高考沖刺 轉化與化歸的思想.docx

高考沖刺轉化與化歸的思想編稿：孫永釗審稿：張林娟【高考展望】解決數(shù)學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程， 選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題(相對來說，對自己較熟悉的問題)，通 過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“轉化與化歸的思想方法”轉化與化歸思想在高考中占有相當重要的地位，可以說比比皆是，如未知向已知的轉化、新知識向舊 知識的轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數(shù)學問題之間的互相轉化、實際I'可題向數(shù)學問題轉化等等. 各種變換、具體解題方法都是轉化的手段，轉化的思想方法滲透到所有的數(shù)學教學內(nèi)容和解題過程中.高考對本講的考查為：(1) 常量與變量的轉化：如分離變量，求范圍等。(2) 數(shù)與形的互相轉化：若解析幾何中斜率、函數(shù)中的單調(diào)性等。(3) 數(shù)學各分支的轉化：函數(shù)與立體兒何、向量與解析兒何等的轉化。(4) 出現(xiàn)更多的實際問題向數(shù)學模型的轉化問題?！局R升華】轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進 而得到解決的一種方法.一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化 為容易求解的問題，將未解決的問題變換轉化為己解決的問題.解題的過程就是“化歸”的過程，不斷地 改變待解決的問題，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止.1. 轉化與化歸應遵循的原則(1) 熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和方法來解決.(2) 簡單化原則：將復雜問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的， 或獲得某種解題的啟示和依據(jù).(3) 和諧化原則：化歸問題的條件或結論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所呈現(xiàn)的和諧統(tǒng)一的形式, 或者轉化命題，使其有利于運用某種數(shù)學方法或符合人們的思維規(guī)律.(4) 直觀化原則：將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決.(5) 正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使 問題獲解.2. 轉化與化歸的基本類型(1) 正與反、一般與特殊的轉化，即正難則反，特殊化原則.(2) 常量與變量的變化，即在處理多元問題時，選取其中的變量(或參數(shù))當“主元”，其他的變量 看作常量.由二次函數(shù)r(x)在-1, 1的圖形易知:f(i)w o且 f (-DWO,3解得：P<-或P3.23.滿足已知條件的P的取值范圍為(-己,3).2【變式 3】己知三條拋物線：y = x2 +4ax-4a + 3f y = x2 +(a-)x + a2, y =中至少有一條與x軸相交，求實a的取值范圍.【答案】a<-a>-.2類型五、換元轉化問題【例8】已知aER,求函數(shù)y = (a-sinx)(a-cosx)的最小值.【思路點撥】y = (a- sin x)(q - cos x) = a2 - tz(sin x + cos x) + sin jvcos x ,而 sin x + cosx 與sinxcos工有聯(lián)系，可設1 = sinx + cosx，則原來的問題可轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題.【解析】設z = sinx + cosx,貝it = /2sin(x + ), t g ->/2,/2,41 , 1 ,而 sin xcos x = (sin x + cos x) 一 1=(廣一 1),2 2于是 y =fit)=6?。心+cosx)+s i iircosx=«2 (/21)= r22221 八 1,12 22原問題轉化為求二次函數(shù)M=-Ua)2+-a2-在公皿上的最值問題.222(1) 當一 4iw(iW& t=u 時，e101OminCl 一；22(2) 當時，f(t)在JL上單調(diào)遞減，f(t)min = f(>/2 )=a2 >/2 a+ ；2(3) 當a<-V2時，f(x)在一丁, J5上單調(diào)遞增，f(t)min = f( >1 ) = a2+>/2 a+ 2【總結升華】代數(shù)問題三角化，往往可充分利用三角函數(shù)的特有性質(zhì)，使較為復雜的問題得以簡化, 從而獲得解答.