)n(n1)n1n1n1n1n(n1)n1nn而(Sn1)g(n)g(n)，因此g(n)n.故存在關(guān)于n的整式g(n)n，使得對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立方法二由bn，可得Sn1，SnSn1(n2)，即n(SnSn1)1(n2)，故nSn(n1)Sn1Sn11，(n1)Sn1(n2)Sn2Sn21，2S2S1S11，以上式子相加得nSnS1S1S2Sn1(n1)，則有S1S2Sn1nSnnn(Sn1)(n2)，因此g(n)n，故存在關(guān)于n的整式g(n)n，使得對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立5(2019諸暨質(zhì)檢)已知數(shù)列an的各項(xiàng)都大于1，且a12，aan1a10(nN*)(1)求證：an<an1<n2；(2)求證：<1.證明(1)由aaan11>0，得an1>an，an1an<1，an1(an1an)(a2a1)a1<n2.an1an>>，an(anan1)(a2a1)a1>2(n2)，又a12，an.原不等式得證(2)aaan111，a>a，即a，2a3，441<1.原不等式得證6(2018浙江名校協(xié)作體考試)已知無窮數(shù)列an的首項(xiàng)a1，nN*.(1)證明：0an1；(2)記bn，Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，證明：對任意正整數(shù)n，Tn.證明(1)當(dāng)n1時，0a11，顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時不等式成立，即0ak1，那么當(dāng)nk1時，21，0ak11.即當(dāng)nk1時不等式也成立綜合可知，0an1對任意nN*成立(2)0an1，1，即an1an，數(shù)列an為遞增數(shù)列又，易知為遞減數(shù)列，為遞減數(shù)列，又，當(dāng)n2時，當(dāng)n2時，bn(an1an)(an1an)當(dāng)n1時，TnT1b1，成立；當(dāng)n2時，Tnb1b2bn(a3a2)(a4a3)(an1an)(an1a2)(1a2).綜上，對任意正整數(shù)n，Tn.