一般地，當條件能轉化成如下形式時，就可以考慮三角代換：若 a2+b2= 1,可設 a=cosa, b=sina；(2) 若 a2+b2<l > 可設 a=rcosa, b=rsina(O<r<l)：(3) 對于 Jl x2 , V |x|<l» 由|cos6|<l 或|sin陽 1 知，可設 x=cosO x=sin9.舉一反三：X1【變式】函數(shù)f(x)=-41og2-.|og24xlog24x在區(qū)間-,4上的最大值等于()88A. -24B. 16C. 25D. 24【答案】故選C.【解析】設logu=f,則低一3,2,故函數(shù)7U)可轉化為y=g(r)= 4(，一3)“+2)=4F+4f+24= 4(/ )2+25»2因為/G-3,2J,所以當/=；時，函數(shù)g。)取得最大值為25.故選C.【例9】求函數(shù)/*(*) = 2-4。sin工一cos2工的最大值.【思路點撥】令t=sin x,將函數(shù)轉化為關于I的二次函數(shù)，再求二次函數(shù)在區(qū)間一1, 1上的最大值.【解析】/(x) = 2-4wsinx-(l-2sin2x)= 2sin' x4osinx + l=2(sinx-«)2 +1-2q2.設 sin x=t,則一IWtWl,令 y = g(" = 2(/- a)2 +1 - 2a2.如圖所示，當a<0時，有= g(l)= 3-4".同理，當 aNO 時，有)，max =g(-l) = 3 + 4".所以，當aVO時函數(shù)(3)的最大值為3-4a.當aO時函數(shù)/(x)的最大值為3+4a.【總結升華】通過換元將三角問題轉化為較熟悉的一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，特別注意： 換元后所得t的函數(shù)的定義域為一1, 1；應該討論二次函數(shù)對應的拋物線的對稱軸相對于區(qū)間一1, I的位置，才能確定其最值.舉一反三：【變式1】已知x2+y2=h則z=x-2y的取值范圍是.【解析】令 x=cos 0 , y=sin 0 ,則 z = cos。一2sinO = Vcos(6 + °), Zmax =逐，Zmin =-/. 5 < z < 5/5【變式2】已知aER,求函數(shù)y= (asin x) (acos x)的最小值.【解析】設 t=sin x+cos x,貝iJr = V2sin(x+-),故rG-V2,V2.4.121 2而 sin x - cos x =(sin x+cos x) 一 1 = (廣- I),22于是，y = /(0 = a2 -(sin x + cosx) + sin xcosx=a2 -at + -r -) = -r-cither-2221,2 1 2 1= -(t-a) +-a .222原問題化歸為求二次函數(shù)f(t) = -(t-a)2+-a2-在公J3上的最值問題.222 當-41 < « < V2 ut, Et=a, /XDmin!： 當 a>yf2 時，f(。在-72,72上單調(diào)遞減，f(t)m.n=f(42) = a2-42a + 當a<-42 時，f(。在J公扳上單調(diào)遞增，f(t)min=f(-y/2) = a2+>/2a + .【變式 3】已知/(x) = lg(x + l), g(x) = 21g(2x+r) , twR.(1) 當t=1時，解不等式f(x) <g(x) i(2) 如果xG0, 1時，/(x)< (x)恒成立，求參數(shù)t的取值范圍.【答案】(1) xx>-(2) tmi4類型六、命題的轉化【例10】關于x的方程x3-3x2-a=0只有一個實數(shù)根，求a的取值范圍.【思路點撥】本題是一個高次方程的問題，無法用判別式去判定根的個數(shù)，故可以轉化命題，轉化為 曲線y=x33x2與直線y=a有一個交點，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】由 X13x2a=0 得 a=x33x',令 fM = x3 - 3x2， f 3 = 3x2 - 6x = 3x(x - 2),令 f '(-<,) = 0 ,得 x=0 或 x=2.當(一8, o)時，yu)>o；當(0, 2)時，尸vO；當 xG (2, +8)時，廣(x)>0.所以/(x)在(一8, 0)和(2, +8)上是增函數(shù)，在(0, 2)上為減函數(shù).又/(0) = 0, /= -4.結合圖象，直線y=a與曲線y=xa-3x2有一個公共點時，則a<-4或a>0.所以關于x的方程x3-3x2-a=0只有一個實數(shù)根時，實數(shù)a的取值范圍為a<-4或a>0.【總結升華】在解題的過程中，直接考慮思維受阻時，要學會變換解決問題的角度，轉化命題的形式, 使問題變得直觀、簡潔，進而使問題得以解決，有些問題可以考慮其反面，通過解決反面使問題得以解決, 有些空間中的問題轉化為平面問題則變得簡潔.這就是轉化與化歸思想的真諦.舉一反三:【變式】設0< 0 <2 n ,且方程2sin(6> + -) = /n有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍及這兩個 3實根的和.JTT【解析】將原方程2sin(Q + ：) = m轉化為三角函數(shù)y = 2sin(x+y)的圖象與直線y = m有兩個不同 的交點時，求a的范圍及a+B的值.jr如圖，在同一坐標系中，作出y = 2sin(x+y)及y=m的圖象，由圖可知：當一2<也<占或后 m<2時，直線與曲線有兩個交點,即原方程2 sin(6> + -) = m有兩個不同實根.3若y/3<m<2,設原方程的一個根為西=生+。,67T則另一個根為X)=a.-6勿.x, + x2 =.若-2<7<占，設原方程的一個根為西=巫67 717 7T則另一個根為易=史一。，.為+七=工.63且由對稱性可知，這兩個實根的和為生或一上.3 3類型七、空間線面關系的轉化 【例11】如圖，在四面體ABCD中，CB=CD, ADLBD,點、E、F分別是AB、8。的中點.求證: 直線EF平面ACO；平面EFC1.平面BCD.【思路點撥】證明線面平行，常用方法是轉化為證線線平行或面面平行：證明面面垂直，常常轉化為線面垂直【解析】在位)中，因為芯、尸分別是AB、的中點，所以EF/AD.又AOU平面ACD, E冏平面 ACD.所以直線以平面ACD.(2) 在左中，因為 AD'BD, EF/AD,所以 EFVBD.在8CD中，因為CD=CB, F為BD的中點，所以CF±BD.因為£?FU平面EFC, CFU平面EFC, EF與CF交于點、F,所以平面EFC.又因為BDU平面BCD,所以平面EFCL平面BCD.【總結升華】在立體幾何證明中，兩類轉化關系相當重要：線線平行-線面平行一面面平行線線垂直-線面垂直一面面垂直舉一反三：【變式】如圖，在矩形ABCD中，AB=3j, BC=3,沿對角線BD把ABCD折起使C點移到G點，旦G在平 面ABD內(nèi)的射影0恰好落在AB上。(1) 求證：AGIBCi；(2)求AB與平面BGD所成的正弦值;(3)求二面角C.BDA的正切值?！窘馕觥?1)由題意,CiO±面ABD。又 GOu 面 ABC）,.面 ABG_L 面 ABDo又 VADXAB,面 ABGC面 ABD=AB,.ADJL面ABG,.AD_LBG,又 BC.IC.D, ADACiD=D,ABCi± 面 AGD,BCi _L ACi o（還可由三垂線定理證AD±BC.）（2）VBGlfflAC.D, BGu面BGD,.面 ACiDl面 BGD,作AH1C.D,于H,則人日_1面時【）。連結BH,則BH為AB在面BCJ）上的射影,A ZABH即為AB與面BCiD所成的角。又在 RtAACiD 中,GD=3V3 , AD=3,.ACf3V2 , AAH=V6 ,AsinZABH=T即AB與面附）所成角的正弦值為丁(3) 過 0 作 OG±BD 于 G,連結 GG,則 GG_LBD。KOZCiGO為二面角CiBDA的平面角。在RtAAC.B中，GO二竺陽二灰AB在 MBGD 中，C,G= CD| -BD0G= Jcq2 cO = g,AtanZC = 22 .OG即二面角GBDA的正切值為2次。【點評】（1）本題證線線垂直過程中用到了線線垂直、線面垂直、面面垂直相互轉化的思想線線垂直線面垂直（2）通過作線面角與二面角的平面角，將空間角的問題轉化為平面角處理。（3）數(shù)與形的轉化，即利用對數(shù)量關系的討論來研究圖形性質(zhì)，也可利用圖形直觀提供思路，直觀 地反映函數(shù)或方程中的變量之間的關系.（4）數(shù)學各分支之間的轉化，如利用向量方法解立體幾何問題，用解析幾何方法處理平面幾何、代 數(shù)、三角問題等.（5）相等與不等之間的轉化，如利用均值不等式、判別式等.（6）實際問題與數(shù)學模型的轉化.3. 常見的轉化方法（1）直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.（2）換元法：運用“換元”把超越式轉化為有理式或使整式降'帛等，把較復雜的函數(shù)、方程、不等 式問題轉化為易于解決的基本問題.（3）數(shù)形結合法：研究原問題中數(shù)量關系（解析式）與空間形式（圖形）關系，通過互相變換、獲 得轉化途徑.（4）參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉化.（5）構造法：“構造” 一個合適的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.（6）坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題.（7）類比法：運用類比推理，猜測問題的結論.（8）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的結論適合原問題.（9）一般化方法：當原問題是某個一般化形式問題的特殊形式且又較難解決時，可將問題通過一般 化的途徑進行轉化.（10）等價問題法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到轉化目的.（11）加強命題法：在證明不等式時，原命題難以得證，往往把命題的結論加強，即把命題的結論加 強為原命題的充分條件，反而能將原命題轉化為一個較易證明的命題，加強命題法是非等價轉化方法.（12）補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題結果看作集合A,而把包含該問題的整體問 題的結果類比為全集U,通過解決全集U及補集A獲得原問題的解決.以上所列的些方法是互相交叉的，不能截然分割.4. 利用轉化與化歸的思想解決問題的模式可圖示如下：【典型例題】類型一、函數(shù)、方程與不等式之間的轉化與化歸【例1高清轉化與化歸的思想例題1ID:404094設函數(shù) y(.r)= X3(1 + u)x2+4ar+ 24a,其中常數(shù) a>31.(1) 討論7U)的單調(diào)性；(2) 若當時，yu)>o恒成立， 【思路點撥】求f(x)=0的根，立轉化為f(x)的最小值大于0.【解析】(l)f(x)=x22(l+a)x+4a求“的取值范圍.比較兩根的大小、確定區(qū)間，討論f(x)的單調(diào)性；(2)將f(x)>。恒成=(x2)(x 2a).由已知a>l, .2a>2,.令 f(x)>0,解得 x>2a 或 xV2,.當 xE(-oo, 2)和 xE(2a, +oo)時，f(x)單調(diào)遞增，當xE(2,2a)時，f(x)單調(diào)遞減.綜上，當a>l時，f(x)在區(qū)間(-00, 2)和(2a, +勿)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù).(2)由知，當時，Re)在x=2a或1=0處取得最小值.f(2a)= ； (2。)3(1 +。)(2。)2+4白 2。+24。44+4/+24。= a(a6)(«+3),33人0)=24“.由題設知。> 1,/(2。) >0,即 ,/(0) > 0,a > 1,4+ 3)(。- 6) > 0,24。> 0,解得<a<6.故。的取值范圍是(1,6).【總結升華】函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關系轉化為最值（值域）問題，從而求出參變量的范圍.舉一反三： 【變式】函數(shù)f（x） = 71-2log6x的定義域為 .【答案】（0, x/6【解析】根據(jù)二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件，得：x>0I - 21og6x>0=>x>0x >01 nx<6=V60< x< x/6 o【例2】已知數(shù)列%滿足 =33,% =2,則務的最小值為.n21【答案】2【思路點撥】利用遞推數(shù)列的通項公式構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求解。解析an=（an-an-1）+（0卜i-«n-2）+ +（。2-。）+ai=2l +2+（，?-1 ）+33=33+/?-所以向=癸+ _1n n設/（H）= + /2-1,令f（）= W + i>0,則六）在（妊,+8）上是單調(diào)遞增，在（0,733）±nn是遞減的，因為nCN.,所以當n=5或6時/（）有最小值。又因為 = , =,所以，務的最小值為蟲=殳55662n62.【總結升華】數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動態(tài)的函數(shù)觀點是解決數(shù)列問題的有效方法。數(shù)列的項可看作定義 在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)。如等差數(shù)列at!的通項公式 = % 4-（/7一項=血+ 0-,前n項的和公式缶=凹+= I +（% .°當時，可以看作自變量n的一次和二次函數(shù)。因此利用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問題不僅能加深對數(shù)列的理解，也有助于學生解題思維能力的培養(yǎng)及增強應 用函數(shù)思想解題的意識。類型二、常量與變量的轉化問題例3 （2016 江蘇模擬改編）若己知不等式2x- l>m （x2- 1）對滿足m|W2的一切實數(shù)m的取值都成立, 則x的取值范圍為.【思路點撥】構造變量m的函數(shù)，對x2- 1>0, x2- KO, x2- 1=0,進行分類討論，利用|m|W2時函數(shù)的 取值，分別求出x的范圍，然后求并集即可.【答案】（B,也）22【解析】構造變量m的函數(shù)求解：2x - l>m （x2 - 1） BP： （x2 - 1） m - （2x - 1） <0 構造關于 m 的函數(shù) f (m) = (x2 - 1) m - (2x - 1), | m| W2 即-2WmW2.(1) 當 x2- 1>0 時，則 f (2) <0 從而 2x2-2x- l<0 解得：22又x2- l>0,即x< - 1或x>l,所以1<xV上史；2(2) 當 x? - IVO 時，則 f ( -2) VO 可得-2x2-2x+3<0 從而 2x?+2x - 3>0解得xV二1 頊或x>吏 I】又-IVxVl,從而吏lvxl222(3) 當 x2- 1=0 時，則 f (m) =1 -2x<0 從而 x>l,故 x=l；2綜上有：BvxV域22故答案為(宣二1,寸也)22【總結升華】對于含參數(shù)的不等式問題，有的時候轉變思路化“參變量”為“自變量”，往往會收到“柳 暗花明又一村”的效果.舉一反三：【變式1】己知a>0且aHl,若關于x的方程log,.(x-3)-logA(x+2)-log,.(x-l)=l有實根，求實數(shù)a的取值范圍.工一30【解析】要使原方程有意義，需<x + 2> 0,解得x>3.x-l>0原方程化為：log,(x 3) = log”。(工IX* + 2)./.x-3=a(x-l) (x+2)在區(qū)間(3, +8)上有解，. x 3 (1 .(x-1)(A- +2)問題轉化為求右端在(3, +8)上的值域，即將a看作x的函數(shù)a(x).-a-l)(x + 2) x2+x-2x-3 1=”一3)2+7(工一3) + 10 =工 3 1 ° 17x-3Vx>3, Ax-3>0,A X-3 + -15- >2J(x-3)=2V10 . x-3 V x-3當且僅當x-3 = ,即工=3 + 應時取等號.x-3<1_7-2而一 2而+ 7 一 9又 Vx>3 時，a>0,故a的取值范圍是(o,7_2面【變式2】(2016河南模擬)若對任意的xe (-od,-1,不等式(3m-l)2x< 1恒成立，則正實數(shù)m的取值范圍是.【答案】(0,1)【解析】令 2、=/,X£(F, 1)0,-< 2/原不等式可轉化為(3/n-l)r < 1即<0令/(r) = (3/n-l)r-l,r£ 0,?) 當3m-1=()即m =；時，./'(，) = -1 v 0滿足題意. 當 3/w-l >0 即時，/(r) =(3/n-l)/-l,/e 0,| 單增/1 11只需f 一 =(3,w-l)一1<0即可，解得秫<1即：-<m<< 2 /231( 1 當3-1 v()即0<m<一時，/(r) = (3w-l)r-l,rG 0,-單減3 2 >v/im(0)= -l<0/.0<w<| 符合題意綜上所述m的取值范圍是0 v s v 1.類型三、等價轉化【例4】已知函數(shù)/=件侖的值域為1, 4,求實數(shù)a、b的值.JT+ 1【思路點撥】設y = /(x),將所給函數(shù)看作關于x的方程.則由題意可知當y£-l, 4時，關于x的方程有實數(shù)解.【解析】5普的定義域為R,故可等價轉化為yxax+yb=0.令 =a一4y (y b) X),即 4y24bya2<0,則由題意可知，不等式4y2-4by-a20的解集為1, 4.也就是一1, 4是關于y的方程4y4by二0的兩根.一 1 + 4 = /?, /. a= ± 4, b=3.-1x4 = - 4所以所求實數(shù)a=±4, b=3.【總結升華】本題是利用函數(shù)、不等式與方程的關系一步一步地等價轉化使問題得以解決，常見的轉 化類型有高次向低次的轉化，多元向一元的轉化，分式向整式的轉化，無理向有理的轉化，空間向平面的 轉化等.舉一反三：【變式1】己知奇函數(shù)/(同在定義域(一1, 1)上是減函數(shù)，且/(1 +。) + /(1-疽)<o,求實數(shù)。 的取值范圍.【答案】(-1,0)【變式2】若f(x) = ax + 3-a的圖象在(0,1)內(nèi)與x軸恰好有一個交點，則a的取值范圍為【解析】/(工)的圖象是直線，在(0, 1)內(nèi)與x軸恰有一個交點，則 /(0)-/ <0,則a>3 (當a=0時不合題意).【例5】(1)不等式土二0的解集為()2x + A.-?1B.C.D. -oo, ul,+a）對【思路點撥】將不等式進行等價變形，轉化為整式不等式求解。【答案】A；【解析】原不等式等價于(x-l)(2x+l)< ()或x-l=0,即一 Lvx<l或x = l,所以不等式的解為2-<x<l ,選 A.2(2)設集合A = (x,y)|<(x-2)2 + y2 <m2tx,yeR,2B = (x, y) | 2m <x+ y< 2rn + l,x, y e R,若 AcB 比 0,則實數(shù) m 的取值范圍是；【解析】當/n<()時，集合A是以(2, 0)為圓心，以|州為半徑的圓，集合B是在兩條平行線之間;'因為m*,此時無解;當"。時,集合a是以e0)為圓心，以集合B是在兩條平行線之間，必有_ <m<f2 + i.又因為< /«2, .'. </«< V2 +1 o222【總結升華】本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通?？梢岳梅蛛x變最轉化為最值的方 法求解。構造函數(shù)解題是數(shù)學中的常用方法，通過巧妙地構造輔助函數(shù)，把原來的問題轉化為研究輔助函 數(shù)的性質(zhì)，從而達到解題目的。舉一反三：【變式】巳知函數(shù)f(x) = ax2-c,滿足-4</(l)<-l, -1</(2)<5,求/'(3)的最大值、最小 值及取得最大值和最小值時對應a, c的值.。=3ci = 0【答案】/(3)max = 20 ,此時 ；fmin=-l,此時c-ic = 類型四、正面與反面的轉化問題【例6】己知非空集合A=x|x2-Amx+2m+6=0, xER,若AAR 0,求實數(shù)m的取值范圍(曠表示 負實數(shù)集，R'表示正實數(shù)集).【思路點撥】本題可以根據(jù)AAR-0的反面一一AAR-=0時的取值范圍進行求解.3【解析】設全集 U=m =16n28m24全0 = m|mW 1 或m > .2m g U3方程x2-4mx+2m+6=0的兩根均非負的充要條件是4/« >0,可得m>.22m + 6 > 03AAA RJ 0時，實數(shù)ni的取值范圍為 | m > -；2AAR 時，實數(shù)m的取值范圍為m|inW 1.【總結升華】正面難以解決的問題，可采用補集的思想，轉化為反面問題來解決.一個題目若出現(xiàn)多 種成立的情況，則不成立的情況一般較少，易從反而考慮，比如題目中出現(xiàn)“至多”，“至少”等字眼時.舉一反三：【變式】試求常數(shù)m的范圍，使曲線y=x?的所有弦都不能被直線y-m(x-3)垂直平分.【解析】問題可以轉化為：為使曲線y=x，有兩個對稱于直線y=m(x-3)的點，求m的取值范圍. 易得m<-,因此原問題的解是m>-.22【例7】等比數(shù)列%中，,%,為分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(I )求數(shù)列%的通項公式；(II)若數(shù)列也,滿足：=%+(l)lns 求數(shù)列但的前2項和【解析】(I )當 =3時，不合題意；當 =2時，當且僅當=6,% = 18時，符合題意；當4=10 時，不合題意。由題意知 =2,q=6,%=18，因為%是等比數(shù)列，所以公比為3,所以數(shù)列%的通項公式 為二2"(II)因 jbn = an 4- (1) In = 2 3n l + (1) In 2 , 3W 1,所以 Sn =bx + Z?2 + + =(/ + 角 + . + q,) - (In / + In % + .hi an)=2(1-3")1-3-Inaa2an=3” 一 1 -ln(2” 1 x3' x3? x.x3“)=以(一 1)3"-l-ln(2".3亍),所以 S2n = 32n -1 - ln(22H - 3 2 )=9W -1 - 2n In 2 - (2n2 - n) In 3o【總結升華】一些數(shù)學問題，如果從條件出發(fā)，正面考慮較難較繁，不妨調(diào)整思考方向，從問題的結 論入手，或從問題的條件與結論的反面入手進行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難則反"。“正難則 反，是一種重:要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問題獲得巧解。舉一反三：【變式】己知二次函數(shù)f (x) =4x'-2(p-2)x-2p2-p+l,若區(qū)間T, 1內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使f (c)>0,則實數(shù)P的取值范圍是().1 13A、(-=,1) B、(-3,-待)C、(-3,二)2 22【解析】問題轉化為先求在T, 1內(nèi)沒有一個實數(shù)C使f(c)>0,即對任意xG-l,l, f(x)W0的P的取值范圍.